2026年高考数学临考冲刺卷01（全国二卷适用）（考试版及解析版）

1/22026年高考数学临考冲刺卷01（全国二卷通用）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.82.已知复数的共轭复数为，若，则可能为（）A. B. C. D.3．为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（）A. B. C. D.4.在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（）A B.C. D.5.【创新题】已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.96．【新情景】已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（）①数据，，，…，的平均数是；②数据，，，…，的平均数是；③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数；④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数．A.1 B.2 C.3 D.47.已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（）A. B. C. D.8.已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（）A.2026 B.1013 C.1 D.-1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【新考法预测】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（）A.第二天去室内健身的概率为B.第二天去户外运动的概率为C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为10．在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（）A.曲线的方程为B.C.点到点的距离最小值为4D.若为曲线在点处的切线，则直线平分11.【新情景】如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______．13.在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______．14.在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．16．（15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．（1）求智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，17．（15分）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．（1）证明：平面；（2）若在同一个球面上，求该球的半径；（3）求平面与平面所成角的余弦值．18．（17分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若有且仅有1个零点，求的值；（3）若存在，使得对任意恒成立，证明：．19．（17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上．点为双曲线右支上除右顶点外的任意点．（1）求双曲线的标准方程；（2）证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；（3）已知的左顶点和右焦点，直线与直线相交于点．试问是否存在常数，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

2026年高考数学临考冲刺卷01（全国二卷通用）（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合的子集个数为（）A.3 B.4 C.7 D.81.【答案】D【解析】解不等式得，则集合，有3个元素，则集合的子集个数为.故选：D.2.已知复数的共轭复数为，若，则可能为（）A. B. C. D.2.【答案】A【解析】设，则，由，得，解得，结合选项可知可能为．故选：A.3．为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（）A. B. C. D.3.【答案】A【解析】时的预测值，时的真实为值，样本点的残差为.故选：A.4.在下列四个正方体中，为正方体的顶点，为所在棱的中点，则满足直线平面的是（）A B.C. D.4.【答案】D【解析】如图1所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，所以设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，又易知，则，又，即与不垂直，所以与平面不平行，故A错误，对于B，如图2，由选项A知平面的一个法向量为，，则，又，即与不垂直，所以与平面不平行，故B错误，对于C，如图3，由选项A知平面的一个法向量为，，则，又，即与不垂直，所以与平面不平行，故C错误，对于D，如图4，记为正方体所在棱的中点，连接，易得，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，则直线平面，所以D正确，5.【创新题】已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.95.【答案】D【解析】由函数，令，可得，所以图象的定点，又由函数的图象过函数图象的定点，可得，即，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.6．【新情景】已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（）①数据，，，…，的平均数是；②数据，，，…，的平均数是；③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数；④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数．A.1 B.2 C.3 D.46.【答案】C【解析】对于①选项，设的前项和为，，所以数据，，，…，的平均数是，故①选项正确：对于②选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故②选项错误；对于③选项，，，，…，的中位数是，，，，…，的中位数是，，故③选项正确；对于④选项，易知点直线上，点在曲线上，因为，所以如下图所示：由图可知，当时，，所以数列的前项和大于数列的前项和，所以数列的前项的平均数比的前项的平均数大，④选项正确．故选：C.7.已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，则的最大值为（）A. B. C. D.7.【答案】A【解析】由抛物线的定义知，，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故，所以的最大值为故选：A.8.已知函数的定义域为为的导函数，，．若，则（）A.2026 B.1013 C.1 D.-18.【答案】D【解析】因为且，所以，因为，所以关于直线对称，则原函数关于点对称，所以所以，令，则，即，所以，所以的周期为，又，即，所以的周期也为，由得，由得，所以，由得，所以，又，所以，所以，所以，又，所以.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【新考法预测】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件存在如下关系：．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动．张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为．如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为．则张同学（）A.第二天去室内健身的概率为B.第二天去户外运动的概率为C.若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为D.若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为9.【答案】ACD【解析】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身，表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动.则，，，，因为，所以，因为，所以，对于A，，故A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，因为，故C正确；对于D，因为，故D正确.故选：ACD.10．在平面直角坐标系中，直线，直线，曲线上的动点到直线与的距离之积为定值1，为曲线的左、右焦点，则下列结论正确的是（）A.曲线的方程为B.C.点到点的距离最小值为4D.若为曲线在点处的切线，则直线平分10.【答案】ACD【解析】对于A，点到直线的距离为，到直线的距离为，由题可得，所以，又，故，所以曲线的方程为，故A正确；对于B，由A知曲线的方程为，所以，，所以，即，故B错误；对于C，要使得点到点的距离最小，则点要在双曲线的右支上，所以，且，所以，当且仅当时，取等号，所以点到点的距离最小值为4，故C正确；对于D，设点在双曲线上，满足，则双曲线在点处的切线的方程为，即，点到切线的距离，点到切线的距离，又，，所以，所以直线平分，故D正确.11.【新情景】如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（）A.第2026行共有2026个数B.从第4行起到第19行，每一行第4个数字之和为C.第48行的所有数字之和被7除的余数为1D.去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为11.【答案】BCD【解析】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，对于B,由题意可得,B正确，对于C,第48行的所有数字之和为,由于能被7整除，故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确，对于D,第行的和为，当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1，故前行中去除为1的项的和为，故前17行中去除为1的项的和为，去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数，当时，，因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为则此数列前135项的和为.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则的取值范围是______．12.【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称，又在上单调递增，则在区间上也单调递增，又当时，（），对称轴为，当时，的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意，所以，解得，所以实数的取值范围是.13.在中，角，，的对边分别是，，，若，为锐角三角形，则的取值范围是_______．13.【答案】【解析】在中，由余弦定理，，结合，可得，即（*），方法一：由（*）得，设，则，为锐角三角形，则，即，而，代入中，得恒成立，同理可得，需满足，即，解得，结合，可得；由，，可得，即，故，令，则，即在上单调递增，则，故的取值范围是.方法二：由（*）和正弦定理，可得，因，代入整理得，，即，因，则或（舍去），即，则，则，则，于，由正弦定理，，因为锐角三角形，则有，解得，设，则，且，因该函数在上单调递增，故可得，即，故的取值范围是.14.在平面中，和是互相垂直的单位向量，向量满足，向量满足，则的最小值为_______．14.【答案】【解析】因和是互相垂直的单位向量，则可建立分别以和为轴的单位方向向量的平面直角坐标系.则，，设，由可得，此式表示动点到两点和的距离之和为4，又，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，.所以点的轨迹方程为.设，由可得，表示动点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆.所以动点的轨迹方程为.故可设，，，则，其中.因为，所以.又,因，则当时，取得最大值4，所以，等号成立时，，，由可得，故.所以，，即当，时取等号.所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．15．（13分）【解析】（1）根据题意，令，当时，，，（3分）所以，且，则，（4分）所以数列是首项为，公差为的等差数列；（6分）（2）根据（1）可得，所以，（7分）则，（9分）所以.（13分）16．（15分）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．（1）求智能客服的回答被采纳的概率；（2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；（3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由，16．（15分）【解析】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰，则，（3分）则.（6分）（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布，（8分）则，，，，，，，（12分）的分布列为：0123（3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分，则，满足推广条件，因此该系统会得到推广.（15分）17．（15分）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角．（1）证明：平面；（2）若在同一个球面上，求该球的半径；（3）求平面与平面所成角的余弦值．17．（15分）【解析】（1）二面角为直二面角，即平面平面，又因为平面，平面平面，所以平面．（3分）又因为平面，所以．由题意平面，所以平面．（5分）（2）取中点中点，连接，则，因为平面，平面，所以，所以，在中，为中点，所以.（7分）以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则．设该球的球心坐标为，则解得.所以该球的半径为.（10分）（3）法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接，平面平面平面，平面平面，所以平面．而平面，故，又因为，平面，故平面，而平面，所以，则为平面与平面的所成角.（13分）直角三角形中，，所以平面与平面所成角的余弦值为.（15分）法二：平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即取，得平面的一个法向量为.（13分）所以平面与平面所成角的余弦值为.（15分）18．（17分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若有且仅有1个零点，求的值；（3）若存在，使得对任意恒成立，证明：．18．（17分）【解析】（1）当时，，定义域为，（2分）求导得到，令，则当时，所以在内单调递减，且，即在内单调递减，且，（3分）所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上所述，单调递增区间为，单调递减区间为.（5分）（2）因为有且仅有1个零点，所以方程有且仅有1个解，即有且仅有1个解，令，，则，令，则，（7分）所以在区间上单调递增，又因为，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；所以函数在处取得极小值也是最小值，（8分）当时，，时，，因为有且仅有1个解，所以.（9分）（3）因为对任意恒成立，所以，即，因此，要证，只需证明即可，（11分）对函数求导得到，令，则，（12分）所以在区间单调递减，即在区间单调递减，存在唯一极大值点，满足，即，在内函数单调递增，内函数单调递减，所以当时取得极大值也是最大值.