2026年湖北黄冈鄂州市高考三模数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026湖北黄冈鄂州高三（4月）调研模拟考试数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．3．记为等比数列的前项和．若，则（

）A． B． C． D．4．已知随机变量服从正态分布，下列四个命题：甲：；

乙：；丙：；

丁：，如果有且只有一个是假命题，那么该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．已知圆上有不同的三点，其中，，则实数的关系为（

）A． B． C． D．6．已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（

）A．12 B．-20 C．-16 D．-127．已知函数,若，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．设分别是函数与的正零点，则的最大值为（

）A． B． C． D．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．在一次歌唱比赛中，位评委给某位选手打分分值从小到大排列依次为，，这组分值的中位数和平均数均为，方差为．现从中去掉一个最低分，再去掉一个最高分后，将剩下的个分值从小到大排列为，方差为．下列说法中一定正确的是（

）A． B．的中位数为C．的平均数为 D．10．在四面体中，是边长为2的等边三角形，，均为等腰直角三角形，则该四面体的体积可能是（

）A． B． C． D．11．若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（

）A． B．C．成等比数列 D．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若，则___________．13．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则___________．14．类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，为半径的球面方程为：．现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则圆锥侧面的方程为___________，现用一个与轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为___________．四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．各棱长均相等的正三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．16．已知椭圆过点，其焦距为，直线交椭圆于两点．(1)求的标准方程；(2)求面积的最大值．17．在中内角的对边分别为，且．(1)若的平分线交于点的面积为，求长；(2)若，求当周长最小时的值．18．已知函数．(1)若对恒成立，求的取值范围；(2)若函数有2个零点（i）求的取值范围；（ii）求证：．19．一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中．(1)若摸球10次，求摸到红球个数的期望；(2)若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为．（i）求；（ii）求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】因为，所以.2．A【详解】绝对值不等式等价于：，两边同时减去，得，故，分式不等式等价于分子分母同号，即：，解得，故，所以.3．B【详解】由等比数列的性质，依然构成等比数列，由等比数列的中项可得：，代入得：，解得：.4．D【分析】利用正态分布的性质即可求解.【详解】若甲：是真命题，则，若乙、丙为真，则，此时甲为真，由可得，显然，即丁为假，故D符合题意.5．A【分析】根据条件得，设，以O为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系,则,由进行坐标运算，结合即可推得实数的数量关系.【详解】因为均在圆上,且，则，且，不妨设,以为原点，分别以所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系，则,由可得,,则，故得.6．D【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值.【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则，则展开式通项公式是，令，得，∴的系数为，7．C【详解】由于的取值范围是，，所以当且仅当且，因为，所以，要使在上能取到，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得；要使在上能取到，则区间内至少要包含一个形如的数，其中最小的可能值为(当时)，故需满足，解得；为使，均在内，需同时满足和，因此最小的为.8．C【分析】利用函数的零点条件，分别将、代入整理，得到两点坐标满足圆的方程，借助指数函数与对数函数互为反函数、图像关于对称的性质，结合圆的对称性，得出及，最后通过三角换元，将目标式化为正弦型函数求最值.【详解】已知是的正零点，，代入得：，通分整理得：即点同时在第一象限的圆和曲线上，再代入（是的正零点）得：，两边平方整理得：，即点同时在第一象限的圆和曲线上，又与互为反函数，图像关于直线对称，且圆也关于对称，因此点关于的对称点，一定在上，且仍在圆上，因为时单调递增，与圆只有一个第一象限交点，即点就是，因此：，代入得：，设，代入得：正弦最大值为，因此的最大值为.9．BD【详解】A选项：由原数据中位数平均数，当所有评委打分相同时，，乘积等于，不等式不成立，A错误；B选项：原数据，共11个，中位数是第个数，去掉最低分和最高分后，剩下原第至第个数据，共个，重排后，其中，新中位数是第5个数，恰好等于原来的，所以中位数恒为，B正确；C选项：原数据平均数为，即总和，去掉和后，新总和为，平均数变为，要使它等于，需，即最低和最高分关于对称，而题中无此条件，C错误；D选项：设原数据平均数为，新数据平均数为，根据方差的性质，总平方和之间存在关系：，，又是这9个数的平均值，所以，于是，即，又为最低分，为最高分，由基本不等式可得：，由方差的性质可得：，即，代入得：，即，D正确.10．BCD【分析】分，，三种情况求出体积即可.【详解】若，因为平面，所以平面，因为，均为等腰直角三角形，，所以，所以该四面体的体积为；若，因为平面，所以平面，因为，均为等腰直角三角形，，所以，则，则，所以该四面体的体积为；若，因为，均为等腰直角三角形，，所以，取线段的中点，连接，则，因为平面，所以平面，因为，，所以点到直线的距离为，则，所以该四面体的体积为.

11．ABD【分析】先利用导数判断两函数的单调性，求出极值，作出它们的图象，根据图象，利用函数与方程的思想，结合函数的性质逐一判断各选项即可.【详解】对于，求导得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，当，时，，当时，，故；对于，函数的定义域为，求导得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，故.对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确；对于B，结合图象可知，，，结合函数的单调性可知，，即故B正确；同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误；由前面分析可知，故D正确．12．【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算.【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得：因此得：由二倍角余弦公式得：.13．【分析】利用抛物线定义，将焦半径差转化为两点纵坐标差；结合中点纵坐标解出。再通过点在抛物线上，用纵坐标表示横坐标，得到两点横坐标之差。最后代入两点间距离公式，建立关于的方程求解.【详解】由抛物线定义可得的准线为，则，，由，得：，又中点纵坐标为，即，得，联立，解得，又因为在第一象限且在抛物线上，所以：，，得，由两点距离公式，代入：.14．,##【分析】先确定圆锥母线的平面方程，旋转得到圆锥侧面方程；再将与轴平行的平面代入圆锥方程，整理成双曲线标准形式，求出，即得其离心率.【详解】已知圆锥底面半径为2，高为3，底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则顶点坐标为，在平面上，圆锥的母线是连接和的直线，即，绕轴旋转时，替换为，得到旋转面（圆锥侧面方程），，即，整理得，.用与轴平行的平面截圆锥，不妨取平面（为常数，且），代入圆锥方程，可得，整理为双曲线标准形式，而对于双曲线，这里，则，故该双曲线的半焦距为，于是，其离心率为.15．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可.【详解】（1）证明：连接，交于点，连接．因为正三棱柱各棱长均相等，所以侧面为正方形，所以为中点，又为中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为为正三角形，为中点，所以.以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱各棱长为2，则，，，，所以，，.设平面的法向量为，所以，即，令，则，，所以.设平面的法向量为，所以，即，令，则，，所以.设平面与平面夹角为，则.故平面与平面夹角的余弦值．16．(1)(2)【分析】（1）根据已知焦距和所过定点，利用椭圆的定义及两点间距离公式算出长轴长，进而由椭圆基本关系求得标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式表示弦长，结合点到直线距离公式得出三角形面积的函数表达式，最后通过导数或函数单调性分析求得面积的最大值.【详解】（1）依题意焦点坐标为椭圆方程为（2）设联立得由得且点到直线的距离为设令，则（舍去）或，当，，故在上单调递增，在上单调递减，面积的最大值为17．(1)(2)【分析】（1）先用半角公式将条件转化为边的关系，结合余弦定理求出角，再通过已知的及和角公式求出角的正弦值，由正弦定理得到两边比例关系；最后利用三角形面积求出具体边长，并借助角平分线分割面积的性质建立关于的方程求解；（2）由已求得的角用余弦定理消去，将用表示，进而构造出周长关于的函数；利用基本不等式求得的值.【详解】（1）依题意有即又由余弦定理有又为中内角又而因为的面积为，在中，（2）由（1）知．设周长为，则令，当且仅当时周长取最小值．故当周长最小时．18．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【分析】(1)原函数求导，令参数进行分类讨论，求单调区间判断即可(2)令，构造新的函数，求导利用单调区间即可求解和证明【详解】（1）（1）当a≤2时，在上单调递增，恒成立；当a>2时，令得，，则当时，，在上单调递减，，不合题意．，a的取值范围为（2）（i），，若有2个零点，即方程有2个根．令，，h（x）在上单调递增，在上单调递减，且，，解得（ii）由（i）知，，，，，即，要证，即证，，令，，，；p（t）在上单调递增，，故19．(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）由二项分布的期望可得；（2）（i）由第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球的情况结合独立事件的乘法公式可得；（ii）先由后三次分别为黄球、红球、红球三种情况得到，再令解出再验证可得.【详解】（1）设摸到红球的个数为，依题意有（2）（i）依题意第5次时结束，即第4，5次必须是红球