不等式的实际运用（导学案）-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章不等式与不等式组导学案

2.2不等式的实际运用

A学习目标与重难点

学习目标：

1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步

骤。

2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。

3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。

学习重点：

建立“建模”思想，即把文字语言转化为数学符号语言（〉,<,弄W〉）。

学习难点：

解集的整数解：实际问题中求出的解集往往是范围，需要在这个范围内找出符合题意的整数（如租儿

辆车，买几本书）。

»预习自测

一、知识链接

1.解一元一次不等式的步骤：

解一元一次不等式的依据是:O

2.不等式的基本性质是

1、如果a>b那么o

2、如果a>b,c>0那么。

3、如果a>b,c<0那么o

4^如果a>b,b>c那么。

A教学过程

一、创设情境、导入新课

准备题：某种商品进价为200元，标价为300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于

5机请你帮助售货员计算一下,这种商品最多可以按几折销售？

利润率=，不等关系o

设这种商品可以按x折销售列出不等式

解这个不等式，得Xt

所以，这种商品最多可按折俏售

二、合作交流、新知探究

例1、一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣一分。在这次

竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？

解：设小明答对了x道题，则答错或不答的共有（25-x）道，根据题意，得

4x-lX（25-x）285

解这个不等式，得x222

答：小明至少答对了22道题。

归纳：

应用一元一次不等式解决实际诃题的关键是什么？基本步骤有哪些？

（类比应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤）

1.审：明确题意和题目中的数量关系；

2.找：找出表示题目全部含义的不等关系

3.设：用字母表示题目中的未知数；

4.歹根据不等关系列由元次不等式；

5.解：解不等式得解集

6.验：检验解集是否符合题意，是否符合实际；

7.答：写出答案，包括单位。

例2、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，

请你帮她算一算，她还可能买几枝笔？

解：设她还可能买x枝笔，根据题意，得3x+2.2x2W21

解这个不等式，得烂呸

3

・•,X只能取正整数,・・・x可以取1、2、3、4、5.

答：她还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔。

三、课堂练习、巩固提高

1、不等式10(x—4)+x2—84的非正整数解是

2、2、若关于x的不等式x—lWa有四个非负整数解，则整数a的值为。

3、不等式3xT2x+3的解集是()

A.xW4B.x»4C.xW2D.x22

4、某种商品的进价为900元，出售时标价为1650元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但

要保证利润率不低于10斩则最多可打()

A.6折B.7折C8折I).9折

5.下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正.

解不等式：土卫_1<上生

35

解：去分母，得5(4-3X)T5V3(7-5x)①

去括号，得20T5xT5V21T5x②

移项，合并，得5<21③

因为x不存在，所以原不等式无解.④

能力提升：

6.学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客

量30人.已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租

金1760元.

(1)求1辆甲种客车和1辆乙和客车的租金分别是多少元？

(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？

拓展迁移

7.某中学体育组因教学需要本学期购进篮球和排球共100个，共花费2600元，已知篮球的单价是20

元/个，排球的单价是30元/个.

(1)篮球和排球各购进了多少个(列方程组解答)？

(2)因该中学秋季开学成立小学部，教学资源实现共享，体育组提出还需购进同样的篮球却排球共3()

个，但学校要求花费不能超过800元，那么排球最多能购进多少个(列不等式解答)？

四、总结反思、拓展升华

应用一元一次不等式解决实际词题的关键是什么？基本步骤有哪些

1.审：明确题意和题目中的数量关系；

2.找：找出表示题目全部含义的不等关系

3设:用字母表示题目中的未知数;

4.列：根据不等关系列出一元一次不等式；

5.解：解不等式得解集

6.验：检验解集是否符合题意，是否符合实际；

7.答：写出答案，包括单位。

五、【作业布置】

基础达标：

1.不等式3(l-x)>2Tx的解在数轴上表示正确的是()

'&6B.马丁3>C.1°»D.

2.关于x的方程3x^m=l的解为正数，则m的取值范围是（）

A.m<-LB.m>-LC.m>1D.m<1

2222

3.不等式6Tx23x~8的非负整数解为（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分,答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至

少要答对的题的个数为（）

A.13B.14C.15D.16

5.世纪公园的门票是每人5元，一由购后常满40两酒法门票可少1元.若少于40人时，一个团队

-----------x-------

至少要有人进公园，买40侬门票%而合算.2

6、m取何值时，关于x的方程的解大于1。

能力提升：

7.接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段.北京科兴中维需运输一批疫苗

到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5

辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒.

（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗.

（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用

3000元.若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元.请你列出所有运输方案，并指出哪种

方案所需费用最少，最少费用是多少？

拓展迁移：

8.红星中学计划组织春季研修活动，活动组织负责人从公交公司了解到如下租车信息:

车型AB

载客量（人命）4830

租金（元/辆）400280

校方从实际情况出发，决定租用A、B型客车共5辆，而且租车费用不超过1900元.

（D请为校方设计可能的租车方案；

（2）在（1）的条件下，校方根据自愿的原则，统计发现有193人参加春季研修活动，请问校方应如何租

车，既能全部坐下且又省钱？

课堂练习参考答案：

1>x=0,-1,-2,-3,-4.

2、2<a<3

3、D

4、A

5、答：第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数.

6、解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有

rx+3y=1240

3x+2y=1760,

解得fx=4（）0

产280.

故1辆甲种客车的租金是40()元，1辆乙种客车的租金是280元；

(2)设租用甲种客车m辆,依题意有

45m+30(8fn)2330,

解得m26,

故6<mW8,

租出方案：

方案一、租用甲种客车6辆，租用乙种客车2辆

方案二、租用甲种客车7辆，租用乙种客车1辆

方案三、租用甲种客车8辆，租用乙种客车。辆

方案•费用400X6+280X2=2400+560=2960(元)；

方案二费用400X7+280=2800+280=3080(元)；

方案三400X8=3200(元)；

2960<3080<3200,

故最节省的租车费用是2960元.

7、解:(D设购进篮球x个，购进排球y个，根据题意可得：25-X

-x+y=100

20x+30y=2600,

解得：rx=40

<

y=60,

答：购进篮球40个，购进排球60个；

(2)设购进排球z个，购进篮球(30气)个,根据题意可得：30Z+20(30Y)W800,

解得:zW20,

答：最多购进排球20个.

课外作业参考答案：

1、A

2、B

3、B

4、C

5、33

6、解：解这个方程去分母得x-2(6mT)=6x-3(5mT)

根据题意，得网二1>1

5

解得m>2

7、解：(1)设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，

由题意可得，俨+淅600

5x+6y=1350

\=150

解得|y=100J

答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；

2)设A型车a辆，则B型车(12-a)辆，

由题意可得，(i50a+100(12-a)>1500，

15000a+3000(12-a)<54000

解得6WaV9,

・・・a为正整数，

・・・a=6,7,8,

.•.共有三种运输方案，

方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，

方案三：A型车8辆，B型车4辆，

VA型车一次需费用5000元，3型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫

苗，

."A型车辆数越少，费用越低，

・••方案一所需费用最少,此时的费用为5000X6+3000X6=43000