2026年中考数学一轮复习专项：二次函数中菱形的存在性问题

二次函数中菱形的存在性问题一2026年中考数学复习专项

1.如图，抛物线yn-f+8+c与X轴交于点A（-I,o）、8（4,0）,与丁轴交于点C,连接BC,

⑴求抛物线的表达式；

⑵设P的横坐标为匕请用含，的式子表示线段PQ的长，并求出线段尸。的最大值；

（3）已知点仞是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得

最大值时，是否存在这样的点M、N,使得四边形P8MN是菱形？若存在，请直接写出

点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线y=ad+6工+。交工轴于八，B两点,交），轴于点C.直线丁二%一5经过点B,

C.

（1）求抛物线的解析式；

⑵直线y=f交抛物线于点。、Q,抛物线的顶点为。，四边形OPEQ为菱形.

①当1=3时，求菱形。PE。的面积；

②当点E落在V48C内部（不含边上）时，直接写出/的取值范围.

3.如图，已知抛物线），=⑪2+版-4与x轴相交于A（4,D）,8（-2,0）两点，交V轴于点C,

(1)求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标.

⑵如图，点M是抛物线对称轴上的一点，求△”口?周长的最小值.

(3)如图，P是线段人B上一动点(端点除外)，过P作FZ)〃AC,交于点。，连接CP.求

△PCO面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以以、PD为邻边的平行四边

形是否为菱形.

4.如图，已知二次函数)=♦十以十3的图象经过点八(1,0),C(3,o),与y轴交于点3,

点P是直线8c上方的抛物线上一动点，过点P作PQ〃y轴，交直线BC于点Q,过点P作

(1)求该二次函数的解析式.

(2)求线段P"的最大值.

(3)点例是抛物线对称轴上的一个动点，N是平面内的一点，是否存在点N,使得以M、N、

人、8为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图.在平面直角坐标系中，抛物线丁=-/+云+c与x轴交于A,8(4,0)两点，与)，轴

交于点。(。,4).

试卷第2页，共8页

图1图2

(1)求抛物线和直线4c的函数表达式；

(2)如图1,点尸是线段BC上一动点(不与点3,。重合)，连接PO,将沿O夕融折，

得到四边形"PC,若四边形OCPC为菱形，求点P的坐标；

⑶如图2,点Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作轴于点M,交直

线8c于点N,求线段QN的最大值，以及此时点。的坐标.

6.如图，抛物线)，=/十反十©与X轴交于A、〃两点，与)，轴交于。点，。入―2,OC=6,

⑴求抛物线的解析式；

(2)点。在抛物线的对称轴上，当，A8的周长最小时，点。的坐标为

⑶点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和求BCE面积的最大值及此时点E

的坐标；

(4)若点M是)，轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N,使以点4、C、M、N为顶点的四

边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

7.如图，已知抛物线G：y=-』+〃x+c与)，轴相交于点c(O,l),对称轴为直线x=2.坐标

原点为。点，抛物线G的对称轴交大轴于A点.

(I)抛物线的关系表达式；

(2)将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线G，G与G相交于点E,点尸为抛物线Ci

对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H,使以点C,E,F,H为顶点(向四

边形为菱形，若存在，请求出点，的坐标；若不存在，清说明理由.

4

8.如图，已知直线y=§x+4与工轴交于点A,与)，轴交于点C,抛物线y=aP+/>+4经

过A,C两点,且与x轴的另一个交点为8,对称轴为直线x=T

(I)求抛物线的表达式：

⑵。是第二象限内抛物线上的动点，设点。的横坐标为加，求四边形4BC。面积S的最大

值及此时。点的坐标；

(3)若点。在抛物线对称轴上，点。在平面上，以点A,C,P,。为顶点作菱形，请直接写

出符合题意的P点的坐标.

9.在平面直角坐标系中，效物线y二-4/+〃优+〃经过原点。和点A(4,0),点川是

抛物线上的点，且在对称轴右侧，连接08,点C为抛物线顶点.

试卷第4页，共8页

A

X

⑴求"b〃，/的值；

（2）点C坐标为,sinN40B=；

⑶过点C作。。_Lx轴于点。，交OB于点E,连接A3、AE,求4A5石的面积；

（4）点M是射线OB上一点，点N是平面内一点，存在以。、A、M、N为顶点的四边形为菱

形，请直接写出点N的坐标.

10.如图，抛物线），=-3，/+21+6与x轴交于A,3两点（点A在点8的左侧），与>轴交

于点C,其对称轴与抛物线交于点。，与x轴交于点E.

（2）点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点。出发，沿直线OE以每秒2个单位长度的速

度运动，过点G作x轴的平行线，交抛物线于M,N两点（点股在点N的左边）.设点G的

运动时间为玄.

①当/为何值时，以点M・N,B,月为顶点的四边形是平行四边形；

②连接BW，在点G运动的过程中，是否存在点使得SIBD=/EDB,若存在，求出

点”的坐标；若不存在，请说明理由；

⑶点Q为坐标平面内一点，以线段MV为对角线作菱形ME7VQ,当菱形ME7VQ为正方形时，

请直接写出/的值.

11.如图，抛物线y=-J/+2X+6与x轴交于A,3两点（点A在点8的左侧），与y轴交于

点G其对称轴与抛物线交于点。，与x轴交于点E.

(1)求点A,B,。的坐标；

(2)点G为抛物线对称轴上的一个动点，从点。出发，沿直线OE以每秒2个单位长度为速

度运动，过点G作x轴的平行线，交抛物线于M,N两点(点M在点N的左边).设点G

的运动时间为/s.

①当，为何值时，以点M,N,B,E为顶点的四边形是平行四边形：

②连接BM,在点C运动的过程中，是否存在点M,使得NMBD=NEDB,若存在，求出点

M的坐标；若小存在，请说明理由；

(3)点Q为坐标平面内一点.，以线段MN为对角线作菱形MENQ,当菱形MENQ为正方形时，

请直接写出，的值.

12.如图，抛物线y=队+6与x轴交于4-2,0),网6,0)两点，与)，轴相交于点C.连

接AC,BC.

图1图2

⑴求抛物线解析式；

⑵如图1,线段E尸(点£在点尸左侧)是直线8c上一段长度为2的动线段，1y轴上C点下

方有点Q,试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点P,使得四边形/是菱形，若存

在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由；

(3)如图2,点M为抛物线第一象限图象上点，若/OCM=ZACB,求点M坐标.

13.如图①，在平面直角坐标系中，若菱形bG6满足lanG=1，6〃〃不轴，则称该菱形

4

试卷第6页，共8页

为“标准可放缩菱形”.抛物线M=ad+/*+c与x轴交于点A,B,顶点为点C(l,-4),与丁

轴交于点E(0,-3).

⑴求二次函数y=办?+公+c的函数表达式;

⑵若菱形FG”/的顶点G与点A重合，点/恰好落在抛物线弘=以2+/以+。上，求点/的坐

标；

2

⑶如图②，已知抛物线y2=a(x-\-m)+g〃?-4的顶点为点。，其中"?>0,直线y=g-8〃?

与抛物线X，)、对称轴右侧的曲线分别交于点P，。，且P,。两点分别与“标准可放缩菱

形”的顶点G,/重合，求，〃的值和点Q的坐标.

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+区—4与x轴交于点4(-4,0),8(2⑼，

与.V轴交于点C

ffll图2

(I)求抛物线关系式：

(2)已知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接幺.夕。，求四边形APC8面积的最大，直及

此时点P的坐标：

(3)如图2,点。为抛物线的顶点，对称轴OE交x轴于点£,M是直线AC上一点，在平面

直角坐标系中是否存在一点M使得以点C,E,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在，

请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线>，=尔+/>+4与工轴交于点8(2,0)和点。

与y轴交于点A(0,4).。为第一象限的抛物线上一点.

备用图

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求面积的最大值；

(3)过点。作垂足为点E求线段DE长的取值范围；

(4)若点八G分别为线段Q4、上的点，且四边形是菱形，直接写出点。的坐标.

试卷第8页，共8页

参考答案

1.(l)y=-x2+3x+4

(2)-r+4/»最大值是4

(3)存在，(|，乎)或仔-日)

【分析】(1)设抛物线的解析式为xj(x-rj,根据抛物线与x轴交点可得交点式，

化简即可求解；

⑵求出点C坐标后可求得直线的表达式，设点P&T+4),则。(「『+3/+4),利用

二次函数的性质即可求出尸。的最大值：

(3、

(3)当四边形28MV是菱形时，BP=BM,设点M-,w,由方程

I」/

(4-2)2+(0-2)2=f4-->2+(0-/H)2,求出■〃的值即得答案.

【详解】(1)解:设抛物线的解析式为y=-(x-%)(x-马),

・,,抛物线),=-x2+/W+C与X轴交于点A(TO)、8(4,0),

2

.*.y=-(X-X1)(X-A2)=-(X+1)(X-4)=-X+3X+4,

故抛物线的表达式为丁=-丁+3x+4；

(2)解：•,抛物线的表达式为y=-/+3x+4,

.”=0时，y=4,即C(0,4),

设直线BC的表达式为)，=6+4,

将8(4,0)代入得4八4二0,

解得火=一1，

则直线BC的表达式为y=-x+4,

设点P&T+4),则。(/,--+3/+4),

则pQ=(-r+3/+4)-(-/+4)=-/24-4/,

1.,PQ=-r+4r=-(r-2)2+4,

答案第1页，共40页

其中一1<0,

・••PQ有最大值，当f=2时，。。取最大值4；

（3）解：存在，理由如下：

当/=2时，点P（2,2）,

7抛物线的表达式为y=*+3x+4=-0-町+牛,

3

••・抛物线对称轴为x=

设点M值，〃?），而8（4,0）,

四边形P8MN是菱形，

:.BP=BM,

即（4_2『+（0-2）2=^4--1+（0一小

I2）

解得m=±且,

2

3

即点M的坐标为

【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函

数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象

与性质.

2.（l）y=-x2+6x-5

⑵①2；②1</<2

【分析】（1）由直线解析式求得及。的坐标，代入抛物线解析式，待定系数法求解析式即

可；

【详解】（1）解：•・•直线y=x-5经过点4,C

令”=（）,则y=-5,令y=0,则K=5,

・•・B（0,-5）,C（5,0）,

代入y="2+6x+c,得

25。+30+。=0'

解得。=-1，

答案第2页，共40页

••・抛物线的解析式为y=-X2+6X-5.

(2)vy=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,

D(3,4),

①当f=3时，-x2+6x-5=3>

解得演=,28=4,

PQ=4-2=2,

四边形。尸£Q是菱形，

DE关于P0对称，

•・・。(3,4),

.-.£(3,2),

•••DE=2,

••・菱形。尸EQ的面积为gDExPQ=gx2x2=2,

②四边形。PEQ是菱形，

2E关于P。对称，

VD(3,4),

设E(O,e),

当E在x轴上时,e=0,，=寄=2,

442

当E在丁二1一5上时,，e=3-5=-2,/=~(­)=i.

2

二•当点E落在VA8C内部(不含边上)时，，的取值范围为

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质，轴对称的性质，一次函数

与坐标轴交点问题，掌握以上知识是解题的关键.

3.⑴抛物线的解析式为：y=lx2-x-4,对称轴是直线x=l,顶点坐标是卜

(2)275+472

(3)以始、PO为邻边的平行四边形不是菱形

【分析】(1)用待定系数法求出抛物线的解析式，即可求解；

答案第3页，共40页

（2）轴对称的性质可知=,

从而得到AMBC的周长=+CM+R7=AM+CM+BC>AC+BC,进而得到当点4、C、

M在同一条直线上时AM+C例可取得最小值，为4C的长，即当点A、C、M在同一条直线

上时，AWBC周长的最小，为AC+BC,即可求解；

（3）设尸（以0）,则一2<〃?<4,可得以=4一/〃，PB=m+2,然后根据△BDPsA^CA,

可得。。=，"+2）,过点尸作PM_LAC,可得尸M=£=¥（4T〃），可得到△，口）的

面积，然后根据二次函数的性质即可求得△PCO面积的最大值，最后再分别计算出P4PD

的长，由此即可判断以尸4叨为邻边的平行四边形是否为菱形.

【详解】（1）解：•・•抛物线），=如2+法-4与％轴相交于A（4,0）,8（-2,0）两点

\_

16。+4〃-4=0

解得:2,

4。一2〃-4二0

，抛物线的解析式为：y=^x2-x-4,

・••抛物线的对称轴是直线x=l,顶点坐标是。，一

（2）解：•・•点M在对称轴上，A、4关于对称轴对称,

/.AM=BM,

：,AMBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC>AC+BC,

如图，当点A、C、M在同一条直线上时AM+C例可取得最小值，为AC的长,

即当点4、。、M在同一条直线上时，△M8C周长的最小，为AC+8C,

对于y=-x2-x-4,

当X=。时，）'=-4,

答案第4页，共40贝

工点。（OT）,

・・・A（4,0）,以-2,0）点,

・•・AC=j4?+42=4丘,BC=yl*+4?=2石，

・•・△MAC周长的最小值为：BC+AC=2逐+.

(3)解：设P(〃?,0),则一2<〃2<4,

••,A(4,0),8(-2,0),

7^4=4-m,PB=1)1+2,

-PD//AC,

••・△BDP^ABCA,

PDBPPDm+2

---=---,即Hn---7==---

ACAB4V26

解得：叨=乎(〃?+2),

如图，过点尸作PM_LAC,

在RlAOC中，OA=OC=4,

・•・△AOC是等腰直角三角形,

AZC4B=45°,

••・P/S=£=¥(4—〃?)，

APCO的面积

S43M=；x争i)x半(〃?+2)=纲+2)(4一〃?)=—犷+|*,

S=一§(/〃-1)~+3,

答案第5页，共40页

面积的最大值为3,此时m=l,

APA=4-m=3,。。=孚（,〃+2）=2应，

JPA手PD,

••・以小、PO为邻边的平行四边形不是菱形.

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，一次函数的图象性质，菱形的判定，相似三角形

的判定和性质，熟练掌握特定系数法求函数关系式以及二次函数的图象性质是解决本题的关

键.

4.（1）y=-x2+2x+3

⑵矩

8

⑶N（—2,2）,M（2,〃+3）,乂仅-76+3）,M（0,-3）

【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式.

（2）设尸（肛->+2〃?+3）,。（〃?.-阳+3）,利用两点间的距离公式得到PQ=-〃/+3〃?，利

用配方法求得PQ最值.可证明,尸"Q为等腰直角三角形，则PQ最大时，PH最大,求解即

得到答案.

（3）由题意，以M、N、A、“为顶点的四边形是菱形，即AMAS为等腰三角形，分三

种情况讨论：①M4=M3，②M4=A/L③=借助于方程求得点例的坐标，进而

求得N坐标.

【详解】（1）解：•••二次函数y=〃2+辰+3的图象经过4-1,0）,c（3,o）,

a-h+3=0

'9a+3b+3=0

a=-\

解得L0，

b=2

二.此二次函数表达式为y=-x2+2.v+3；

(2)•,・设直线BC为y=H+=因其经过8(0,3),C(3,0),

b=3

"[3Z+/?=0'

解得左=-1,b=3,

直线BC的表达式为y=-x+3,

答案第6页，共40页

设-in2+2m+3),-m+3),

PQ=-nr+2m+3-(-m+3).

=-m2+3m，

/3、29

二一(加——y+—,

24

9

・・・P。的最大值为：，

4

•;0C=0B=3,ZBOC=900,

・•・・08。为等腰直角三角形，

/.ZO^C=45°,

•・,PQ〃y轴，

/.NPQH=NOBC=450,

•・•ZPHQ=90°,

・"PH。为等腰直角三角形，

...PH=PQ-cos45°=*PQ，

Wo,

2

.•.P"随P。增大而增大，

当尸。的最大值为彳9时，

4

*7299>/2

最人侦248

(3)答：存在以M、N、A、8为顶点的四边形是菱形；

解：若以M、N、A、8为顶点的四边形是菱形，即AM4B为等腰三角形,

•・,二次函数y=[d+2工+3的对称轴为4=-3二1,0A=\,08=3,

2a

在RtAAffO中由勾股定理可得八8=#7¥=而，46=10.

设则M42=22+/,M8?=F+(a-3)2.

分三种情况讨论：

若MA=MB,

则22+/=12+3—3)2,解得°=1,

此时四边形MANB为菱形,

答案第7页，共40页

•・•菱形对角线互相平分，由中点公式知:

XA+Xli~XM+XN

以+）'8=%+力，

一1+0=1+/

即《[0+3=1+）、,

N（-Z2）

若M4=A〃，2:+a2=10>得〃=±>/^,

/.A/2(1,X/6),M式1,—")；

此时四边形AMNB为菱形，

同理求得M(2,76+3)或M(2,一遥+3),

若=l2+(n-3);=10,得a=0或。=6,

.\；W4(1.0),A/s(1.6).

%、A、8三点共线，

:•％。，6)舍去.

此时四边形仍为菱形，

此时N4(0,-3)

的坐标为:N(一22),/V2(2，X/6+3),M(2,—#+3),乂(0,-3).

5.(l)y=-A+4,y=-x:+3x+4

⑵网2夜,-2加+4)

(3)最大值4,点。的坐标为(2,6)

【分析】(1)将8(4,0),C((),4)代入.y=-/+"+c,利用待定系数法即可求得抛物线的

函数表达式；设直线8c:y=依+〃，代入即可求解.；

(2)由题意得PC=OC=4,设点.坐标为(％-〃+4)("()),则(〃—0『+(—〃+4—4『=42,

求解即可；

(3)设点Q(/〃,T"+3"Z+4)G〃>0),则点N的坐标为(叽一〃?+4),得QN=-(〃?-2)2+4,

即可求解.

答案第8页，共40页

-16+4/>+c=0

【详解】(I)解：将点8(4,0),C(0,4)代入y=*+m+c,得・

c=4

[c=4

：,y=-x2+3x+4i

4k+a=0

设直线BCy="+a.将点8(4,0),C(0,4)代入可得[=4.

k=-\

o=4

y=-x+4；

(2)如图I,将△POC沿O尸翻折，得到四边形OCR?.

OC=OC,四边形OCPC为菱形,

图1

•,PC=OC=4,

「点尸在直线)，=T+4上,

・二可设点P坐标为＞0).

•.PC=4,

/.(w—0)2+(—/i+4—4)2=42,解得〃=2&或〃=-2&(舍去),

.•.点0(2立-2夜+4)；

(3)如图2,

图2

答案第9页，共40页

•・•点Q在抛物线y=—V++4上,

「•可设点。(〃?,一〃/+3〃?+4)(〃2>0),

点N的坐标为(应-加+4),

/.QN=(-〃P+3〃？+4)一(一"？+4)=-〃/+4/〃=一(〃？-2)一+4,

T-l<0,

二•抛物线开口向下，

「•当，〃=2时，线段QN有最大值，最大值为4,此时点。的坐标为(2,6).

【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质的应用，菱形的性质，一次函数的性质，繇折等

知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的对称性,会用铅锤法求最值是解题的关键.

6.(l)y=x2-x-6

(2)(卜5)

(3)点七坐标为仔一当时，MCE面积最大，最大值为营

(4)点N坐标为卜2,2加)，(一2,-2加)，(2,0),

【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、-•元二次方程，•次函数的图象和性质、轴

对称图形的性质、菱形的判定及性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是

解题的关键.

(1)根据点A和点C的坐标，采用待定系数法即可求得答案.

(2)点A关于抛物线对称轴的对称点为点8,直线与对称轴的交点。即为所求.

(3)设过点E与直线BC平行的直线/的解析式为y=2x+〃，根据题意可知，当直线/的图

象与抛物线y=/-2x-8的图象只有一个交点时，点E到直线8C的距离最大，此时BCE

的面积最大，求得点E的坐标，进而可求得ACE的面积.

(4)分两种情况讨论：①当点”位于原点。上方时，根据OC=OM,OA=ON,即可求

得点N的坐标；当点、M位于点C下方时,先求得直线MN的解析式，根据CM〃/W,可求

得点N的横坐标，进而求得点N的坐标.

【详解】(1)解：・・・。4=2,OC=6

AA(-2,0),C(0,-6)

答案第10页，共40页

•:抛物线y=f+加：+c过点A,C,

4-2Z?+c=0

0+0+c=-6

b=—\

解得：j

<?=-6

，抛物线解析式为y=d-x-6.

（2）•・♦当），=0时，X2-A-6=0,

解得N=-2,XJ=3,

・•・8(3,0),

则抛物线对称轴为直线x=二^=(

22

•••点。在直线％上，点A、8关于直线x=2对称

22

，%二!，AD=BD

2

，当点、D在同一直线上时，。+。+。。=。+。+。。=。+。最小,

8、C0AAm=444848

设直线/3C解析式为尸质-6,将8(3,0)代入，得

・•・3&-6=(),

解得左=2

，直线BC:y=2x-6

答案第II页，共40页

故答案为［，-5).

(3)过点E作EG_L.r轴于点G,交直线3c与点尸

2

设E（r,r-z-6）（0<r<3）f则F（r,2r-6）

・•・EF=2t-6-（r-t-6）=-t2+3t

・•・S.E=Sg」S«EF=；EFBG+；EFOG

=-EF（BG+OG）=-EFOB

2

=lx3（-r+3z）=-1^-1l+y,

3

••・当1=5时，拉丫£面积最大

.「3丫3K21

“L匕15-6=-1

・••点E坐标为［3屋J时，MC近面积最大，最大值为

（4）存在点N,使以点人C、M、N为顶点的四边形是菱形.

•••A（-2,0）,C（0,-6）,

•*-AC=V22+62=2>/10«

①AC为菱形的边长，如图，

答案第12页，共40页

则M=AC=2疝M〃AC,AN2=AC=2y^,AN2//AC,OA=ON.t

•,"(-2,2呵，/V2(-2,-2710),TV,(2,0).

②若AC为菱形的对角线，如图，则AM〃C%,ANLCN、

设M(-2,〃)，则

AM』=AN4=CM4=-n,QA=2,

AOM=OC-CM4=6+n,

A%=切4+0%2

工-n=小22+(〃+6)-

解得：〃=-石

答案第13页，共40页

综上所述，点N坐标为卜2,2啊，（一2,-2j6），（2,0）,f-2,-yl

7.（l）j=-x2+4.r+l

⑵点H的坐标为（T3）或（卜2）或（3,4+遍）或卜,4一a）

【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次

函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力.

（1）由对称轴方程可求出。=4,由点C（0,l）代入可求出c=l,从而可得抛物线的解析式为

y--x2+4x+1；

（2）求出点七坐标，设〃（。力）,*2"）,分•为邻边，CE,FH为对角线;CE,CF为

邻边，EEC”为对角线；CE,E〃为邻边，CRE”为对角线三种情况，以邻边相等求出/,

根据中点坐标公式求出。力的值即可解决问题.

【详解】（1）解：•・•抛物线G：>'=-丁+饭+c与），轴相交于点C（0,l）,

c=1；

•・•抛物线的对称轴为直线x=2.

--------^-=2

••2x（-1）'

，〃=4,

，抛物线的解析式为：y=-x2+4x+\；

（2）解：Vy=-x2+4x-l=-（x-2）2+5

向左平移两个单位后抛物线的解析式为y=—（x—2+2『+5=—f+5,

联立

y=-x~+4x+\

x=1

解得<，

y=4

・,・硝4）,

V抛物线产-A-2+4A-+1的对称轴为直线x=2,

・•・可设尸（2」），

答案第14页，共40页

①如图，CF,EF为邻边,CE,777为对角线时;

又CF2=EF"

Ar2-2r+5=r-8r+17,

解得，f=2,

・•・F(2,2),

又C£的中点坐标为(号，号,即(Cl

.a+21b+25

..------=—,------=—,

2222

/.a=-\,b=31

・•.”(-1,3)；

同理：EC2=(l-0)2+(4-l)2=10,CF2=(2-0)2+(r-l)2=r2-2r+5

XCE2=CF2

“-2，+5=10,

解得，/=1±瓜，

当/=1+遂时,尸（2,1+闷,

E尸的中点坐标为

IJJ

答案第15页，共40页

.a3h+15+>/6

•.—=—,------=----------，

2222

:.a=3,。=4+6，

••・"（3,4+佝；

当””而，时，网2,1-而），

£产的中点坐标为1义之黄，

.a3b+\5-V6

••一=-,----=-----9

2222

,a=3,/?=4-x/b,

AH（3,4-x/6）；

③为邻边，C£9/为对角线，如图,

问理：EC2=(1-0)2+(4-1)2=10,EF2=(2-l)2+(f-4)2=r2-87+17,

又EC2=EF1，

/2-8r+17=10

解得，f=l,/=7(C、E、”三点共线，不符合题意舍去)，

VF(2,l),

・•・C尸的中点坐标为。，1),

22

解得，a=L>=2

综上，点”的坐标为(T3)或(1,-2)或(3.4+司或(3,4-⑹.

答案第16页，共40页

4,8

8.（l）y=--.r*--x+4

（2—大言,力|，5）

（3）P（-l,4+276）或P（-l,4-2>/6）或P（—1,®）或用一1,一万）或《一1,同

【分析】（1）先求得A,B,C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；

（2）作。尸_LA3于尸，交4C于E,根据点。和点E坐标可表示出QE的长，进而表示出

三角形4。。的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果；

（3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以AC为对角线或以AC为边这两个情况，进而求

得点P的坐标即可.

4

【详解】（1）解：已知直线），=QX+4与工轴交于点A,与y轴交于点C,

4

当y=o时，得：一工+4=0,

3

解得：x=—3»

当X=o时，y=4,

.M(-3,0),C(0,4),

.对称轴为直线x=-l,

.­.8(1,0),

抛物线），=⑪2+法+4经过A点，且与x轴的另一个交点为B,

9a-3b+4=()

将点八，点B的坐标代入得：<

a+b+4=0

4

a=—

解得：;3，

b=--

3

•••抛物线的表达式为y=；

（2）解：如图1,作。尸_LA3于凡交八C于E,

答案第17页，共40页

--8w+4I，£?(/«,-/«+4|,

33JI3)

m1-4rn,

・q

・・。ADC=-DEOA=-

22

SABC=~A8-OC=-x4x4=8,

ABC22

：.S=-2m2-6m+S=-2m+-+—,

I2)2

•—2<0，—3</n<0>

3

当机:—时,

2

33)

当加=一一时，-9+3=5,

22)

」.。卜（3川、；

（3）解：丁点P在抛物线对称轴上,

.••设P(—l,〃),

,,以点A,C,P,Q为顶点作菱形,

.••当以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形,

:.PA=PC,

即：PA2=PC2,

.•.(-1+3『+〃2=1+(〃-4)2,

，〃二月

8

同

xP+xQ=xA+xCtyP+yQ=yA+yc,

答案第18页，共40页

当以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形，

.\PA=AC,且

即：PA2=AC2,

.•.（-1+3）2+W2=（-3）24-4\

n=±\/2\，

•••川一1,万）或尸（一1,一后）；

•当P（-1,历），即四边形ACQP是菱形，

•••再>+%=%+5,%+为=”+先，

二.XQ=XP+XC-XA=-1+0-（-3）=2,%=.%+%-以=，2]+4-0=⑸+4；

此时Q（2,历+4）；

•・・当尸（1,一历）,即四边形ACQP是菱形，

•••X/>+%=XQ+XA，»+y0=+yc,

.,.xQ=xp+xc-xA=-l+0-（-3）=2,yQ=+yc-yA=>/21+4-0=-x/21+4；

此时42,-J五+4）；

当以A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为边的菱形，

.•.PC=AC,且PQ〃AC

即：PC2=AC2，

-1-Op+（〃-4）2=（-3『+42,

〃=4±2瓜»

.•.0（-1,4+2悯或网-1,4-2佝；

•・•当川-1,4+26），即四边形ACPQ是菱形，

:,xp+xA=xQ+xCtyp+yQ=yA+yc,

答案第19页，共40页

/.xQ-xp+xA-xc=-l+(-3)-0=-4,yQ=yp+yA-yc=4+2>/6+0-4=276；

此时Q(-4,2^)；

•••当P(—l,4—26)，即四边形ACP。是菱形，

:.xP+xA=xQ+xCfyP+yQ=yA+yc,

=X+Xx

・•文0PA~c=-1+(-3)—0=-4,yQ=yp+yA-yc=4-2>/6+0-4=-2>/6；

此时Q(-4,-2码；

综上所述，P(T4+2阻或P(-l,4-2码或P(-l,向)或网-1,一向)或

【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图

象与性质，两点坐标距离公式，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知

识点.

9.(1)/n==0,1=3

3

⑵用,I

⑶我

(4)(4+2"2)或(2,2@或R—乎]

【分析】本题考杳了二次函数的图象与性质，三角函数，菱形的性质等:

(1)待定系数法求出〃八〃，确定了抛物线解析式后，将4的坐标代入即可求出/；

(2)将抛物线配方即可得其顶点坐标；过点3作8F_LX轴于尸，sin/AO8=乐BF;

⑶SgBE=S40AB-SMAE；

(4)分OM=4M,OM=AOtAM=AO三种情况进行讨论即可；

【详解】⑴解：•・•抛物线产-和+2+〃经过。(o,o),A(4,o)两点,

〃=04nr

「ffl=-73

1166，解得｛3,

---，3+4/〃+〃=0八

3[〃=0

,*y=--x2+—\/3x>

-33

答案第20此共40页

0+4

・••抛物线的对称轴为直线x=亍2,

•••点是抛物线）,=一*/+3百工上的点，且点B在对称轴的右侧,

:.『—与吟@,解得乙=1(舍去)，/?=3,

m=-G,n=0,/=3；

(2)解：Vy=-^-x2+^\/3x=-^^(x-2)2>

工《2,网;

由（1）可知网3,6）,

/.OF=3,BF=5

在RtABOF中，08=>JOF2+BF2=,3?+(6丫=26,

.2。工与L

OB2>/32

即sin/AO4=5；

故答案为:2M4；

如图:

答案第21页，共40页

・c2g6),CQ_LX轴于o.

•・•轴于F,CO_Lx轴于。，

DE〃BF,

・•・△ODESAOFB,

.DEOD口,1DE2

fk即于“

ADE=->/3,

3

S^BE=^^OAB~^^OAE=-x4x-^-—x4x|V3=|^：

33

(4)解：设射线OB的解析式为y=收，

•・,贝3网,

：,&=3k,

..>/3

・・Z=y

・.・射线OB的解析式为y=与x(x>0)»

•••M是射线y=^-x(x>0)上的点，

••设M〃,—a,

\Z

又•••0(0,0),A(4,0),

cu，，(6Y4，

OM-=a~+—a=-«\

AM2=(rz-4)2+坐〃)=[〃2-8〃+16,4(

92=42=16,

•・•以O,AM,N为顶点的四边形为菱形，

••・△04〃是等腰三角形，

44

①当=时，OM2=AM2,即§片二=—才―8。+16,解得。=2,

3

.・.《2,飙)，

此时由N的位置如图:

答案第22页，共40页

由图可知M,N关于x轴对称，

/2A

：.N2,—y/3•

（3J

②当OM=AO时，OA/2=AO2,即解得“=2"%=-275（舍去）,

.\M（25/3,2）,

此时点N的位置如图：

,:MN〃OA,MN=OA=4,

・・・N(2x/J+4,2)；

4

③当AM=AO时，AM2=AO2,BP-«2-8«+16=16,解得q=6,%=。(舍去),

••・M(6,2现

此时点N的位置如图：

答案第23页，共40页

10.(l)A(-2,0),8(6,0),D(2,8)；

⑵①f=l,②M点的坐标为卜;,日)；

⑶年会

2

【分析】(1)通过解方程-；/+2x+6=0得A点和B点坐标；把二次函数的解析式配成顶

点式得到。点坐标；

(2)①利用平行四边形的性质得MN=8E=4,再根据抛物线的对称性得到MG=NG=2,

则M点的横坐标为0,从而得到此时M(0,6),所以2：=8-6,然后解方程即可；②设8M

交OE于P,如图，设P[2,〃?)，利用得到。。=24=8-小，则利用勾股

定理得到〃/+42=(8-〃?)2,解方程得到P(2,3),再利用待定系数法确定直线BP的解

y=厂+2-6

析式为)•=-+然后解方程组；得必点坐标；

y=——x+—

L42

(3)利用正方形的性质得到GG=GG=8-2f,则N(10-2/,8-2/),然后把N(10-2/,8-2/)

代入)，=一,丁+21+6得-；(10-2r)2+2(10-2r)+6=8-2r,再解方程即可.

'22

【详解】(1)解：当y=o时，-g/+2x+6=。，

解得％=-2,&=6,则4（一2,0）,5（6,0）

乙

0（2,8）,

故A（—2,0）,B（6,0）,0（2,8）

（2）解:①“（2,0）,B（6,0）,

：-BE=4,

•・•四边形MEBN为平行四边形，

:・MN=BE=4,

*.•MN〃x轴，

AMG=NG=2,

・•・加点的横坐标为0,此时M（0,6）,

答案第24页，共40页

/.2/=8-6,解得Z=1,

・•・当/为Is时，以点例，N,B,七为顶点的四边形是平行四边形;

②存在.

设尸(2,〃?),

•・•ZMBD=/EDB,

PD=PB=8-m,

在Rl8律中，•：PE?+BE。=PB?，

M+42=(8-z?z)2,解得ni=3,

・••P(2,3),

设直线月尸的解析式为y=/*+，,

6〃+夕=0

把8(6,0),尸(2,3)代入得.

2〃+夕=3'

3

P=Y

解得

9

q=一

2

,直线2?P的解析式为)，=-:犬+£,

■4

12c/1

y=—%~+2%+6x=——

2