重庆市沙坪坝区2025-2026年学年高二数学下学期半期考试试题【含答案】

重庆市2025-2026年学年度下学期半期考试高二数学试题卷（满分150分，120分钟完卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法错误的是（）A.若随机变量，则B.若，，，则事件与事件独立C.若随机变量的方差，则D.若随机变量服从正态分布，若，则【答案】C【解析】【详解】对A：随机变量X～B10,12对B：P(B|A)=PABPA=PAB0.6=0.4对C：随机变量的方差，则，故C错误；对D：随机变量服从正态分布，，则P(2<X<6)=P(6<X<10)=P(X<10)-PX≤6=0.8-0.5=0.3，故2.已知函数fx=13x3A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】代入导数的运算公式，再求导数值.【详解】f'x=x2-2f3.已知变量，线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为，则数据相对于修正后的回归直线的残差为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求修正前和修正后的样本点中心，再代入回归直线方程求解回归后的直线方程，再代入残差公式.【详解】.因为，所以，因为经验回归方程过点，所以，所以增加一个数据后的，x'=66+-610设修正后的回归直线为，而修正后的回归直线过点，即6，12.4，所以，解得，所以修正后的回归直线为，所以数据相对于修正后的回归直线的残差为10-2.1×5-0.2=-0.34.某种产品的加工需要经过道工序，，是其中两道工序，如果工序不能放在最前，也不能放在最后且和两道工序必须相邻，那么不同的加工顺序种数有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】先排工序，有种排法，再排工序，有种排法，最后排其他三道工序，有种，因此不同的加工顺序种数为3×2A35.已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可.【详解】函数定义域为，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值，又函数在内有最小值，则，解得，所以实数的取值可以是.故选：D6.某单位在5月1日——5月5日这5天假期期间，实行每日一人值班制度，以确保各项工作的日常运转与应急事务的及时处理.现计划从4名员工中每天派1名员工值班，则每位员工至少值一天班的概率是（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率计算公式求概率.【详解】每天安排一名员工值班，都有4种安排方案，根据分步乘法计数原理，5天假期的安排方案共有：种.若每位员工至少值一天班，则必定有1人值了2天班，可从4人中选1人，从5天中选2天进行安排，安排方案为：；剩余3天，3人每人1天，安排方案为.结合分步乘法计数原理，每位员工至少值一天班的安排方法有：.所以每位员工至少值一天班的概率是：.故选：A7.国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（）A.120种 B.360种 C.420种 D.540种【答案】C【解析】【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色，此时不同的涂色方案有种；若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色，余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种；若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种；综上，不同的涂色方案有：种.故选：C.8.已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意正实数满足且，则不等式的解集是（

）A.（－∞，1） B.（－1，1）C.（－∞，0）∪（0，1） D.（－1，0）∪（0，1）【答案】D【解析】【分析】构造，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断的奇偶性，再将不等式化为求解集.【详解】令且，则，又，当时，当时，所以在上递减，在上递增，由为偶函数，则，故也为偶函数，而，且等价于，所以，故.故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图是的导数的图象，则下面判断错误的是（）A.在内是增函数B.在内是减函数C.在时取得极大值D.当时取得极小值【答案】AC【解析】【分析】由的图象，可得函数的单调性，从而即可求解.【详解】解：对A，由的图象，可知时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；对B，由的图象，可知时，，所以在上单调递减，故选项B正确；对C，由的图象，可知时，，所以在上单调递增，因为左右两边的单调性相同，所以取不到极大值，故选项C错误；对D，由的图象，可知时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小值，故选项D正确.故选：AC.10.已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由，可判断A，当时，可判断B，利用展开式的通项求出，可判断C，当时，可判断D．【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误；则，令，可得，故B正确；因为展开式的通项为，，所以，所以，故C正确；由展开式的通项为，，所以，，所以，令，可得，所以，故D正确.故选：BCD．11.现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得块月饼、黄球获得块月饼、绿球获得块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，则下列说法正确的是（）A.在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是B.第二次抽到红球的概率是C.如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为D.小明获得块月饼的概率是【答案】ACD【解析】【分析】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，选项A，根据条件，利用条件概率公式，即可求出结果；选项B，先求出，，，，再利用全概率公式即可求出结果；选项C，利用条件概率公式及选项B中结果，即可求出结果；选项D，分三种情况讨论，分别求出对应概率，即可求出结果.【详解】记红球为球，黄球为球，绿球为球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，，对于选项A，在第一次抽到绿球的条件下，第二次抽到绿球的概率是，所以选项A正确；对于选项B，因为，又，，，由全概率公式知，所以选项B错误，对于选项C，如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为，所以选项C正确，对于选项D，若小明获得块月饼可能的情况有三种：①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为，②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为，③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为，所以小明获得块月饼的概率是，故选项D正确，故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件满足：，则__________.【答案】0.68【解析】【分析】由条件概率乘法公式及全概率公式求得，再由对立事件概率公式即可求解.【详解】解：因为所以所以故答案为：0.6813.的展开式中，含项的系数为__________.【答案】55【解析】【分析】将原式拆解成两个二项式的和，借助于通项的分析即得.【详解】，因二项式的通项为，则的展开式中含项的系数为；对于，只需求其中的展开式含项的系数，即.故的展开式中，含项的系数为.故答案为：55.14.哈希算法是一种特殊的函数，也是一种加密技术．已知p-hashing是最简单的哈希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数所得到的余数．例如：对于数字752196进行2-hashing得到的哈希值为110110，那么对于数字752196进行3-hashing得到的哈希值为________；现对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021，则这样的正整数共有________个．（用数字作答）【答案】①.②.【解析】【分析】借助定义计算每一位除以的余数即可得空一；计算除以的余数为、、的一位正整数的个数，结合组合数公式进行计算即可得空二.【详解】由除以的余数为，除以的余数为，除以的余数为，除以的余数为，除以的余数为，除以的余数为，可知数字752196进行3-hashing得到的哈希值为；除以的余数为的正整数可能为、、、，除以的余数为的正整数可能为、、，除以的余数为的正整数可能为、、，则对一个正整数进行3-hashing后得到哈希值为120021，则这样的正整数共有个.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共61分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数，．若在处与直线相切．（1）求的值；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得，得到，且，根据题意，列出方程组，即可求解.（2）由（1）得到，求得函数的单调性和极大值，进而求得函数的最大值，得到答案.【小问1详解】解：由函数，可得，可得，且，因为曲线在处与直线相切，可得，解得.【小问2详解】解：由（1）知，可得其定义域为且，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，也是最大值.16.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值为,,,,,的分布列为0123.【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17.在2024年巴黎奥运会上，我国乒乓球运动员取得“五连冠”的优异成绩，激发了全民“国球热”.某社区举办了乒乓球比赛，甲、乙两人争夺冠亚军，采用五局三胜制（每局比赛没有平局），比赛共有1000元奖金，约定如下规则：若比赛3局决出胜负，冠军获得900元奖金，亚军获得100元奖金；若比赛4局决出胜负，冠军获得700元奖金，亚军获得300元奖金；若比赛5局决出胜负，冠军获得600元奖金，亚军获得400元奖金，已知甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为.（1）求比赛4局决出胜负的概率；（2）求甲获得的奖金X的分布列与数学期望.（3）比赛五局三胜制和三局两胜制，甲选手更希望选哪种？理由是什么？【答案】（1）（2）分布列见解析，（元）（3）选五局三胜，理由见解析【解析】【分析】（1）分甲获胜或乙获胜两种情况，分别利用独立事件的概率公式求解；（2）根据题意结合独立事件的概率公式列出分布列，并利用期望公式求解；（3）分别求出五局三胜和三局两胜制时，甲获胜的概率，比较大小即可.【小问1详解】若甲获胜，则概率为；若乙获胜，则概率为，

故比赛4局决出胜负的概率为.【小问2详解】由题意可知，X的取值可能为900，700，600，400，300，100，

，，，，，，

所以X的分布列为：X900700600400300100P所以（元）.【小问3详解】由（2）可知，五局三胜时，甲获胜的概率为，三局两胜时，甲获胜的概率为，所以更喜欢五局三胜制，因为这样甲获胜的概率更大！18.一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：温度212324272932产卵数个61120275777经计算得：线性回归模型的残差平方和，其中分别为观测数据中的温度和产卵数，.（1）若用线性回归方程，求关于的回归方程（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得关于回归方程为，且相关指数0.9522.（i）试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好.（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计为；决定系数.【答案】（1）