广东省深圳实验学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（含答案）

广东深圳实验学校高中部2025-2026学年第二学期期中考试高一数学一、单选题1．已知，，则（

）A．15 B． C．2 D．32．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．3．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（

）A．B．C．D．4．如图，在长方体中，，E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（

）A．2 B． C． D．5．如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（

）A．8 B．16 C． D．6．沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图，沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体，下方的容器中装有沙子，沙子堆积成一个圆台，若该沙漏高为6，沙子体积占该沙漏容积的，则沙子堆积成的圆台的高为（

）A．1 B． C．2 D．7．如图，为了测量两个信号塔塔尖之间的距离，选取了同一水平面内的两个测量基点与（在同一铅垂平面内）．已知在点处测得点的仰角为，点的仰角为，在点处测得点的仰角为，点的仰角为米，则（

）米A． B． C． D．8．已知在直三棱柱中，E，F分别为，的中点，，，，，如图所示，若过A、E、F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（

）A．B．的实部为C．D．若，时，若n为偶数，则复数为纯虚数10．如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（

）A． B．C． D．的最小值是11．已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r1和r2，母线长为l，球的表面积与体积分别为S1和V1，圆台的表面积与体积分别为S2和V2.则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．的最大值为三、填空题12．已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________.13．某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边，已知，，则的边长为___________．14．如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积（含孔内各面）是___________．四、解答题15．在棱长为1的正方体中，分别为，的中点.(1)求五面体的体积；(2)若在线段上，平面，求的长度.16．是所在平面内一点，分别为的外心和重心，且．(1)用，来表示和；(2)若的面积为3，求的面积；(3)若，求的值．17．已知分别为三个内角的对边，且．(1)求角的值．(2)若的面积为，求线段长度的最小值．18．几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得四点共面？若存在，请求出的值；若不存在，并说明理由.19．如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，，B为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.(1)当时，①求三角形的面积.②若，求m、n.(2)若，求的最小值.参考答案1．C2．D3．B4．B5．B6．A7．D8．B9．AC10．ABD11．ABC12．/13．14．22215．（1）解：如图所示，将五面体拆成三棱锥和四棱锥，在三棱锥中，可得，又由正方体中，平面，，且为的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，即三棱锥的高为，在四棱锥中，可得，又由正方体中，平面，且为的中点，所以到平面的距离等于为，即四棱锥的高为，所以五面体的体积.（2）解：设，，则平面平面，又因为平面，且平面，所以，在矩形中，由，可得，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以.16．（1）由已知，为重心，所以..（2）由（1），所以，所以.（3）为的外心，设中点，则，.17．（1）因为，所以.因为，所以，所以，所以，即，即.因为，所以，所以.（2）由（1）得，因为的面积为，即，所以.因为，所以，所以．当且仅当，即时，等号成立，所以线段长度的最小值为.18．（1）记为的中点，连接，如图1，因为分别为的中点，故，因为平面平面所以平面，又因为为正三角形，所以，，又为等腰三角形，，所以,所以，即，所以，又平面平面所以平面，又，平面，故平面平面，又因为平面，故平面.（2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2，因为平面，平面，平面平面，所以，此时四点共面，由（1）可知，，得，故，又因为，所以，则有，故.19．（1）当时，由条件知，，，所以，，所以，

①三角形的面积为.②方法一（坐标法）：作交于点M，由①知，同理，所以，，所以，以所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以，所以，.方法二（向量法）：因为，，，，所以，，作于点M，则，，所以，，所以，.由①知，同理，所以，，所以，所以，.（2）设与相