2026年辽宁省沈阳市中考数学二轮复习之折叠问题专项训练（选填部分）

2026沈阳中考二轮复习之折叠问题专项训练（选填部分）

一.选择题（共35小题）

1.如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，A8=AC,EC=\2,现将△48C折叠，使点B与点月

A.2B.4C.6D.3

2.如图，菱形A3CD中，3。是其对角线，沿3P折叠使点。落在8。上的。处，得到△8UP,连接U

P.若A8=6,NCPC=90°,/。8。=15°,则线段C'。的长为（）

A.126一6B.6-473C.673-6D.6

3.已知四边形ABCQ为长方形.如图1,点E在线段C。上，将其沿BE折叠得到图2,BC,EC'分别

交A。于G,H,再将△（；'GH沿G”折叠得到图3,点C"恰好落在线段BE上.若NE8C=a，则/

4.如图，将三角形纸片A/3C沿。K所在直线折叠（点。在AC上，点？在A"上），点A落在△A4C外的

点4'处，且A'D//BC,若/A=34°,NB=62°,则NA'OE的度数为（）

A.42°B.34°C.62°D.31°

5.如图，在矩形ABC。中，A8=l,点E是8c上一点，将△ABE沿AE折叠，点8的对应点8'恰好落

在对角线4C上，且夕为AC中点,连接。E交4c于点P,则AP的长为（)

6.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD,BE为折痕，若NCBD=55°,则NA8E为（)

C.40°D.50°

4

7.如图，沿AE折叠矩形A8CD使点。落在8c边的点尸处,若C/=4,cosZEFC=则A8的长为

A.6B.8C.9D.10

8.如图，有一个直角三角形纸片A8C,ZC=90°,AC=6cm.BC=Scin.现将直角边4c沿直线A。折

叠，使点C落在斜边46上的点E处，则CO的长为（

A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm

9.如图是通过折纸制作五角星的过程，则下列说法错误的是（）

10.如图，在三角形纸片A8C中，AC=BC.把△ABC沿着AC翻折，点8落在点。处，连接8。.若/

8AC=36°,则NC8。的度数为（)

C.20°D.30°

11.如图，在△A3C中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,将斜边A8翻折，使点8落在直角边AC的延

长线上的点E处，折痕为AQ，则C。的长为（）

45

A.\cmB.-cmC.-cmD.2cm

33

12.如图1,已知三角形纸片ABC,AB=AC,NA=50°,将其折叠，如图2,使点4与点B重合，折痕

为ED,点、E,。分别在A8,AC上，那么NQ8C的度数为（)

B

图1图2

A.10°B.15°C.20°D.30°

13.折纸是一门占老而有趣的艺术.如图，小明拿出一张长方形纸片A/3C。，他先将纸片沿EF折叠，再

将折叠后的纸片沿G”折叠，变得G。‘与A'B'重合，展开纸片后测量发现N8尸E=68°,则NOG”

的度数是（）

Af

HFC

A.21°B.22°C.23°D.24°

14,将一张长方形纸片按图中方式折叠，若N2=65°,则N1的度数为（）

A.60°B.50°C.65°D.55°

15.如图:长方形纸片A5CD中,AD=4cmfAB=10cmf按如图的方式折叠,使点3与点。重合.折痕

为EF,则DE长为（）

◎AtE—B1

C

A.4.8B.5C.5.8D.6

16.如图，把长方形ABC。沿EF折叠，点A,8分别落在点人'，B1处，/VB'与A。交于点G.若N

1=50°,则NA'EG的度数为（）

Af

BFC

A.40°B.50°C.70°D.75°

17.将长方形A8CD沿AE折叠，得到如图所示的图形，若/CED，=56°28',则NAEO的大小是（)

\二

、匕-------'B

A.61°46'B.56°28'C.61°28'D.56°46'

18.如图，在菱形ABC。中，NB=45°,AB=6,点七在边EC上，连接AE,将△ABE沿AE折叠，若

点8落在BC延长线上的点尸处，则CF的长为（）

AD

BECF

A.2B.6-3V2C.2V2D.6V2-6

19.如图，下面是某同学的折纸示意图，则线段A。是△A8C.的【）

A

（C'）BDC

A.高线B.角平分线C.中线D.垂线

20.已知在纸面上有一个数轴如图，折叠纸面，若数轴上表示数-4的点与表示数。的点重合，则数釉上

表示数3的点与A点重合，则点A所表示的数为（）

1111111111111A

一6一5—4—3—2—10123456

A.-7B.+8C.+2D.-2

21.如图，将等边三角形4BC折叠,使点A落在8c边上的点。处（不与8、C重合），折痕为EE若

BD=5,DC=2,BE的长是（）

22.如图，将△ABC折叠，使AC边落在A8边上，展开后得到折痕/,则/是△ABC的（）

A.中线B.边的垂直平分线

C.高线D.角平分线

23.如图，在三角形纸片ABC中，ZC=90°,NB=30°,点。（不与B,C重合）是BC上任意一点,

将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为小则尸的周长为（）

24.如图，中，N4CB=90°,沿CO折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上的点E处.若NA=

25.如图，在△ABC中，AB=AC,。是边A8上的点，将△BC。沿直线C。折叠，点B的对应点E恰好

落在边AC上.若NA=a,则N4£）E=（）

26,将一张长方形纸片ABC。按如图所示的方式对折，使点C落在A4上的点C'处，折痕为MN,点。

落在点O'处，C'D'交A。于点£若8M=3,BC=4,AC=3,则ON的长为（）

31

C.一D.-

42

27.如图，在边长为2的菱形A3CO中，NA=60。，点M是4D边的中点，点N是A8边上一点，△4MN

沿MN所在的直线翻折得到用M使点A的对应点A'落在对角线AC上，则人'。的长度是（）

28.如图，在菱形ABCO中，AB=5,B,。两点间的距离是8,点M,N分别为AB,8C边上不与端点重

合的动点，且MN〃AC,将△BMN沿MN翻折，得到△GMMGM,GN分别交AC于E,F两点,当

△GE/为△AC。面积的一半时，EF的长为（）

A.2V3B.3&C.4D.6

29.如图，正方形A8CQ中，点/是对角线BD上一点、,连接CF,将△8CF沿直线翻折至U正方形A5C。

所在平面内，得到△夕CF,B'落在正方形内部，CB'交于点G,延长尸B'交八8于点石，连接

CG

岫若NDEF=9。。，则彘为（)

AD

1«lr-

A.-B.—C.A/2-1D.2-V2

22

30.在△A3。中，ZC=90°,AC=BC,将△A3。按如图所示的方式依次折叠：

有下面四个结论；

①3。平分N"C；

②BF=CD；

③NADB=5NBZW；

®/\DEF的周长等于AB的长.

所有正确结论的序号为（）

A.①③B.①③®C.②③@D.①②③④

31.如图，在△4/”?中，AC=BC,D为BC边上一点、,连接AD,/氏4。=30°,将△A8。沿AQ折直至

△ABC所在平面内的△人。夕，连接夕C.若NAC9=a,则NCABWj度数是（）

2

32.如图，将等边三角形人折叠，使得点C恰好落在边上的点。处，折痕为EF,M为折痕E尸上

一动点，若AO=2,BC=5,则△8OM周长的最小值是（）

C.6D.5

33.如图，RtZXABC中，NAC8=90°,△ABC的角平分线AO、相交于点P,延长3c至P,△ZMP

沿着8P折叠与△8FP重合，PF交AC于点H,则下列结论：①NAPB=135°；@PF1.AD；③△人P”

^△FPD；®AH+BD=AB,其中正确的有（）

A.①②③④B.①②③C.①@@D.①③④

34.已知一张三角形纸片A8C（如图①），其中A8=AC=5,BC=3.将纸片沿OE折叠，使点A与点8

重合（如图②）时，CE=mx再将纸片沿Eb折叠，使得点C恰好与8£边上的点G重合（如图③），

则△8FG的周长为（）

A.3+〃？B.8-加C.5D.8-2m

35.如图，在平面直角坐标系中，正方形A8CQ的边A8在x轴上，点A的坐标为（・2,01点E在边

CD±.将△BCE沿8E折叠，点C落在点尸处.若点尸的坐标为（0,6）,则点£的坐标为（）

y本

Bx

A.(2,8)B.(3,10)C.(4,6)D.(3,8)

二,填空题（共25小题）

36.如图，直角三角形纸片ABC中，NA=90°,将ACKG分别沿着。石，GK折叠.使点B,C

恰好都落在尸点，且O，F，G三点共线.已知8c=12,BE=3,则EK=.

37.如图，在△ABC中，NAC8=90°,AC=6,BC=8,点。在A8上，将△COB沿CO折叠，点B落

在边A8的上方点E处，CE与A8相交于点凡若AC〃OE,则30=.

AAE

产............

38.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形8cOE内部时，则/A、Nl、N2之间的数量关

系是_________________•

B

39.如图，在△48C中，N8=34°,将△A8C沿直线〃?翻折，点8落在点。的位置，则Nl-N2的数

40.在矩形A8CO中，/A=90°,AB=6,4。=8,点E是4）边上的动点，将矩形A8C。沿8E折叠,

使点A落在点A'处，当AA'OE为直角三角形时，线段4E的长为

41.智慧小组将长方形纸片人BCD按如图方式折叠，DE,CE为折痕，点八和点B的对应点分别是人,和

B',若NA'EB'=15°,则NOEC的度数为

42.如图，在矩形A/3CQ中，AO=3,A/3=4,点七为。。边上的一个动点，把△AOE沿AE折叠，当点

Q的对应点力刚好落在矩形ABC）的对角线上时，则镇'到人"的距离为.

43,如图，正方形纸片A8CO中.E是AO上一点，将纸片沿过点£的直线折叠，使点A落在CO上的点

G处，点8落在点〃处，折痕EF交BC于点F.若CG=4,EF=473,则A3=.

H

44.如图，在矩形A8C。中，A8=8,AO=6,点。是AC的中点，过点。作直线即分别交矩形的边A8,

CD于点、E,F,将四边形4OFE沿直线E尸翻折得到A'D'FE,连接A'0,若A'O//AD,则4E的

长为_____________________

45.如图，把平行四边形纸片ABC。沿对角线4C折叠，点8落在点夕处，B'C与4。相交于点E,此

时△CDE恰为等边三角形.若AB=6cm,则40=cm.

46.如图，动点£。分别是正方形A8CD的边AC,CQ上的动点，沿人E,八夕折叠正方形，点从£）的

对应点恰好都落在。处，若4B=9,当点尸是C。边的三等分点时,BE的长为.

47.四边形八〃。。是一张矩形纸片，点。是〃C上一点，将矩形纸片小〃。。折叠得到图2,使得。〃与OC

重合.若N2=52°,则NI的度数为

48.如图，在矩形ABC。中，C7)=4,点石在A。边上，且4E=?,点尸是边8C上的一个动点，将四边

形沿EF翻折，A、B的对应点G、"与点C在同一条直线上，GH与边A。交于点0,当。0=3

时，8尸的长为

AD

B

49.如图，在三角形纸片ABC中，NZMC=90°,A5=12,CE=5,沿过点4的直线将纸片折叠，使点4

落在4C边上的点。处；再折叠纸片，使点C与点。重合，若第二次的折痕与4c的交点为E,则的

50.如图，在平面直角坐标系中，正方形048c的点人的坐标为(0,2&)，E是线段8c上一点，且NAKB

将△BDE沿着OE翻折得△*DE,其中点B与点8对应，B'E交边AC于点G,夕D交AC的延长

线于点如果"G是等腰三角形，那么8£=

DB

52.如图，。。是AABC的外接圆，沿8c折叠O。，劣弧8c恰好经过圆心0,且与AB相交于点。，若

NABC=45°=2n,则0。的半径为，瓦〉的长为.

53.如图，长方形纸片ABCZ),点E在边AB上，点F,G在边CD上，连接EREG.将NBEG对折，

点8落在直线EG上的点8,处，得折痕EM；将NAE/对折，点A落在直线七户上的点4,处，得折

痕EM若NFEG=30°,则NMEN=.

DC

AEB

54.等腰△A8O中，AB=AD=3,ZBAD=\20°,将△A/3Q沿。。所在直线翻折得到△8CO,再将△4/3。

水平向右平移，得到△A677,分别连接A'C.A1D,B'C,则AC+BC的最小值为.

55.如图，在等腰直角三角形43c中，N4CB=90°,AC=2.在斜边48上取点区使得AE=8C,连接

CE,将ABCE沿着直线CE翻折，得到△(?£)£,点。与点8对应，CD交A8于点F.则因边形ACE。

的面积为.

56.如图，已知等边△A3C的边长为6,点。是AC的中点，点E在边8c上，将△CQE沿DE翻折得到

△C'DE,CE与AB交于点F,若C'DLAB,则△8EF的周长为.

A

57.如图，△ABC中，8C=6,点。为边8c的中点，连接AD将△ABO沿A。翻折至△4DE,连接BE

交AQ于点R连接AE,CF,且CE=2.则。〃=；当4E〃。凡过点A作A”J_3C,则A"

58.如图，在△ABC中，NA8C=90°,NA=48°,。是AC的中点，E是射线C8上的一点，连接OE,

将沿QE翻折得到△FOE,当。r〃A3时，则NQE3的度数为.

59.如图，在正方形网格中，△人4c的每一个顶点都在格点上，A8=5,点。是A3边上的动点（点。不

与点A,3重合），将线段A。沿直线AC翻折后得到对应线段AQi,将线段8。沿直线BC翻折后得到

对应线段加力，连接。|。2,则四边形。以肥力的面积的最小值是.

60.如图，在。A5C。中，48=6,BC=8,N48C=120°,点七是AQ上一点，将△A8E沿BE折置得到

△4'BE,连接A'C,EC.下列结论：①当点A'落在4c边上时，CE=277；②当点E为AO中点

时，CE=2V19；③当/VB=A'。时，ZABA1-Z.A'CD=N4；®DA'最小值为2a5-6.其中

所有正确结论的序号是

2026沈阳中考二轮复习之折叠问题专项训练（选填部分）答案

一.选择题（共35小题）

题号1234567891011

答案DCBACBBCCBB

题号1213141516171819202122

答案BCBCBADCABD

题号2324252627282930313233

答案CAAADBBBAAA

题号3435

答案DB

二.填空题(共25小题)

36.解：由折叠的性质可得：EF=BE=3,NB=/DFE,FK=CK,4c=4GFK,

•・•直角三角形纸片ABC中，ZA=90°,

AZB+ZC=1800-NA=90。，

：・NDFE+NGFK=90°,

VD,F,G三点共线,

，/EFK=l80°-(ZDFE+ZGFK)=90°,

设EK=x,贝ljFK=CK=BC-BE-EK=\2-3-x=9-x,

由勾股定理可得：E户+FK?=EK，

.*.32+(9-x)2=/，

解得：x=5,

:・EK=5,

故答案为：5.

37.解：VZ4CT=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=Vi4C2+BC2=10,

•:AC"DE,

:.NACl/E,

由题意可得：NACF=NE=NB,CE=BC=S,BD=DE,

VZACB=90°，

AZB+ZA=90°,

：.ZACF+ZA=9()°,

，NC/8=90°，BPCE1AD,

1i

•:-AB・CF=？C・BC,

22

,ACBC24

••CF=F-=~T

：,EF=CE-CF=^-,

,尸FC84EF

•-cosE=cosDB=AB=i0=5=DEf

.-./)£-=£SE£F£=4,

BD=DE=4

故答案为:4.

38.解：连接A4'.

则△/!'EQ即为折叠前的三角形,

由折叠的性质知：ZDAE=ZDA'E.

由三角形的外角性质知:

N1=NE4A'+ZEA1A,N2=ND4A'+ND4'A；

则N1+N2=ND4E+ND4'E=2ZDAE,

BPZ1+Z2=2ZA.

故答案为：Z1+Z2=2ZA.

/A

B

D

m

•・・NB=34°,将AABC沿更线〃?翻折，点8落在点。的位置，

・•・/£)=N8=34°,

；N1=NB+NBEF,NBEF=N2+/D,

AZ1=ZB+Z2+ZD,

，N1-N2=N8+NQ=340+34°=68°,

故答案为：68.

40.解：•・•矩形48CQ中，NA=90°,AB=6,AO=8,

.\BD=y/AB2+AD2=10,

由折叠性质可得A'B=AB=6,ZBA1E=NA=9O°,AE=A'E,

.M'D=BD-A'6=4,ZEA1Q=90°,

设AE=4'E=x,DE=8-x»

RtAEAz。中，AfE2+AfD2=DE2,

即/+4?=(8-x)2,

解得x=3,

・・・AE=3.

故答案为：3.

41.解：由折叠可设NAE£>=N4Q£=—,NBEC=NB，EC=y0,

：.ZDEC=.x+y-ZA'EH'=x+y-15°,

XVNAEA'+NBEB-ZA'EB'=I8O0,

即2x+2y-15°=180°,

故x+y=97.5°,

：,ZDEC=x+y-150=97.5°-15°=82.5°,

故答案为：82.5°.

42.解；当点少落在线段AC上，如图所示，

连接AC,过点少作。,于点F,

•••四边形A3CO是矩形，AD=3,AB=4,

：.AD=BC=3,AB=DC=4,ZB=90°,

AC=y/AB2+BC2=5,

ZD'M=ZB=90°,

由折叠的性质可知：AD'=AD=3,

*：ZD'AF=ZCAB,

•••△ON尸s^CAB,

AD(DfF3

••——9

ACBC5

2a

:・D'F=^BC=1，

当点D'落在线段B。上,过点7J作D,GIAB于点G,如图所示,

;在矩形ABC。中，ZDAB=90Q,AO=3,AB=4,

・・・8。=5,

.,AD3

..cos^AADnBD=前=5，

由折叠的性质可知：AD'=AD=3,OD'=OD,AELDD,,

：.0D=ADYOS/ADB=1=0D',

1R

ADD'=20D=3

:.BD'=BD-DD'=(,

•・・/OAB=NQ'G8=90°,4DBA=ZD'BG,

：./\ABD^^GBD',

.DiGBDf7

''AD~BD~25

771

・・"G=»D=苫

921

综上所述：当点。的对应点O'刚好落在矩形ABC。的对角线上时，则疗到AB的距离为二或二,

525

921

故答案为；3或左.

43.解：如图，连接AG,过点/作五N_LA。，垂足为N,

则/产NA=/RVE=90°，

•・•四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD=CD,ZBAD=ZABC=ZD=90°,

・•・四边形A8FN是矩形，

:,NF=AB=AD,

由折登可知AC_LK”，

,^GAE+ZAEF=NN产E+NAE尸=90°,

:.NGAE=NNFE,

又,：/FNE=4D=90°,

:.△ADGqAFNE(ASA),

：,AG=EF,

'：EF=4V3

：,AG=EF=4百，

设正方形边长为x,则A8=4O=CO=x,

VCG=4,

：,DG=CD-CG=x-4,

222

在RtZXAOG中，AG=DG+ADf

即(％—4)2+%2=(4b)2,

••・/-8x+16+f=48,

2JT-8.132=0，

x2-4x-16=0,

解得：x=2+2遥或％=2-2遥（不合题意舍去）,

：.AB=2+2向.

故答案为：2+2瓜

44.解：在矩形48CQ中，A8=8,AD=BC=6,ZABC=90a,AD//BC,

则AC='AB2+8c2=10,

连接OB，

丁点O是AC的中点，

：.OA=OB=^AC=5,

9：A:0//AD,ZABC=90°,AD//BC,

：,A'O//BC,则。T_LA8,

:,AN=BN=3AB=4,

ON为△ABC的中位线，

则ON=3,

由折叠可知，AE=AE.OA=OA,=5,NA'=OA,-ON=2,

设AE=A'E=x,则EN=4-筋

在RtZXATVE中，4，£2=8汽2+£；可2,

即/=22+(4-x)2,

解得%=.

：.AE=^,

故答案为：|.

45.解：•••△CQE为等边三角形，

：.DE=DC=EC,ZD=ZCED=60°,

根据折叠的性质，N8C4=NB'CA,

•・•四边形A8C。是平行四边形，

：.AD//BC,AB=CD=6an,

:,NEAC=NBCA,

：.ZEAC=ZECA,

VZCED=NE4C+NECA,

AZE4C=30°,

AZACD=90°,

：.AD=2CD=\2cm,

故答案为：12.

46.解：如图1,当点P位于靠近点。的三等分点时,

图1

•・,正方形A8C。，

：.AB=BC=CD=AD=9,

；・DP=gcD=3,

:・CP=CD・DP=9・3=6,

由折叠可知：OP=DP=3,

设BE=x,

由折叠可知，0E=BE=x,

APE=OE+OP=x+3,

:・CE=BC-BE=9-x,

在中，由勾股定理可知，CP?+Cf=PE,

62+(9-x)2=(x+3)2,

整理得24A=108,

解得％=

9

・♦・当点P位于靠近点C的三等分点时，8E的长为亍

如图2,当点尸位于靠近点。的三等分点时,

：.CP=CD-DP=9-6=3,

由折叠可知，0P=DP=6,

设BE=y,

由折登可知，OE=BE=y,

：,PE=OE+OP=y+6,

；・CE=BC-BE=9-y,

在RtZXPCE中，由勾股定理可知，CP?+CE2=PE2,

A32+(9-y)2=(y+6)2,

整理得30)，=54,

解得y=1

J

，当点P位于靠近点C的三等分点时，BE的长为g.

99

综上所述，当点。是CO边的三等分点时，8E的长为彳或

99

故答案为：)或

47.解：如图

将矩形纸片ABCD折叠得到图2,使得03与OC重合,

Z2=Z3,Z4=Z5,

VZ2+Z3+Z4+Z5=180°,

A2(Z2+Z4)=180°，

・・・N2+N4=90°，

VZ2=52°,

AZ4=90°-52°=38°,

•・•矩形的对边平行,

AZ1=Z4=38°.

故答案为：38.

•・•四边形ABC。是矩形，将四边形A8FE沿E/翻折，A、8的对应点G、”与点。在同一条直线上,

4

AZA=ZG=90°，ZCHF=ZB=90°，EG=AE=AB=CD=GH=4,BF=CH,

•:/GOE=/DOC,

:.△GOEsRDOC,

*_O_G_EG

ODCD

4

.££_1

••—，

34

解得：OD=1,

AOH=GH-OG=4-1=3,

：.OC-\/OD2+CD2->/42+32-5,

：.CH=OC-OH=5-3=2,

VZOCD+ZOCF=90°,ZCF7/+ZOCF=90°,

，40CD=4CFH,

•；NCHF=/D=90°,

:.△OCDs^CFH,

CDOD43

/.--=---,即---=一,

FHCHFH2

解得：FH=t

:.BF=FH=

故答案为：泉

49.解：由折直的性质可得A6=AD=12,/B=NADB,DE=CE=5,々CED=/C,

•；N8AC=90°,

・・・NB+/C=90°,

/.ZADB+ZCDE=9Qa,

・・・NAOE=9(T,

在RtZVIQE中，AE=y/AD2+DE2=13,

故答案为：13.

50.解：在平面直角坐标系中，正方形。48。的点A的坐标为(0,2a),则：

过点尸作尸G_Ly轴于点G,作尸OJLx轴于点/),

由题意可得：NB=90°,0A=2yf2,

：.AB=0A=2或，

VZAEB=67.5°,

・・・N8A£=22.5°,

由折叠的性质可知，ZI3AF=2Z13AE=45°,AF=AB=2'/2

的G=45°,

VFGlyffl,

AZAFG=45°,

：,AG=FG,

t：AG2+FG2=AF2,

即心+FG2=(2V2)

：.AG=FG=2,

：.0G=OA-AG=2^2-2,

,/ZFGO=NFDO=ZD0G=9()°,

:・FD=OG=2^2-2,

二点户的坐标为(-2,2V2-2)；

51.解：由题意，画出图形如下：过点，作〃/JLBE于点F,

VZACB=90°,

.,.ZDC/7=90°,

•・・8E交边AC于点G,87)交AC的延长线于点从

:・NBHG=NDCH+NCDH=90°+NCQH>9(T,

・•・如果"G是等腰三角形，则只能是N8HG为顶角，B,H=GH,

:・NB=NEGH,

由对顶角相等得：/AGE=NB'GH,

・•・NAGE=/B\

由折叠的性质得：

JNAGE=NB,

:在△/WC中，ZACB=9()0,AC=6,BC=8,CO=2,

，N4+N“=90°,AB=y/AC2+BC2=10,BD=RC-CD=6,

・・・NA+NAGE=90°，

AZAEG=90°,BPRE1AB.

由折叠的性质得：B,E=BE,BD=BD=6,

B'E=BE=x(0<x<10),AE=AB-BE=\0-x,

在aAEG和△ACB中，

(^AEG=NACB=90°,

L/l=乙4

.AGEGAEAGEG10-x

••——,UH——,

ABBCAC1086

解得：AGEG=^^,

oo

：.CG=AC-AG=B'G=8'E-EG=勺竺，

,:B'H=GH,HFVB,E,

.”137x-40

・・FG=28rG=-—，

又・・・8E_L4B,HFLB'E,

:.AB//HF,

:.丛HFGSXAEG,

7X-40

.HGFGHG

即6

''AG='EG50-5X40Tx'

3

35x-200

解得“

G=24

244—Rv—GY

:.HD=B/D-BfH=BfD-HG=，CH=HG-CG=*j,

234435x2

在RtZXCQH中，CH%CI?=HN,gp（^Z§^）2+2=（~）,

解得％=等她=等＞10（不符合题意，舍去），

即BE=等,

故答案为：—.

52.解：如图，沿8c折叠。。，劣弧8c恰好经过圆心O,且与钻相交于点D,NA8C=45°,BC=2瓜

过点O作OFA.BC,交。。于点E,

：.0F=EF=^OE=BF=CF=^BC=遍.

在直角三角形尸中，由勾股定理得：0#=0尸+〃尸,

即0”=$08）2+（连）2,

解得：0B=2企（负值已舍去）；

连接A。，并延长交。。于点G,

TAG是。。的直径，

AZABG=90°.

VZABC=45O,

：.ZCBG=45°,

则点。和点G关于对称，

：.BD=BG.

ripi

在RtZiBO/中，sinBO==

••・NFBO=30°,

：,ZABO=ZABC-ZFBO=\5a.

*：AO=BO,

：.ZBAO=ZABO=\50,

NBOG=NA4O+NZMO=30°.

过点8作BH_LOG,于点儿

在中，ZBOH=30°,BO=272,

：.BH=^B0=V2,

由勾股定理得：OH=>JOB2-BH2=显,

:.GH=OG-OH=2V2-V6.

在直角BGH中，由勾股定理得：BG2=GH2+BH2=(2或-V6)2+(V2)2=8-4/12+6+2=16-

4/12=16-8V3,

即BO?=16-875.

53.解：•・•将N8EG对折，将/AE尸对折，

・•・NNEF=1Z.AEF,NMEG=1乙BEG,

当点G在点尸的右侧，

JNNEF+/MEG=：乙IE尸+1乙BEG=|+乙BEG)=1^AEB-"EG)，

乙乙乙乙

VZAEB=180°,ZF£G=30°,

・•・/NEF+/MEG=1(180°-30°)=75°,

:・/MEN=/NEF+/FEG+/MEG=150+30°=105°:

当点G在点尸的左侧，

/NEF+/MEG=\LAEF=^{LAEF+乙BEG)=1^AEB+乙FEG),

•.•NAE8=180°,ZFEG=30°,

JNNEF+/MEG=1(180°+30°)=105°,

:・NMEN=NNEF+NMEGZFEG=105°30°=75°,

故答案为：105°或75°.

54.解：如图:

在B。上取点H,使得ABC”为菱形，H平移后的点为H',过点。作直线A4'的对称点M,CM交

BD于点N,

，A'C=ArM,

由平移可得48'=HH,,

AH'=AH=BC,AH'//AH//BC,

在△BB'C和△△'HH'中，

Wz=BC

)/,B'BC=乙A'H'H，

=HH'

:.ABB'C^/XA1HH'(SAS),

：,BrC=ArH,

B'C+A1C=AfH+ArM2MH,

当M,人'，H三点共线时，"CMC的值最小，

•・・NABC=60°,AB=BC=3且四边形ABC”为菱形，

1

.\Zl=1Z/lBC=30o,

,：AC1BH,

，/2=90°-Zl=60°,N3=N2=60°,

VAM=AC,NABC=60°,

・•・△ABC是等边三角形，

：,AB=AC=AH=AM,

:.N4=N5,

VZ4+Z5=Z3=60°,

AZ4=iz3=30°,

乙

•:AMNH为30°的直角三角形，入8=3,

・・.AN=L5,BN=)32-1.52=孥,

o

:.NH=BN=+®

:.MH=2HN=3®

工则A'C+B'C的最小值为3百，

故答案为：3g.

55.解：:△ABC是等腰直角三角形，且NAC3=90°,AC=2,

：,I3C=AC=2,NB=NC48=45°,

.\AE=BC=AC=2,

在△ACE中，AE=AC,NC人B=45°,

1

AZACE=ZAEC=(180°-NCAB)=67.5°,

；・NBCE=NACB-NACE=90°-67.5°=22.5°,

由翻折性质得：BD=BC=2,NDCE=NBCE=22.5：

在△CEF中,ZCFE=180°-(NDCE+NAEC)=180°-(22.5°+67.5°)=90°

：.AE±CD,

**•S^ACD=icD*AF,S&ECD=\cD*EF,

・'•S四边形ACED=5/.ACD+S/\EC/厂|cDX(AF+EF)=^CD*AE=义x2x2=2.

故答案为：2.

56.解：过点£＞作。”_LBC于点”，设。。交A8于点K,如图所示：

・•・ADHC和ADHE都是直角三角形，

•••△A8C是等边三角形，且边长为6,

：,AC=AB=BC=6,NA=NB=NC=60°,

丁点。是4C的中点,

1

・・・CO=%C=3,

VCZDIAB,

/.ZAKD=90°,

在RtZXAK。中，ZADK=90°-ZA=30°,

・・・NCOK=1800-ZADK=150°,

由翻折性质得：ZCDE=ZCDE=|ZCDK=750,ZCED=ZCED,

在△COE中，ZCED=180°-(NC+NCQE)=180°-(60°+75°)=45°,

：・NCED=NCED=45°,

；・NCEC=NCED+NCED=90°,

：,FEB=180a-ZCEC=90°,

・•・ABE/是直角三角形，

在尸中，设8E=a,

VZBFE=900-ZB=30°,

:.BF=2BE=2a,

由勾股定理得：EF=yjBF2-BE2=V(2a)2-a2=V3a,

:.ABEF的周长为：BE+BF+EF=Q+2Q+近a=(3+V3)a,

在RtZ\OCH中，CO=3,ZCD/7=90°-ZC=30°,

i3

:,CH=^CD=*

由勾股定理得：DH='CD?-CH?=即—©)2=攀

在RtZXQAE中，/DHE=90°,NCED=45°,

是等腰直角三角形，

:.EH=DH=等，

：.BE=BC-EH-CH=6—竽一*

即〃=阵华④，

J(34-V3)a=(3+V3)x退声1=9,

•••△8EF的周长为9.

故答案为：9.

57.解：在△ABC中，8C=6,点D为边BC的中点,

：,BD=CD=1fiC=3,

由翻折性质得：ED=BD=3,AD1BE,EF=BF=』BE,

:.ED=BD=CD=3,ZBFD=90°,

・••ZDEB=/DBE,ZDEC=/DCE,

JZBEC=ZDEB+ZDEC=ZDBE+ZDCE,

在48七。中，ZD13E+ZDEC+ZBEC=180°,

.,.2Zfi£C=180°,

.\Z«EC=90°,

•••△BE•。是直角三角形，

在中，BC=3,CE=2,

由勾股定理得：BE=>JBC2-CE2=V62-22=4\[2,

：,EF=BF=^BE=2V2,

•:/BFD=NBEC=9U°,