重庆市九龙坡区2025-2026学年高一数学下学期第一次月考试卷【含答案】

考试时间：分钟试卷满分：分85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是（）A.模相等的两个共线向量是相等向量B.若，，则C.零向量没有方向D.若，则【答案】D【解析】【详解】对于A，模相等且方向相同的向量才是相等向量，模相等的共线向量方向可能相反，故A错误，对于B，若，则和可以是任意向量，不一定平行，故B错误，对于C，零向量的方向是任意的，但不是没有方向，故C错误；对于D，若，由向量相等的定义知一定共线，所以D正确.2.在中，，，则（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】【详解】，所以，，所以，所以.3.将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的象与下列哪一个函数图像相同（）A.B.第1页/共17页

C.D.【答案】A【解析】【分析】根据平移伸缩得出三角函数解析式.【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得出，再向右平移个单位，得到.4.中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有两解的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】A【解析】ABD验证C.【详解】如图所示．若A为锐角，且有两解，则．对于A，若，，，此时，此时有两解，满足题意；对于B，若，，，此时，此时没有两解，不满足题意；第2页/共17页

对于C，若，，，由余弦定理可得，则，唯一，所以三角形有唯一解，不满足题意；对于D，若，，，此时，此时没有两解，不满足题意.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】应用辅助角公式化简，再应用二倍角余弦公式计算求解.【详解】因为，所以，则.6.在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】因为，，所以又因为三点共线，所以第3页/共17页

7.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的面积，则（）A.B.4C.D.6【答案】B【解析】【分析】由，可求出，再由余弦定理可求出，从而可求出的值.【详解】因为，，所以，得，因为，所以由余弦定理得，，所以，所以，所以，因为，所以.8.已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】因，则，第4页/共17页

由最小值为，且由二次函数分析可知，当时，取得最小值，所以，解得，又与的夹角为锐角，则，此时，所以，设，又，所以，因，故.故选：C3个小题，每小题6分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A.若，则B.若，则C.若，则或2D.若，则与的夹角为【答案】ABC【解析】【分析】根据向量平行的坐标关系，垂直的坐标关系，模长的坐标公式及夹角的坐标公式，逐一求解即可判断．【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：若，则，即，解得或，第5页/共17页

故C正确；对于D：若，则，，所以，又，则，所以与的夹角为，故D错误．10.下列值为的式子有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】可求得AB；根据倍角公式可判断C；根据辅助角公式可判断D.【详解】对于A，因为，，所以，所以，所以，故A不符合题意；对于B，因为，所以，所以，故B符合题意；第6页/共17页

对于C，，故C不符合题意；对于D，，故D符合题意.已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若，则点的轨迹经过的内心.D.若，则为的垂心【答案】ABD【解析】【分析】A作出辅助线，得到各个三角形面积之间的关系，求出面积比值；B推出的角平分线与垂直，为等腰三角形；C设的中点为，得到三点共线；D得到⊥，⊥，⊥.【详解】A，过点作，分别交于点，则四边形为平行四边形，，，因为，故，即，不妨设，故，因为，为的中点，所以到的距离为到的距离的，第7页/共17页

所以，则，则，A正确；B，，该向量为方向上的单位向量之和，位于的平分线上，又，即的角平分线与垂直，则为等腰三角形，B正确；C，过点作⊥，垂足为，设的中点为，则，则，则三点共线，点的轨迹经过的重心，C错误；D，，则，则⊥，同理可得⊥，⊥，则为的垂心，D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计分.第8页/共17页

12.已知，，则向量在向量上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求解即可.【详解】因为，，所以，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为.13.已知，，，若、、三点共线，则______.【答案】##【解析】【分析】根据向量共线可得，即可根据正切的二倍角公式求解.【详解】,由于、、三点共线，故共线，因此，故，则14.筒车发明于隋代，在唐朝得到广泛应用和推广，至今仍在农业生产中发挥着作用.假定水流速度稳定的条件下，筒车上每个盛水筒做匀速圆周运动，将筒车抽象成一个圆，筒车的半径为4米，筒车中心到水面距离为2的速度逆时针方向旋转.的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点所经过的时间为（单位：s.距离水面的高度为（单位：m，在水面下则为负数）.则第二次到达最高点需要的时间为______.第9页/共17页

【答案】20【解析】【分析】设盛水筒从点运动到点所经过的时间为（单位：sP的坐标为，进而求得，进而可求得点P距离水面的高度为关于时间的函数解析式，进而求解即可.【详解】设盛水筒从点运动到点所经过的时间为（单位：sP的坐标为，终边对应的角，经过的时间为，盛水筒M从点运动到点，其终边对应的角为，即：，，又筒车中心距离水面的高度为2米，.当，即时，点到达最高点，此时，得，当，即时，点P第一次到达最高点；当，即时，点P第二次到达最高点.四、解答题（本题共5小题，共分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数的部分图象如下图所示.第10页/共17页

（1）求的解析式及单调减区间；（2）若对任意，有，求实数的最小值.【答案】（1），单调递减区间为，（2）【解析】1）根据图象得到，，代入特殊点的函数值得到，确定函数解析式并求出单调递减区间；（2）先求出时，函数的值域，并转化为，从而求出答案.【小问1详解】由题意得，设函数的最小正周期为，则，解得，又，故，解得，则，将代入上式可得，，即，又，故，故，解得，所以；令，，解得，，所以函数的单调递减区间为，；【小问2详解】第11页/共17页

，则，，所以，对任意，有，只需，即，故的最小值为.16.如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点.（1）若，求的值；（2）若，求取得最小值时的值.【答案】（1）（2）【解析】1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案；（2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】由分别为的中点，则，，由图可得，则，所以.【小问2详解】，第12页/共17页

故，故，由图可得，，，故，则取到最小值1.17.已知中，，，分别为内角，，的对边，且；（1）求角的大小；（2）设点为上一点，是的角平分线，且，，求的长度.【答案】（1）（2）【解析】1）首先由正弦定理将条件变为，化简后用余弦定理即可；（2）首先需列出，代入已知条件即可得出.【小问1详解】在中，由正弦定理及得：，化简可得：，由余弦定理得，又，所以.【小问2详解】第13页/共17页

是的角平分线，则，由可得，因为，，即有，故.18.已知向量，.（1）若，求；（2）若，函数；（i）当取最小值时，求与垂直的单位向量的坐标.（ii）讨论的零点个数.【答案】（1）（2i）或ii）个【解析】1）利用向量积的坐标运算，结合三角恒等变形即可求解；（2i）利用换元法来求最小值，再利用向量的垂直关系来求解坐标即可；（ii）利用换元法先解一元二次方程，再解三角方程，即可结合定义域得到解的个数.【小问1详解】由，根据向量平行的坐标条件：，展开整理得：，【小问2详解】（i）当时，，.由,令，由得，且，第14页/共17页

代入得：,令，该二次函数的对称轴为，定义域为，开口向下，所以最小值在处取得，此时，结合，得，则，，即，设单位向量，则由，则，又由，联立解得或，即或；（ii）的零点满足，代入得，解得或，当时，，在内有2个不同解，即和；当时，，因为，所以只有唯一解；综上，共3个零点.19.已知平面四边形的两条对角线交于内部一点，且，.第15页/共17页

（1）判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（2）若，，求四边形的面积；（3）若，且，求的周长.【答案】（1）是，为定值（2）（3）【解析】1）利用向量的线性运算，结合向量的数量积可求得定值；（2）利用第一问结论，结合数量积