2025-2026学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年浙江省杭州市上城区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列事件中，属于必然事件的是（

A.篮球运动员投篮一定命中B.买了彩票一定中奖

C.任意投掷一枚图钉，钉尖朝下D.任选三角形的两边，其和大于第三边

2.若则""的值等于（）

a2a

3.如图，直线川比怙，直线怪C分别交八,h，A于点4,B,C；直线。〃分别交

八，/2,/3于点。，E,F,则（）

AAnDE

ADC

EF

ABDF

1D5,

AC'^~DE

BEBE

c.

AD

DEBC

D.

EF'AD

4.如图，中，弦。。||直径/出，若衣的度数是50°,则得的度数是（

A.40°

B.60°

C.80°

D.100°

5.2025年世界羽联世界巡回赛总决赛于12月17口至21口，在杭州奥体中心体育馆举行.赛事经对羽毛球进

行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下：

抽取个数

5010015020050080010002000

（个）

合格频数46891451904747619511900

合格频率0.9200.8900.9670.9500.9480.9510.9510.950

根据频率的稳定性，估计抽取1200个羽毛球合格的数量大约是（）

A.1080B.1104C.1140D.1160

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6.若（0,凹），（2”），（-3,»3）是二次函数尸-2J2-8X+〃?图象上的点，则加户，的大小关系为（)

A.vi>^2>y3B.y2>y\>y3C.yi>y3>y\D.yy>y2>y\

7.如图，将上△力8c绕C点按顺时针方向旋转到点E恰好落在48上，若乙4=36°,则旋转的角

度为（）

A.84°B.72°C.54°D.48°

8.二次函数尸如2+从火-（〃>0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程OT2+A+C=0的一个

根的取值范围为（）

X2.012.022.032.04

y-0.03-0.010.020.06

A.2.01<x<2.02B.2.02<x<2.03C.2.03VxV2.04D.x>2.04

9.如图，△力BC内接于。。乙4=45",BC=2,点。是劣弧BC的中点，过点。作

QEII6C交48的延长线于点七，若△4是锐角三角形，则线段QE的取值范围是

（）

A.v21DE-1

B.1DE\2

C.v2DE\21

D.V21DE2\2

10.已知点力（X1，"?）、B（X2，/!）分别在抛物线仍一/-1/+。（。为常数）和如一/一位,+,•上，当

加>0时，下列说法正确的是（）

A.若X2-x\=\>则m-n=5B.若X2-XI=2,则i〃-〃=9

C.若xi-X2=l，贝Im-n=-5D.若XI-X2=2,贝h〃-〃=-9

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

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11.已知线段n-、3，线段-J、，，则线段。力的比例中项线段。的长度为一.

12.任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是3的倍数的概率是.

13.如图，和△。£户是以点。为位似中心的位似图形.若04：

OD=\：4,△/4C的周长为1,则△£）£"的周长是_.

14.鲁洛克斯三角形（ReuleauxTangle）又称“勒洛三角形”、“莱洛三角

形”、“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆

心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯

三角形.圆弧三角形是这样画的：先画正三角形力〃C,然后分别以点力，B,

。为圆心，48长为半径画弧.若正三角形48。的边长为40〃,则圆弧三角形的

周长为___cm（结果保留兀）.

15.己知（a,0）,（40）是抛物线尸必・2*机+1（〃?为常数）上的两点，若同+血=6,则根的值为.

16.如图，已知矩形48co内接于48=6,8c=8,点E是病上一点，连

结DE,将旗沿着直线QE折叠，交线段力。于点上

（1）半径/-=___；

（2）连结£凡若力尸=2,贝I]EF=.

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

已知二次函数产2r+bx+c（b,c为常数）的图象经过点（2,-6）,且对称轴为直线x=l.

（1）求二次函数的表达式；

（2）求抛物线与x轴的交点坐标；

（3）二次函数尸2x2+反+c（4《为常数）图象可由抛物线尸29经过怎样的平移得到？

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18.（本小题8分）

一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同.

（1）从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率;

（2）若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球.请列表或用树状图分析♦，两次摸出的球颜色不-一样的概率.

19.（本小题8分）

如图，AB,4C是。。的两条弦，平分4氏1C

（1）求证：AB=ACi

（2）若。。的半径为10,力8=16,求圆心。到力8的距离.

20.（本小题8分）

2026年1月，某校举办了体育节活动.901班学生为了备赛“班级篮球赛”，利用生活材料制作出一种练习

投篮动作的投篮设备.如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所

在的直线为x轴，过点。作垂线为），轴建立平面直角坐标系如图2所示.篮球的运动轨迹可以用二次函数

厂22+6/2（0<X<2）刻画，篮球运动的水平距离x（米）与篮球距离水平地面的竖直高度），（米）的变化

规律如下表：

1

水平距离田米012

2

21

竖直高度w米233

8

（1）根据上表，请确定篮球运行轨迹的函数表达式;

（2）求篮球飞行的最大高度.

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21.(本小题8分)

如图，在△48。中,点E是4B上一点、,作EG8C交力。于点尸，点。是8c上的一点，连结4Q,交EF

于点P.

PP

(1)求证：黑PF

75c'

(2)若点P为△ABC的重心，求E尸与8c的比.

22.(本小题10分)

如图，在△48C中，BCVAB,以点。为圆心，线段C8的长为半径画弧，交线段48于点D；以点。为圆

心，线段8的长为半径画弧，恰好经过点4

(1)如图I,以点。为圆心，线段CQ的长为半径画弧恰好也经过点见

①乙1QC的度数为_____；

②若C8=6,求阴影部分的面积.

(2)如图2,若乙4=36°,证明：AABCSACBD.

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23.（本小题10分）

定义：直线（。、b是常数且aWO）为抛物线处-<〃」+人的“伴随直线”.

（1）当4-4时，求证：抛物线协“J，hr与“伴随直线"p=ax+，）只有一个交点.

（2）探究当bK与时,抛物线如-〃/+加•与“伴随直线"“=以+力的交点.

水平层

水平表现直线与抛物线的交点标准说明

次

“力取具体数值求出交点

层次1取a=______,b=______.(______),(______)

得2分

用a力字母表示交点坐标

层次2直接用字母。乃求交点(______),(_______)

得4分

请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分.

（3）当4=3〃时，且巾>也，求巨变量X的取值范围.

24.（本小题12分）

如图1,在。中，乙48090°,以线段3。为直径的交力。于点。，连结。外作8以04，垂足为

E,线段C石的延长线交俞于点巴连结8F.

（1）探究NEC8NC4O的过程，小聪完成一部分证明，如下，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，

继续完成乙£。0=土。力。的证明.

•••乙4AC=90°.BELAO

：&BC=LBEO

••乙4OB=CB（）E

:.AAOBsABOE

A（）OB

：0I3~OE

-OB=OC

（2）如图2,连结B。,当。为4C中点，求证：BF=EF.

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1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】A

II.【答案】3

12.【答案】1

*>

13.【答案】4

14.【答案】4TI

15.【答案】9

16.【答案】5

50

17.【答案】尸2A4X-6(-1,0),(3,0)先向右平移1个单位，再向下平移8个单位

18.【答案】||

19.【答案】连接03、OC,则OB=OA=OC,

；.乙B=£OAB,Z,C=/-OAC,

-0.4平分NAAC,

，乙OAB=zX)AC,

.*.z5=zC,

在△048和△6MC中，

(£OAD-ZO.IC

<ZB-ZC，

IOA-OA

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:.AOABqAOAC(AAS),

••.AB=AC圆心O到AB的距离是6

1•»2与

20.【答案】尸-.,/+,x+2(0Wx<2),；米

21.【答案】•••£、F、。分别是46、AC.8C上的点，力。交勿'于点P,EF\\BC,

^EP\\BD,FP\\CD,

:.△AEPs/\ABD,△AFPs“CD,

EPAPPFAP

丽=而‘DC=AD

EPPF

DD=IM与8c的比是2：3

22.【答案】①120°；②9、力证明：•••Q4=QC，

AZ.DCA=Z.A=36u,

乙。。8=36°+36°=72°,

•:CD=CB,

:.乙B=CCDB=72°,

••zBCO=180°-72°-72°=36°,

:.乙BCD="1,

而£CBD=^ABC,

:.△ABCSACBD

2