2026年高考数学终极冲刺：秘籍10 不规则几何体建系与计算的九大技巧（原卷版）

4/4秘籍10不规则几何体建系与计算的九大技巧题型考情分析考向预测1.面面垂直型2025年全国二卷：第17题考查了翻折问题，用空间向量建系解决问题2024年新课标二卷：第17题考查了翻折后底面不规则，用空间向量建系解决问题2024年新高考1卷：第17题考查了空间向量建系，根据二面角反求长度问题弱化完美几何体，强化不规则几何体、生活化折叠、偏心结构，考查自主建系、构建垂直的能力.2.单垂线型3.斜棱柱型（无垂面无垂线）4.偏心棱锥型（顶点射影非中心/顶点）5.翻折型（由平面图形折叠成立体）6.底面任意多边形型（无垂直、无对称）7.中点/中心对称型8.不规则台体型9.全无垂直极端型题型1面面垂直型几何特征：有一组面面垂直，底面、侧面为不规则图形（梯形、任意三角形）建系步骤：①两平面交线定为X轴；②在其中一个平面内，作交线垂线为y轴；③利用面面垂直性质，过垂足作另一平面垂线为z轴.【例1】矩形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，，，直线与平面所成角为，.

(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)线段上任意一点到平面的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．【变式1-1】（2026·贵州贵阳�模拟预测）如图所示，是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，垂直于半圆O所在的平面，，，.(1)证明：平面平面；(2)当C点为半圆的中点时，求面与面所成的二面角的正弦值.【变式1-2】（2026·云南红河·模拟预测）如图，在五面体中，，，，为等边三角形，平面平面．(1)证明：直线平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)设点为线段上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答．①；②；是否存在满足所选条件的点，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．题型2单垂线型几何特征：一条侧棱（或高线）垂直底面，但底面是任意三角形、不规则梯形.建系步骤：①垂线垂足设为坐标原点；②底面内过原点，任选互相垂直两条线作x、y轴；③垂直底面的棱直接作z轴.【例2】（2026·上海嘉定·二模）如图，在中，，平面，分别是线段、的中点．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的大小．【变式2-1】（2026·贵州贵阳�模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，为中点，．

(1)证明：平面；(2)当二面角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值．【变式2-2】（2026·江西赣州·一模）如图，在三棱锥中，平面，且为的中点.(1)求二面角的余弦值；(2)若，在线段上各取一点，设，若平面平面，求的值.题型3斜棱柱型（无侧面垂直底面、无侧棱垂直底面）1、几何特征：斜三棱柱、平行六面体，侧棱不垂直底面，整体倾斜.2、建系步骤：①底面顶点为原点，底面两条邻边为x、y轴；

②侧棱单独设空间向量，利用棱长、夹角算竖坐标；

③无垂直轴，靠解三角形补长度.【例3】（2024·河南·模拟预测）如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．【变式3-1】（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.

(1)当时，证明：平面平面.(2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.【变式3-2】（2026·陕西榆林�模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，分别为，的中点．(1)证明：侧面为矩形；(2)若，求直线与平面夹角的正弦值．题型4偏心棱锥型1、几何特征：非正棱锥，顶点在底面射影不在中心、不在顶点，落在边上或底面内部.

2、建系步骤：

①顶点底面射影设为原点；

②过射影作底面两条互相垂直直线为x、y轴；

③顶点与射影连线（几何体的高）为z轴.【例4】如图，在三棱锥中，是点在平面ABC上的投影，，，是BD的中点.(1)证明：平面DAC；(2)若O点正好落在的内角平分线上，，，，求二面角的正弦值.【变式4-1】（2026·浙江宁波�二模）在中，为的中点，如图，沿将翻折至位置，满足.(1)证明：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得在平面内的射影恰好落在直线上.若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【变式4-2】（2026·安徽铜陵·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，．(1)求证：平面；(2)若，，点E在线段上，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．题型5翻折几何体1、几何特征：平面图形沿固定直线翻折，形成二面角，无原生垂直.

2、建系步骤：

①

翻折线统一设为x轴；

②

翻折前后两个平面内，分别作翻折线的垂线；

③

两条垂线分别为y、z轴，二面角直接落在yOz平面.【例5】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD是直角梯形，其中．将沿AD折起，使得点E到达点M的位置，且使．(1)求证：平面平面ABCD；(2)设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．【变式5-1】（2026·湖北�二模）如图，菱形的边长为2，.现将沿折起，得到四面体，设二面角等于.(1)求证：；(2)若三棱锥的体积为，（i）求直线与平面所成的角；（ii）当时，求二面角的余弦值.【变式5-2】（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现.(1)求点P到平面的距离；(2)求二面角的正弦值.题型6底面任意多边形1、几何特征：底面无直角、无垂直，纯不规则四边形/三角形，无特殊条件.

2、建系步骤：

①任意顶点设为原点，两条邻边强行设为x、y轴（可不垂直）；

③利用空间向量、余弦定理、边长条件求第三点空间坐标.【例6】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．【变式6-1】（2026·青海西宁·二模）如图，在五面体中，平面平面，平面，为等边三角形，．(1)求证：；(2)点为棱上靠近点的三等分点，求二面角的正弦值．【变式6-2】（2026·海南儋州·一模）如图，等腰梯形中，，，，现将沿翻折，使得点到点处，得四棱锥，若点，分别在，上，且．(1)求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．题型7：中点/中心对称型1、几何特征：对棱中点连线、上下底中线存在垂直关系，自带对称.

2、建系步骤：

①

对称中心、中点为原点；

②

对称轴/中垂线为z轴；

③

底面过中心作横竖垂线为x、y轴.【例7】（2026·湖北�一模）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，，且，为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若，，求平面与平面的夹角.【变式7-1】（2026·广东清远�二模）如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值．【变式7-2】（2026·重庆·模拟预测）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．(1)求证：平面；(2)若，求异面直线与所成的角的余弦值；(3)在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围．题型8不规则台体型1、几何特征：棱台上下底为不规则图形，侧棱倾斜，上下底不水平.

2、建系步骤：

①

下底面顶点为原点，下底两邻边x、y轴；

②

利用棱台相似比求上底面各点高度，确定z坐标.【例8】如图，三棱台中，，，，，，在底面内的射影为中点.(1)求三棱台的体积；(2)求平面与平面夹角的正弦值.【变式8-1】（2026·河北·模拟预测）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【变式8-2】（2026·湖南长沙�一模）如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为和，四边形为下底面圆O的内接正方形，且，，为上底面圆上两点，为的中点，且满足平面平面，.(1)求证：；(2)求圆台的体积；(3)若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.题型9全无垂直极端型1、几何特征：无线线、线面、面面垂直，只给棱长、夹角.

2、建系步骤：

①自选一点为原点；

②人工作面的垂线构造z轴；

③投影法+解三角形，硬算所有线段长度与坐标.【例9】（2026·重庆九龙坡�二模）如图，已知六面体中，点与点在平面的两侧，且是边长为的正三角形.(1)求证:平面；(2)空间一点满足.点分别在棱上运动，且的面积为.(i)求的最小值；(ii)若是(i)中使取得最小值时的位置，且点在六面体的表面上，求四面体体积的最大值.【变式9-1】（2026·山西晋中�模拟预测）如图，在五面体中，，，两两平行，，，．

(1)若为的中点，证明：平面；(2)若平面，，求二面角的正弦值．【变式9-2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且．(1)设平面与平面的交线为，证明：；(2)证明：平面；(3)求二面角的余弦值．1．（2026·辽宁盘锦·一模）如图所示几何体中，四边形与四边形为全等的菱形，.(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.2．（2026·北京房山·一模）如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，．(1)求证：∥平面；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2026·湖南岳阳·二模）如图1，分别为边长为4的正方形三边的中点.将四边形沿着线段EF折起(如图2)，且点M是线段上一点.(1)求证:；(2)若二面角的大小为且三棱锥M-DFG的体积为设过直线且与直线平行的平面为，求平面与平面所成角的余弦值.4．（2026·湖北荆州·一模）“细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD.(1)设，求证：PO⊥平面；(2)是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由；(3)求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小.5．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，．(1)证明：平面．(2)求五面体的体积．(3)求平面与平面ABC所成角的大小．6．（2026·福建·二模）已知平面，垂足为，直线，是内的动点，且始终在的两侧．(1)若，证明：是锐角三角形；(2)若，是线段上靠近的三等分点，．（i）证明：二面角为锐角；（ii）直线与所成的角分别为，记．若平面，且不是任何一个长方体的截面，求的最小值．7．（2026·广东湛江·二模）如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.8．（25-26高三下·安徽·月考）已知等腰梯形与等腰梯形如图所示，其中，过点作，垂足为．现沿进行翻折，使得点在平面内的投影为点，连接，得到的图形如图所示．(1)求证：平面平面；(2)在图1中，若，，求图2中直线与平面所成角的正弦值．9．（2026·江西宜春·一模）如图，在四棱锥中，，，，，，.(1)求证：平面平面ABCD；(2)若G为线段PC上一点（异于点P，C），平面ABG与平面PBC所成角的余弦值为，求直线BG与平面APB所成角的正弦值.10．（2026·浙江温州·二模）如图所示，三棱锥中，，，且，，E，F分别为和的中点．(1)证明：上存在点P，使得平面；(2)当时，求二面角的正弦值．11．（2026·甘肃·二模）如图，在多面体中，为矩形，分别与平面垂直，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)若共面，求平面和平面所成角的余弦值.12．（2026·山东滨州·一模）如图，在矩形中，，点分别是边的中点，点分别在线段上移动（不含端点），且，将四边形沿翻折至四边形，使得二面角的大小为．(1)求证：平面；(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值．13．（2026·广西北海�一模）如图，四边形和都是正方形，四边形为平行四边形，为锐角，M，N分别为的中点，直线AE与平面所成的角为．(1)证明：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．14．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形中，，，，四边形为矩形，底面，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)点P在棱上，求与平面所成角的正弦值的取值范围．15．（2026·北京丰台·一模）如图，在多面体中，面是矩形，，．(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．16．（2026·陕西咸阳·二模）如图1，在等腰梯形中，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，（如图2）.

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)若，，，四点在一个球面上，求这个球的体积.17．（2026·重庆沙坪坝·模拟预