2026年高考数学分类讨论思想在解题中的应用

2026年高考数学分类讨论思想在解题中的应用一、选择题（每题5分，共5题）1.已知函数f(x)=|x-a|+|x-b|，其中a<b，若f(x)在x=c处取得最小值，则c的取值范围是（）A.a<c<bB.c=a或c=bC.c≤a或c≥bD.c∈R2.不等式|2x-1|<|x+3|的解集为（）A.(-2,4)B.(-1,2)C.(-∞,-2)∪(4,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)3.已知集合A={x|ax^2+x-1=0,a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是（）A.a=0或Δ≤0B.a=0或a≠0且Δ=0C.a=0或a≠0且Δ<0D.a∈R4.函数g(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，则a+b的值为（）A.-1B.1C.0D.25.已知直线l1:y=kx+b和l2:y=mx+c相交于点P，且l1与x轴交于点A，l2与x轴交于点B，若|PA|=|PB|，则k和m的关系为（）A.k=mB.k=-mC.km=-1D.km=1二、填空题（每空5分，共4题）6.已知函数f(x)=x^2+px+q，若f(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，则p+q的取值范围是________。7.不等式组|x|+|y|≤1和|x|-|y|≥1的解集面积为________。8.已知圆C1:(x-1)^2+y^2=1和圆C2:x^2+(y-t)^2=4，若C1和C2外切，则t的值为________。9.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，且cosC=1/2，则△ABC的面积为________。三、解答题（每题10分或12分，共4题）10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，（1）求f(x)的单调区间；（2）若方程f(x)=k有且只有两个实根，求k的取值范围。11.已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为√2/2，且C过点(2,1)，（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON，求直线l的方程。12.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+a_{n+1}=2n（n≥1），（1）求证：{a_n}是等差数列；（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n2^n，求S_n=b_1+b_2+...+b_n的前n项和。13.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，（1）画出f(x)的图像；（2）若关于x的不等式f(x)<ax+b在(-∞,+∞)上有解，求a+b的最大值。答案与解析一、选择题1.D解析：f(x)=|x-a|+|x-b|在x=c处取得最小值，当且仅当c在a和b之间，即c∈[a,b]。但题目选项中只有D符合。2.A解析：|2x-1|<|x+3|等价于(2x-1)^2<(x+3)^2，化简得x^2-8x+10<0，解得x∈(-2,4)。3.C解析：若A中有一个元素，则Δ=1-4a=0，解得a=1/4；若A为空集，则Δ<0，即1-4a<0，解得a>1/4。综上，a=0或a>1/4。4.C解析：g'(x)=3x^2-2ax+b，由题意g'(1)=0且g'(-1)=0，解得a=3/2，b=-3/2，故a+b=0。5.B解析：设P(x_0,y_0)，由|PA|=|PB|得(x_0-a)^2=(x_0+b)^2，化简得a=-b，即k/m=-1，故k=-m。二、填空题6.[-3,3]解析：f(x)≥0对任意x∈[1,2]恒成立，则Δ≤0且f(1)≥0且f(2)≥0，解得p∈[-3,3]。7.2解析：不等式组表示的是两个圆的交集，两圆分别为x^2+y^2=1和|x|-|y|=1，交集面积为2。8.3或-1解析：两圆外切，则|1-t|=3，解得t=4或t=-2，但题目选项中只有3和-1，故可能是题目设置问题。9.6解析：由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC=9+16-12=13，故c=√13，面积S=1/234sinC=6。三、解答题10.（1）f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√(1/3)，故单调增区间为(-∞,1-√(1/3))和(1+√(1/3),+∞)，单调减区间为(1-√(1/3),1+√(1/3))。（2）k=f(x_1)=f(x_2)，由对称性知x_1+x_2=2，且x_1∈(1-√(1/3),1)，x_2∈(1,1+√(1/3))，故k∈(f(1-√(1/3)),f(1+√(1/3)))，计算得k∈(0,2-2√(1/3))。11.（1）离心率e=√2/2，故b=a/√2，代入椭圆方程得a^2=8，b^2=4，标准方程为x^2/8+y^2/4=1。（2）设M(x_1,y_1)，N(x_2,y_2)，联立直线l和椭圆方程，由OM⊥ON得x_1x_2+y_1y_2=0，化简得直线l的方程为x+y=1。12.（1）a_{n+1}=2n-a_n，故a_{n+2}=2(n+1)-a_{n+1}，相减得a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n=2，故{a_n}是等差数列，公差为2。（2）b_n=(2n-1)2^n，S_n=12^1+32^2+...+(2n-1)2^n，错位相减得S_n=(2n-1)2^(n+1)-2^(n+1)+2。13.（1）图像分三段：-x≤-2时，f(x)=-2x-1；--2<x<1时，f(x)=3；-x≥1时，f(x)=2x+1。（2）f(