《古典概型》课件

第五章

统计与概率5.3

概率5.3.3

古典概型教材帮丨必备知识解读知识点1

古典概型的概念例1-1

判断下列试验是否为古典概型：（1）某专业射击运动员射击一次，观察是否中靶.【解析】这个试验的结果只有两个，即“中靶”与“不中靶”，具备了有限性，但“中靶”与“不中靶”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型.（2）口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球.【解析】每次摸出一个球后，仍放回袋中，再摸一个球.这种试验方法属于有放回抽样法，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型.知识点2

古典概型的概率公式

.

.例2-3

(广东省东莞市期末)某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为(

)

C

【解析】设两款优惠套餐分别为A,B,甲、乙、丙三位同学各从中任选一款套餐，列举基本事件如图5.3.3-1所示.图5.3.3-1

方法帮丨关键能力构建题型1

古典概型的概率求解例4

任意抛掷一枚质地均匀的硬币三次.（1）一共可能出现多少种结果?

.

.（2）出现“两次正面朝上,一次反面朝上”的概率是多少?

（3）若至少有两次反面朝上，则小刚获胜,否则小华获胜．那么这个游戏公平吗？为什么？

图5.3.3-2

图5.3.3-3

图5.3.3-4

例6

口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求：（1）从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；

.

.（2）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率.

子题1

保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率.

子题2

保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回（有顺序之分）地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率.

.

.【学会了吗丨变式题】

（1）小球是不放回的；

（2）小球是有放回的．

（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；

（3）求这四人至多有一人坐在自己的席位上的概率.

.

..

.

图5.3.3-5由图可知，所有的等可能样本点共有24个.【学会了吗丨变式题】2.(湖南省永州市期末)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为__.

题型2

古典概型与其他知识的综合问题例8

(四川省成都市期末)某高校在某项考试的考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩（单位：分），并按成绩分组，得到如下所示的频率分布表.组号分组频数频率第1组50.05第2组①0.35第3组30②第4组200.20第5组100.10合计1001.00图5.3.3-6（1）请先求出频率分布表中①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（如图5.3.3-6）；

频率分布直方图如图5.3.3-7所示.图5.3.3-7（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入面试，求从第3,4,5组中各抽取多少名学生进入面试；

（3）在（2）的前提下，学校决定从6名学生中先随机抽取2名学生接受考官的面试，求第4组至少有一名学生被考官面试的概率.

C

123123

.

.

（1）

（2）

例11

(山东省烟台市期末)从1，2，3，4，5，6中任取两个数字组成一个两位数，则组成的两位数大于50的概率为__.

【解析】

列举样本空间共包含的30个样本点

由于50的个位数字是0，而组成的两位数个位上的数字一定大于0，因此大于50的两位数只要十位上的数字不小于5即可,此时，样本空间所有的样本点（十位上的数字所有可能情况）是1，2,3，4,5，6，共6个.

.

.例12

任取一个正整数,则该数的平方的末位数字是1的概率为__.

高考帮丨核心素养聚焦考向1

古典概型概率的直接求解问题例13

(全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)

D

例14

(全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(

)

A

乙甲ABCDABCD共36种情况.

例15

(新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)

D

例16

(全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为___.

考向2

古典概型与其他知识的综合问题

A

图5.3.3-8

高考新题型专练1.［多选题］(辽宁省朝阳市期中)以下对各事件发生的概率判断正确的是(

)

ABC

图

D

5.3.3-1

ABC

练习帮丨学业质量测评A

基础练

知识测评建议时间：20分钟图5.3.3-11.(广东省清远市期末)如图5.3.3-1所示的三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体B

称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边角方块的概率为(

)

B

3.(海南省期末)中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类.其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”

为弹拨乐器，现从“金、石、土、革、丝、木”中任取“两音”，则“两音”同为打击乐器的概率为(

)

B

4.(山东省菏泽市期末)一年分为春、夏、秋、冬四个季节.某美术学院安排甲、乙两位同学绘制春、夏、秋、冬四个季节的彩绘，每位同学绘制一个季节，则甲、乙两名同学绘制不同季节的概率为(

)

D

【解析】列举出所有情况如下表.甲乙春夏秋冬春（春，春）（春，夏）（春，秋）（春，冬）夏（夏，春）（夏，夏）（夏，秋）（夏,冬）秋（秋，春）（秋，夏）（秋，秋）（秋，冬）冬（冬，春）（冬，夏）（冬，秋）（冬，冬）

5.边长为2的正三角形的顶点和各边的中点共6个点，从中任选两点，所选出的两点之间距离大于1的概率是(

)

C

图D

5.3.3-2

6.［多选题］一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(

)

ACD

7.(福建省泉州市期末)某中学调查了某班30名同学参加书法社团和演讲社团的情况，参加人数数据如下表.参加书法社团未参加书法社团合计参加演讲社团6814未参加演讲社团41216合计102030从该班随机选取1名同学，则该同学参加书法社团的概率为__;该同学至少参加上述一个社团的概率为__.

8.某地区高考实行新方案，规定如下：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．某学校为了了解高一年级120名学生选考科目的意向，随机选取12名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治选考方案确定的有5人552120选考方案待确定的有7人643242（1）在选考方案确定的学生中，同时选考物理、化学和生物的人数有多少？【答案】选考方案确定的学生中，同时选择“物理、化学和生物”的人数是2．（2）从选考方案确定的学生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．

B

综合练

高考模拟建议时间：25分钟9.(全国甲卷)从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(

)

C

图5.3.3-210.(北京市东城区期末)算盘是中国发明的一种手动操作计算辅助工具，迄今已有2

600多年的历史．现有一种算盘（如图5.3.3-2（1））共两档，自右向左分别表示个位和十位．档中横以梁，梁上一珠，拨下记作数字5，梁下四珠，上拨每C

珠记作数字1．现拨动算盘中两枚算珠，如图5.3.3-2（2）表示51，如图5.3.3-2（3）表示20．拨动图5.3.3-2（1）算盘中的三枚算珠，表示的整数超过24的概率为(

)

B

AC

14.(江西省九江市期末)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.（1）从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；【答案】从五张卡片中任取两张，这两张卡片上的标号之和的所有可能情况如下表所示：蓝红12123蓝132342345红134253

（2）向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，这两张卡片上的标号之和的所有可能情况如下表所示：绿蓝红012123绿012123蓝132342345红134253

C

培优练

能力提升

（1）求方程有两个正根的概率;

（2）求方程没有实根的概率.

12345678910111213141516171819A级必备知识基础练1.[探究点一]下列试验是古典概型的是(

)A.种下一粒大豆观察它是否发芽B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况D.某人射击中靶或不中靶C解析

只有C具有古典概型两个特征.123456789101112131415161718192.[探究点二]在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是(

)A解析

从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率123456789101112131415161718193.[探究点二]从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(

)B解析

从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率123456789101112131415161718194.[探究点二·云南曲靖平罗模拟]算盘起源于中国,是中国传统的计算工具.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横一梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,则表示的数字大于50的概率为(

)图1图2B12345678910111213141516171819解析

拨动图1算盘中的两枚算珠,有两类办法,第一类,只在一个档拨动两枚算珠,共有4种方法,表示的数字分别为2,6,20,60;第二类,在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法,表示的数字分别为11,15,51,55.所以表示不同整数的个数为8,其中表示的数字大于50的有51,55,60,共3个,所以表示的数字大于50的概率为

.故选B.123456789101112131415161718195.[探究点二]将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面朝上的概率是

.

解析

试验共有8个基本结果:(正,正,正),(反,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个,故所求的概率是

.123456789101112131415161718196.[探究点二]在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是

.

123456789101112131415161718197.[探究点二]甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.解

(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,所以选出的2名教师性别相同的概率为12345678910111213141516171819(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819B级关键能力提升练8.某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生2名女生,按照比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女同学被选中的概率是(

)D12345678910111213141516171819解析

现场选2名选手,共有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)15种情况,不妨设A,B,C,D四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况共6个,则至少有一名女同学被选中的概率为故选D.123456789101112131415161718199.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为(

)D解析

不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为

.1234567891011121314151617181910.某考试方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为(

)B解析

按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率故选B.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181911.《史记》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现两人进行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为(

)C12345678910111213141516171819解析

设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上、中、下三个等次的马分别为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛,所有的可能为Aa,Bb,Cc,田忌得0分;Aa,Bc,Cb,田忌得1分;Ba,Ab,Cc,田忌得1分;Ba,Ac,Cb,田忌得1分;Ca,Ab,Bc,田忌得2分;Ca,Ac,Bb,田忌得1分.田忌得2分的概率为P=.故选C.1234567891011121314151617181912.(多选题)下列试验是古典概型的是(

)A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率BD1234567891011121314151617181913.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是(

)A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16ACD12345678910111213141516171819解析

记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率

,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为

,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.1234567891011121314151617181914.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是

.

1234567891011121314151617181915.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213),若a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为

.

解析

a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为1234567891011121314151617181916.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为

.

解析

从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和B1不全被选中的概率为123456789101112131415161718191234567891011121314151617181917.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数,则两个数都是奇数的概率是

.若有放回地任取两个数,则两个数都是偶数的概率是

.

解析

从5个数字中不放回地任取两个数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个.因为两个数都为奇数的样本点有(1,3),