初中数学专项练习-以二次根式为载体的材料阅读题-专项培优

以二次根式为载体的材料阅读题-专题培优

1.（郸都区期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,

如3+2a=（1+V2）2,善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b\[^=（〃?+小泛）2（其中〃、〃、/〃、〃均为正整数），则有4+从泛=〃P+2〃2+2〃7〃&,

・・・〃=病+2〃2,h=2mn.这样小明就找到了一种把部分〃+以泛的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当。、力、〃?、〃均为正整数时，若a+b\E=（〃i+〃石）2,用含〃I、〃的式子分别表示a、b,得:

a=，h=；

（2）若=（/〃+小/5）2,且〃均为正整数，求〃的值；

（3）化简：]7一）21+忘.

2.（渝中区校级月考）先阅读，再解答问题：

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算,

可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.

例如：当X=V5+1时，求士1-/-x+2的值.

2

为解答这道题，若直接把工=g+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，

对本题进行解答.

方法：将条件变形，因k75+1,得x-i=V5,再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数

运算.

由x-1=75,可得/-2x-2=0,即』-2X=2,X2=ZV+2.

原式=%(2x+2)-x2-X+2=X2+X-x1-x+2=2.

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题:

(1)若x二或一I,求24+4/-3x+l的值;

%4-％3-9%2一5%+5

（2）己知x=2+6，求的值.

X2-4X+3

3.（碑林区校级月考）在解决问题“已知。=看，求3/-6a7的值”时，小明是这样分析与解答的:

/2+1

•"=72-1=(、泛=>/2+1,

••a-i=V2,

QLI)2=2,a1-2a+\=2,

(T-2a=1,

3a~6(7=3,3cr6a-1=2.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

⑴化简:餐

(2)若〃二:十求2/-12〃+1的值.

3+2,2

黑：臬时，采用了一种“整体代换”

4.（锦江区校级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组

什X।1ky—>

的解法:

解：将第二个方程，变形为4Hl0y+y=5,即2（2x+5y）+y=5.

然后把第一个方程，代入得2X3+y=5,••・），=-1.

把），=7代入第一个方程，得x=4.

..・方程组的解为S二

请你解决下列两个问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组?Q.

（2）已知正数X,y满足悠［2秒11/=7,求白一名的值.

5.（兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因

式，例如乃与孤，夜+1与&-1.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同

乘分母的

有理化因式的方法就可以了，例如得四#_\/6_^2______烦3+\③3«+后_3次+连

V3-V3-3，3-b一(3-V3)(3+V3)9-3-6

（1）请你写出3+41的有理化因式：

（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式:

^3-2X/2

①3+26

1b

(〃>0，6W1);

(3)已知Q=/,b=/,求+匕2+7的值.

v5—2V5+2

6.（达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题:

已知。=舟，求2『-8"1的值.他是这样解答的:

..12—73°n

.a=对=（2+73）（2-/3）=2-6,

:・a-2——，\[3.

：.(a-2)2=3,(T-4a+4=3.

_4〃=-I.

：.2a2-Sa+\=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

1

(1)-国十~四~=-----------；

(2)化简-+~~p.~+~~p.+....+/.；

V2+1V3+V2«+3^169+7168

(3)若〃=后12,求a"--4a+3的值.

7.(曲阜市期末)“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根

式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：(2+V3)(2-V3)=1,(V5+V2)(V5-V2)=3,它们的积

中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次

1lx>/3V32+V3(2+V3)(2+V3)「

根式除法可以这样解：=——F=~―F=——―不=7+45/3.

V3V3xV332-V3(2-V3)(2+V3)

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化.

解决下列问题:

(1)将会分母有理化得；&+1的有理化因式是；

(2)化简：百方=-------:

,—1111

(3)化问:~~p-+T=~+~~p~p+...+/，

V2+1V3+\/2V4+V3V100+V99

1V2-1y/2-1V2-1r-

8.(包河区校级期中)观察、发现：标二商冠不二西三"w二T=

⑴试化简：

(2)直接写出：I_「=；

Vn+1+Vn

、…1111

(3)求值：~~p+~~p7=+甘+…+,^=.

V2+1V3+V2x/4+x/3V100+V99

9.(渝中区校级月考)材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单

到复杂，从部分到整体，由低难到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现

新问题、新结论的重要方法.

材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数

运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.

例如当X=H+1时，求5%3-，一工+2的值.为解答这题，若直接把x=K+l代入所求的式中，

进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.

方法一：将条件变形，因x=6+l,得X-1=V1再把所求的代数式变形为关于(X-1)的表达式.原

式=i(x3-Zr2-2x)+2=i[jr(x-I)-xCx-1)-3x]+2=i[x(A-1)2-3x]+2=i(3x-3x)+2=2.

方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.

由可得2.2=0.即.--2x=2,9=2什2.

原式=3(2x+2)-x2-x+2=x1+x-x2-x+2=2

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以卜.问题：

(1)若/-3。+1=0,求2a3-5«2-3+-^的值；

Q'+l

432

“lOx-x-9x-5x4-5^z

(2)己知X=2+V5,求-----;-----------的值.

X2-4X+3

10.(西湖区校级月考)在解决问题“已知Q=&，求2/-网+1的值”时，小明是这样分析与解答的：

.._1_2-73_)八

•a=巾5=(2+Q)Q_Q)=N_"

：,a-2=-\/3,J(“-2)2=3,a2-4«+4=3

Ad2-4a=-1,/.2«2-8«+l=2(a2-4A)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

⑴化简:短

(2)若a=求代数式。(a-1)的值.

11.(淮阳县校级月考)阅读下面的文字再回答问题

甲、乙两人对题目：“化简并求值：*值+公_2,其中〃=丫有不同的解答•

(1)填空：的解答是错误的；

(2)解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母。的式子表示这个性质

(3)请你正确运用上述性质解决问题：当3VXV5时，化简V%2-14%十49+J(2x-5不

12.(滦南县i模)在解决问题“已知求2。2-必+1的值”时，小明是这样分析与解答的:

・〃-百

•=1_2_9_Jo

・-2+&-(2+73)(2-73)-

：.a-2=-V3,:.(“-2)2=3,a2-4«+4=3

：.cr-4a=-1,・・・2。2-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-!.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

（1）化简：序布

（2）若。=£],求3/-（）a-1的值.

13.（建平县期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：

1V2-1V2-1V2-1r-

例L京=（鱼+1）（后1）====V2-1,

例z康=«3募33募=«-",•

11

遍+否―-------，\/100+V99-----------

（2）请你用含〃（〃为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律.

（3）利用上面的结论，求下列式子的值.-^―+-^—r=.+-^-7=+-+

V2+1V3+V2x/4+73V100+V99

14.（淮安区校级期末）阅读下面计算过程：

]_”（企-1）_r

V2+1-（V2+1）（V2-1）~-1；

1________1X（b-鱼）_I-I-

两&二（V3+V2）（V3-V2）="3-V2；

1_I"回2）_R

V5+2-（V5+2）（V5-2）-V

1

求：（1）的值.

V7+V6

（2）,_厂（〃为正整数）的值.

Vn+1+Vn

（3）-p+-p+~~p-+…+/^=的值.

V2+1V3+V2V4+v3\/100+V99

15.（右玉县期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如得，J|,岛■一样的式子，其实我们还可

55X\/35l

以将其进一步化简："7==~r=—7==

V3V3XV33

[2_（2x3_5/6

"]痂=丁

2_______2X（遮-I）_2X（V^-1）_r-

V3+1—（V3+1）（V3-1）-（V3）2-12—旷3-1

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.富二还可以用以下方法化简:23-1(A/3)2-12

V3+1V3+1-V3+1-V3+1

(6+1)(、与-1)

=V3-1

V3+1

⑴请用不同的方法化简官,

(2)化简：-7=+-7=7-+~~P~F~+…+「:(■

V3+1A/5+\/3\[1+V5V2n+1+V2n—1

以二次根式为载体的材料阅读题一专题培优(解析版)

1.(郸都区期末)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，

如3+2a=(1+V2)2,善于思考的小明进行了以下探索：

设=(〃?+〃&)2(其中〃、均为正整数)，则有a+从泛=〃P+2〃2+2〃7〃&,

・・・〃=〃?2+2〃2,h=2mn.这样小明就找到了一种把部分。+以泛的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当。、力、〃?、〃均为正整数时，若。+仄石=(〃1+小石)2,用含〃I、〃的式子分别表示“、b,得:

a=nr+6n2,b=2inn；

(2)若a+4V5=("1+小行)2,旦4、〃?、〃均为正整数，求〃的值：

(3)化简：力一,21+急.

【分析】(1)利用完全平方公式展开得到(m+fiy/6)2=m2+6n2+2\/6mn,从而可用♦〃、〃表示〃、b；

(2)直接利用完全平方公式，变形得出答案；

(3)直接利用完全平方公式，变形化简即可.

【解析】(1)*.*(/n+/zV6)2=m2+6n2+2yj6inn,a+by/6=(m+ny/6)2,

^.a=nr+6n2,b=2mn.

故答案为nr+Gn2,2mn：

(2)(/n+nx/3)2=/M2+3/Z24-2V3wz?,a+4y/3=(m+n\/3)2,

・、〃=〃?~+3/广，/〃〃=2,

•・•〃】、〃均为正整数，

工加=1、〃=2或/n=2,n=1，

—或7；

(3)721+V80=V20+4^5+1=J(2遍+17=2通+1,

则、7-J21+顺

7-2V5-1

=V6-2V5

=J(V5-1)2

=V5—1.

2.(渝中区校级月考)先阅读，再解答问题:

恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为行理数运算,

可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.

例如：当X=遮+1时，求一二3-X2-x+2的值.

2

为解答这道题，若直接把入=遮+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，

对本题进行解答.

方法：将条件变形，因X=B+1,得X-1=V5,再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数

运算.

由1・1=百，可得』・2丫・2=0,BPx2-2x=2,』=2JV+2.

原式=(2x+2)-x2-X+2=JT+X-x1-x+2=2.

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题:

(1)若x=&-1,求2丁+47-3x+1的值;

X4—%3—9x2—5x+5

(2)己知x=2+g,求的值.

X2-4X+3

【分析】（1）变形已知条件得到卢1=四，两边平方得到了+2匕=1,再利用降次和整体代入的方法表示

原式化为-x+l,然后把工的值代入计算即可；

（2）变形已知条件，利用平方的形式得到』・4x=-1或f=4x・1,再利用降次和整体代入的方法化

简原式，从而得到原式的值.

【解析】(1)Vx=V2-1,

/.x+l=V2»

J(X+1)2=2,

即?+2A+1=2,

+2r=1,

，原式=2_v(X2+ZY)-3x+l

=2x-3.v+l

=-x+1

=-(V2-1)+1

=2-V2；

(2)Vx=2+V3,

Ax-2=V3>

・•・(x-2)2=3,

BPA-4,v+4=3,

Ax2-4x=-1或.r=4.v-1,

.I巧十—(4X-1)2-X(4X-1)-9(4X-1)-5X+5

・・以八==4+3-

=1(16?-8x+1-4?+A--36,r+9-5x+5)

=1[12(4x-l)-48.V+I5)

=1(48A-12-48A+15)

乙

1

-X3

2

3

•

2-

3.(碑林区校级月考)在解决问题“已知。=意彳，求3a2-6“-1的值”时，小明是这样分析与解答的:

.._1_v2+l_pz..

••a-1=V2,

J(a-1)2=2,〃2・2a+l=2,

a2-2a=1,

3a~-6a=3,3cr-6a-1=2.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

2

（1）化简:

3-V7

1

（2）若〃二求2j-I2a+1的值.

3+2万

【分析】（I）分子、分母都乘以3+歹，再进一步计算即可;

（2）将a的值的分子、分母都乘以3-2&得。=3-2&,据此先后求出a-3、（a-3）?及a1-6a、

2/72。的值，代入计算可得答案.

22(3+")2(3十")

【解析】（1）=3+夕；

3-V7-(3一6)(3+b)9-7

1_3_272_3-272、后

(2)a=3+272-(3+272)(3-2^)~"乙，

/.«-3=-2V2,

Z.(4-3)2=8,即-64+9=8,

：,(r-6a=-I,

2a2-\2a=-2,

则2a2-12a+1=2+1=

4.（锦江区校级期中）阅读材料：善于思考的小军在解方程组窗言时，采用了一种“整体代换”

的解法：

解：将第二个方程，变形为4%+10），+），=5,即2（2x+5），）+y=5.

然后把第一个方程，代入得2X3+y=5,二尸-1.

把y=-I代入第一个方程，得x=4.

x=4

・•・方程组的解为

y=T

请你解决卜列两个问题:

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组-2y=5

\yx-qy=izt

⑵已知正数“满足霞；真二;6"求仁一意的直

【分析】（1）把第2个方程变形为3（3x-2y）+2y=19,则利用整体代换消去x,求出），的值，然后利

用代入法求出x得到方程组的解;

（2）利用整体代换的方法把原方程组转化为方程组5,再利用完全平方公式得到（专

_1____2x+2y__2

=然后利用整体代入的方法计算.

药一出y―2孙—2两

3x-2y=5①

【解析】（1）

9x-4y=19②'

把②变形为-6y+2y~19,即3C3x-2y)+2y~19③.

把①代入③，得3X5+2y=19,

，y=2.

把y=2代入①，得3厂2X2=5,

/•x=3.

・,・方程组的解为忧;；

(3x2-2xy+12y2=47©

(2x2+盯+8y2=36@'

把①变形为3/+L5盯+12.y2-35£y=47,即1.5(2?+与，+8/)-3.5肛=47③.

把②代入①，得1.5X36-3.5孙=47,

••xy—2•

把xy=2代入②，得2?+2+8产=36,

/.jc2+4y2=17,

・*+4冷，+4)/=17+8,

即(x+2y)2=25,

Vx>0,y>0,

11

♦+

局=--

*2

5.（兴庆区校级期中）阅读下面的材料，解答后面给出的问题:

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因

式，例如与赤，&+1与&-1.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同

乘分母的

有理化因式的方法就可以了，例如瞪二黑=当存二号黑=等=等

y3\/3ayj333-y3（3-V3）（3+v3）9—36

（i）请你写出3+ar的有理化因式：3-vn；

（2）请仿照上面给出的方法化简下列各式：

7一2厄

①3+26

1b

^7=(b>0,6W1)；

(3)已知a=/,b=/,求+日+7的值.

v5—2V5+2

【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出3+«1的有理化因式;

（2）①根据题目中的例子，可以将所求式子进行化简；

②根据题目中分母有理化的方法，可以将所求式子化简;

11

(3)根据a=,可以求得a+8、时的值，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的

石'71+2

值.

【解析】（I）由题意可得,

3+41的有理化因式是3-VT1,

故答案为：3-711；

3-2/2(3-2V2)29-12四+8

=17-12V2；

3+2&-(3+2V2)X(3-2V2)-9-8

z-x1-b

②：一产(/?>0,*1),

Jl-\fb

.1一匕_(l_b)(l+炳_(l-b)(l+VF)

=1+亚

'l-y[b~(1-VF)(1+VF)-1-b

(3)'：a=yJ—=>j5+2,d=-rJ—=V5-2,

店一2、吊+2

ci+b=2V5rub=1»

：,y/a2+b2+7

=,(a+b)2-2a2+7

=J(2V5)2-2x1+7

=V20-2+7

=V25

6.（达川区校级月考）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题:

已知。二熹，求2/-8〃+1的值.他是这样解答的：

••12一百-鼻

・"=5775=（2+点）（2-问=2-6’

.*.«-2=—V3.

（。-2）2=3,。2・4〃+4=3.

-4。=-1.

・・・2J・8a+l=2（d-4。）+1=2X（-1）+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题:

口康=——

(2)化简~+~~p+~~p+........+/，.；

V2+1\/3+\/2a+3V169+V168

⑶若〃二表求a"-4“2-4«+3的值.

【分析】（1）利用分母有理化计算;

（2）先分母有理化，然后合并即可；

（3）先利用〃=遍+2得到〃-2=西，两边平方得到/-4〃=1,然后利用整体代入的方法计算.

［解析】（1）/q=方言、:—后~依一C：

遮+&（V3+>/2）（V3-V2）

故答案为V5—V2；

（2）原式=岭-1+V5-&+a-遍+…+71^-

=/169-1

=13-1

=%;

1

(3)=V5+2,

底一2

/.«-2=V5>

(q-2)2=5,即〃2-4〃+4=5.

/.CT-4。=1.

.*.«4-4/-4a+3=J(A2-4d)-4a+3

=t/2Xl-4a+3

=a2-4a+3

1+3

=4.

7.(曲阜市期末)“双剑合璧，天下无敌”，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根

式中也常有这种相辅相成的“对子”，如：(2+百)(2-V3)=1,(V5+V2)(V5-V2)=3,它们的积

中不含根号，我们说这两个二次根式是互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次

1lxV3V32+V3(2+V3)(2+V3)「

根式除法可以这样解：="7=~方=—>~—7==~―7=--―7=7=7+4V3.

■\/3v3xv332—v3(2—v3)(2+v3)

像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去的方法，叫做分母有理化.

解决下列问题：

(1)将W分母有理化得W：V24-1的有理化因式是y/2；

V2—2——-----

2

⑵化简：而二后二一遮一百一；

1111

(3)化简：-p—+—p_h+—p_尸+...+----"=.

您+1V3+V2G+6VlOO+x/99

【分析】(I)分子、分母都乘以企即可得；有理化因式可以利用平方差公式求解可得;

(2)分子、分母都乘以通-6求解可得；

(3)原式变形为或一1+次-四+/-6+-+问方一闻，再进一步斤算可得.

1\1242

［解析］⑴下=~7=~百=—»

v2v2xy22

(V2+1)(V2-1)=(V2)2-12=2-1=1,即或+1的有理化因式是我一1,

故答案为：V2-1；

(2)—________2(回'")______2(V5-y/3)

Z)V5+V3-(V5+V3)(V5-V3)-5-3一心

故答案为：Vs—V3.

(3)原式二在一1十四一鱼十逐一遮十…+VT55一闻

=Vioo-i

=10-1

=9.

1V2-1V2-1V2-1f-

8-(包河区校级期中)观察、发现：西I=(置+1)(7-1)=西==百="'

⑴试化简：寻方

(2)直接写出：.——-~~尸=Vn+1-Vn；

Vn+1+Vn——

、…1111

(3)求值：+~~p~~+…+，=二.

V2+1V3+V2x/4+V3V100+V99

【分析】根据题目给出的过程即可求出答案.

【解析】⑴原式=商黯高=宣=百-历

⑵原式二篇篇谣F二标1一阮

故答案为：Vn+1—yfn

(3)由(2)可知：

原式=V2-1+V3一或+V5-V5+…+V100-V99

=-i+Vioo

=9

9.(渝中区校级月考)材料一：《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单

到复杂，从部分到整体，由低维到高惟，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现

新问题、新结论的重要方法.

材料二：恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法.利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数

运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式.

例如当x二B+1时，求一/一方十2的债.为解答这遨，若直接把x=b+l代入所求的式中，

进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答.

方法一：将条件变形，因戈=V5+i,得％・i=V5.再把所求的代数式变形为关于a・1)的表达式.原

式=(x3-Zx2-2.V)+2=3广(x-1)-xCx-I)-3x]+2=(x-1)2-3x]+2=(3x-3x)+2=2.

方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算.

由x-l=V5,可得/-2x-2=0,即』-2x=2,』=2什2.

原式=(2x+2)-x2~x+2=xz+x-x2-x+2=2

请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题:

（I）若〃2_3"=。，求切7〃2-3+目的值;

X4-X3-9X2-5X+5

(2)已知x=2+V3,求:的值.

X2-4X+3

【分析】（I）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题;

（2）根据题目中的例子，对所求式子变形即可解答本题.

【解析】（1）3。+1=0,

/+]=3〃，

2037a2-3+岛

=2a-3。)+(«2-3a)+3"3+3

=2aX(-1)+(-I)+3〃-3+2

=-2a-1+3〃-3+:

=”-4+：

=3-4

=-1：

(2)・・3=2+技

Ax-2=V5,

432

*X-X-9X-5X+5

X2-4X+3

二炉(%―2)+%2(%-2)-7%(%-2)-19(%-2)-33

"(a2)2—1

点炉+6%2-76%-19在-33

=3^1

y3x2(x-2)+373x(x-2)->/3(x-2)-21>/3-33

二2

3X24-9X-3-2K/3-33

二2

3x(x-2)+15(x-2)-6-21>/3

一2

3N/3X+15/3-6-2173

=2

_3/3(x-2)-6

二2

96

一

2

3

-

2•

10.（西湖区校级月考）在解决问题“己知。=备，求2/-8〃+1的值”时，小明是这样分析与解答的:

.•_]_2_百_号

•a=2+75=（2+遮）（2-再）=97

：.a-2=-V3,:.（々-2）2=3,a2-4r/+4=3

/.«2-4a=-1,・・・2。2・8。+1=2（a2-4a）+1=2X（-1）+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

⑴化简:春

（2）若a=微_[求代数式。（a-1）的值.

【分析】（I）根据分母有理化可以解答本题；

（2）先化简a,即可得到的值，从而可以求得所求式子的值.

【解析】⑴熹〜屋嘴黑空产

v5—v3（v5-'/3）（v5+V3）2

（2）,:a=jh=g泰+i）=a+3

••a-1=V2,

：.a（6Z-1）

=（V2+1）xV2

=2+V2.

11.（淮阳县校级月考）阅读下面的文字再回答问题

甲、乙两人对题目：“化简并求值：：+l^+a2-2,其中。=,”有不同的解答.

（1）填空：乙的解答是错误的:

（2）解答错误的原因是未能正确运用二次根式的性质？请用含字母。的式子表示这个性质

（3）请你正确运用上述性质解决问题：当3V/V5时，化简，/一Mx+49+J（2x-5月

【分析】根据已知材料，读懂材料，然后根据二次根式的性质解答.

【解析】（1）乙的做法错误.当〃=*时，i-a>0,J（i-a）2=^-a,故乙的做法错误.

故答案为：乙

（2）当aVO时，\[c?=-a；

（3）V3<x<5,

.\x-7<0,Zv-5>O.

Vx2-14x+49+V(2x-5)2=V(x-7)2+J(2x-51=7-x+2x-5=x+2

12.(滦南县一模)在解决问题“已知。=舟，求2/-8a+l的值”时，小明是这样分析与解答的:

・・〃_1-___2_.____9_^3

・“-2+百~(2+73)(2-73)-273

：,a-2=-V3,:.(。・2)2=3,a2-4«+4=3

：.cr-4a=-I,/.2a2-8«+l=2(«2-4a)+1=2X(-1)+1=-I.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题:

⑴化简：奔飞

（2）

若"=尚，求3a2-6a-1的值.

【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解;

（2）将•〃分母有理化得。=&+1,移项并平方得到。2・2a=l,变形后代入求值.

【解析】⑴康

2(75+73)

-(75+73)(75-73)

=V5+V3；

72+1

(2)*.*«=

(^+1)(^-1)

1=V2,

-2。+1=2,

Afl2-2。=1

：,3cr-6a=3

：.3cr-6a-1=2.

13.（建平县期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题:

1V2-1V2-1V2-1

=V2-1,

例％不？=(&+i)(&—1)=两==~r

例2：募33'短="-遮高*述-“…

11___

（1）-p-p=V6-y/5：_==V100—V99

V6+^——V100+V99——

（2）请你用含〃（〃为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律.

（3）利用上面的结论，求下列式子的值.-^―+^-7=+^-7=+-4-r-2

x/2+1V3+V2V4+V3V100+V99

【分析】（1）将丁：万“而分母有理化,有理化因式分别为e-烟,V100-V99；

（2）被开方数是两个相邻的数，即^/^不T+赤，它的有理化因式为而了1-迎；

（3）由（1）（2）得，原式=a-1+次-或+…+71^-回，合并可得结果.

【解析】。）高二遍一«：7=^==^-7^

⑵;=

ill1

（a）----4-------+------4-...4--^―-----

V2+1V3+V2V4+vlV100+\/99

=V2-1+V3-V2+-+A4IOO-回,

=\<100-1

=10-1

=9.

14.（淮安区校级期末）阅读下面计算过程：

1_1x（--1）_Q

V2+1-（V2+i）（V2-i）-7'

1_________1><（百一鱼）_/~!