2026年高考数学终极冲刺：培优专题02 数列及其应用 4大重难题型（大题专练）（原卷版及全解全析）

6/18培优专题02数列及其应用4大重难题型💎💎题型01数列的通项公式问题命题方向一定义法求数列的通项公式命题方向二退位法求数列的通项公式命题方向三累加法求数列的通项公式命题方向四累乘法求数列的通项公式命题方向五构造求数列的通项公式💎题型02数列的前n项和问题命题方向一分组求和法求数列的前项和命题方向二裂项相消法求数列的前项和命题方向三错位相减法求数列的前项和💎题型03数列与不等式的综合应用命题方向一数列与不等式的证明命题方向二数列与不等式的恒成立或能成立问题💎题型04数列与其他模块知识的创新交汇问题命题方向一数列与集合的融合创新命题方向二数列与复数的交汇问题命题方向三数列与三角的交汇问题命题方向四数列与概率统计交汇问题命题方向五数列与函数、导数的交汇问题题型01数列的通项公式问题抓关键·破难点一、退位相减法：◎适用于递推关系中含有与的形式（1）退位：仿照写出.（2）相减求：将与的表达式代入中化简计算，得到.（3）验证：验证时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式.二、构造法◎适用于形如的递推公式求通项.=1\*GB3①若为常函数：可构造为待定系数）.=2\*GB3②若为一次函数，可构造为待定系数）.=3\*GB3③若为=1\*GB3①=2\*GB3②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以，转化为，令，，原式转化为，结合累加法求出，进而求得.三、不动点法◎适用于形如为参数，的递推公式求通项.=1\*GB3①求不动点：，，令，即，令此关于的一元二次方程的两个根分别为.=2\*GB3②构造特殊数列：若，则有为参数），构造等差数列；若，则有为参数），构造等比数列.=3\*GB3③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到.刷经典·通方法🎯命题方向一定义法求数列的通项公式1．（2021·新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且，令，记，分别为数列，的前项和.（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求d.3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．🎯命题方向二退位法求数列的通项公式4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列的前n项和为，已知．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前n项和．5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列的前项和为，已知.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.🎯命题方向三累加法求数列的通项公式6.（2026·山东滨州检测训练）在数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值.7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.（1）求和的通项公式和的前n项和；（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:.🎯命题方向四累乘法求数列的通项公式8．（2022·新高考Ⅱ卷）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列的首项，且.（1）求数列的通项公式：（2）若数列的前项和为，证明：.10．（2026·河北沧州质量检测）在数列中，是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.🎯命题方向五构造求数列的通项公式11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列满足，且．（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列中，已知，且满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列中，（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）令，证明:．题型02数列的前n项和问题抓关键·破难点◎高分技法一、分组求和法=1\*GB3①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．=2\*GB3②常见类型：分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：奇偶并项求和：通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．◎高分技法二、裂项相消法①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项。考场必备的5大裂项技巧◎高分技法三、错位相减法=1\*GB3①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成.=2\*GB3②展开：=1\*GB3①=3\*GB3③乘公比：=2\*GB3②=4\*GB3④错位相减：得.=5\*GB3⑤求和：.刷经典·通方法🎯命题方向一分组求和法求数列的前项和1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列是等差数列，且，，数列满足，.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和.3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列的前n项和，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．🎯命题方向二裂项相消法求数列的前项和4.（2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.5.（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列是等比数列，，，数列满足：.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.6.（2026·河北唐县第一中学·一模）已知数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）若，求数列的前n项和.7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．8.（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列的前n项和为，，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）记，求数列的前项和．9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2））若，求数列的前项和.10.（2026·山东聊城·一模）已知数列满足.（1）求的前n项和；（2）记数列的前n项和为，若．（i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；（ii）求数列的前n项和．🎯命题方向三错位相减法求数列的前项和11．（2025·全国高考一卷）已知数列中，，.（1）证明：数列为等差数列；（2）给定正整数m，设函数，求.12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前n项和．14.（2026·陕西榆林一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．题型03数列与不等式的综合应用抓关键·破难点高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.一、数列不等式放缩法的类型序号放缩法类型具体操作①分式放缩对于“分式”型不等式，将代数式中的分母或分子“扩大”或“缩小”，放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明②不等式放缩利用基本不等式或其他重要不等式对“和”“积”“倒数和”“平方和”等放缩。③添项或去项放缩在不等式的两边同时“加上”或“减去”某一项实现放缩④拆项放缩对一些比较复杂的代数式“拆开”再重新组合，可以消去一些项，从而简化运算（如裂项相消）二、数列不等式的6大放缩实例①②，③④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥，刷经典·通方法🎯命题方向一数列与不等式的证明1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.（1）求的通项公式；（2）证明：当时，.2．（2026·锡林郭勒盟检测）记为正项数列的前项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求证：.3.（2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列的前项和为，若，且．（1）证明：为等差数列，并求．（2）若，数列的前项和，求证：．4.（2026·湖北武汉3月·调研）在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）证明：🎯命题方向二数列与不等式的恒成立或能成立问题5．（2026·贵州黔东南模拟·预测）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．7.(2026·福建名校联盟·开学考试)记数列的前n项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围．题型04数列与其他模块知识的创新交汇问题抓关键·破难点数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识主体、运用相应主体模块是解题关键。创新交汇1：交汇函数定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。创新交汇2：交汇概率定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。刷经典·通方法🎯命题方向一数列与集合的融合创新1.（2026·广东东莞3月质量·检测）已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和.🎯命题方向二数列与复数的交汇问题2．（2026·山东青岛3月·调研）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列为等比数列；（3）求．🎯命题方向三数列与三角的交汇问题3.（2026·湖北随州·二模）已知数列和，为数列的前n项和，，且，．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．🎯命题方向四数列与概率统计交汇问题4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从这两个盒子中各取1个球放入对方的盒子中.重复这样的操作，第次操作后甲盒中白球的个数记为.（1）求；（2证明：是等比数列；（3）求的数学期望.🎯命题方向五数列与函数、导数的交汇问题5.（2026·江苏南京师范大学附属中学G4·联考）数列中，，，.（1）证明：是等差数列；（2）设，求.6．（2026·河南开封高级中学第一次·调研）已知函数.（1）若数列，求数列的前n项和；（2）已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和.7.（2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）设，，为数列的前项和，令，，．（1）若，求数列的前项和；（2）求证：对，方程在上有且仅有一个根；（3）求证：对，由（2）中构成的数列满足．8．（2026·云南红河州、文山州·模拟预测））已知数列满足（），且，函数．（1）求函数的极大值；（2）若，，，使得成立，求的取值范围；（3）若，求的前项和．

培优专题02数列及其应用4大重难题型💎💎题型01数列的通项公式问题命题方向一定义法求数列的通项公式命题方向二退位法求数列的通项公式命题方向三累加法求数列的通项公式命题方向四累乘法求数列的通项公式命题方向五构造求数列的通项公式💎题型02数列的前n项和问题命题方向一分组求和法求数列的前项和命题方向二裂项相消法求数列的前项和命题方向三错位相减法求数列的前项和💎题型03数列与不等式的综合应用命题方向一数列与不等式的证明命题方向二数列与不等式的恒成立或能成立问题💎题型04数列与其他模块知识的创新交汇问题命题方向一数列与集合的融合创新命题方向二数列与复数的交汇问题命题方向三数列与三角的交汇问题命题方向四数列与概率统计交汇问题命题方向五数列与函数、导数的交汇问题题型01数列的通项公式问题抓关键·破难点一、退位相减法◎适用于递推关系中含有与的形式（1）退位：仿照写出.（2）相减求：将与的表达式代入中化简计算，得到.（3）验证：验证时的情况，若符合，则通项公式成立；若不符合，则要将通项公式写成分段形式.二、构造法◎适用于形如的递推公式求通项.=1\*GB3①若为常函数：可构造为待定系数）.=2\*GB3②若为一次函数，可构造为待定系数）.=3\*GB3③若为=1\*GB3①=2\*GB3②外的其他函数类型，可将等式两边同时除以，转化为，令，，原式转化为，结合累加法求出，进而求得.三、不动点法◎适用于形如为参数，的递推公式求通项.=1\*GB3①求不动点：，，令，即，令此关于的一元二次方程的两个根分别为.=2\*GB3②构造特殊数列：若，则有为参数），构造等差数列；若，则有为参数），构造等比数列.=3\*GB3③求通项：利用公式法求新构造数列的通项公式，进而得到.刷经典·通方法🎯命题方向一定义法求数列的通项公式1．（2021·新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）7.【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，将若，转化为关于的方程组，解出后得到通项公式.（2）由（1）写出前项和的表达式，代入不等式，解关于的一元二次不等式，结合求出最小的.【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得所以.（2）结合（1）可知，，则等价于，解得或，又，所以，故使成立的n的最小值为7.2．（2023·新课标Ⅰ卷）设等差数列的公差为，且，令，记，分别为数列，的前项和.（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求d.【答案】（1）（2）【分析】（1）先由结合等差数列通项公式求出公差，再将转化为关于首项的方程，解出后得到的通项公式.（2）由为等差数列，结合与等差数列通项形式，推导出的表达式，再代入，求解d.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以，所以，.因为，所以，解得或，因为，所以.所以的通项公式为.（2）因为，且为等差数列，所以，即，所以，所以，解得或.①当时，，所以，，.因为，所以，即，解得或（舍去）.②当时，，所以，，.因为，所以，即，解得（舍去）或（舍去）.综上，.3．（2026·安徽合肥模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，将已知条件，转化为关于，的方程组，解出，后得到两个数列的通项公式。（2）由（1）得到的表达式，利用错位相减法求其前n项和.【详解】（1）设公差为，公比为，，故，，，故，联立，解得或（舍去），故，；（2），设数列的前项和为，则，①，②两式①-②得，所以.🎯命题方向二退位法求数列的通项公式4．（2026·甘肃陇南·二模）记数列的前n项和为，已知．（1）证明：为等比数列；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）对已知递推式．进行变形，构造与的关系，结合首项验证等比数列定义，完成证明.（2）先由（1）求出，再利用及得到，进而写出，最后用错位相减法求数列的前n项和．【详解】（1）将两边同时加，得，

因为，所以是以3为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）知，即，

当时，，当时，不符合上式，故，所以，

当时，，由于当时也满足该式，因此．5．（2026·河北保定模拟·预测）记数列的前项和为，已知.（1）证明：数列为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用再利用将已知递推式转化为关于的等式，再通过推导为常数，结合首项验证等差数列定义.（2）先由（1）求出与，对的进行裂项变形，再利用裂项相消法求前项和.【详解】（1）因为，所以，当时，，两式相减得，①则，②②①得，所以.因为，又，所以当时，；当时，，则，所以，满足，所以，故数列为等差数列.（2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，则，所以.🎯命题方向三累加法求数列的通项公式6.（2026·山东滨州检测训练）在数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和的最大值.【答案】（1）；（2）90.【分析】（1）由递推式，利用累加法，将表示为等比数列与等差数列的求和，结合求出通项公式.（2）由化简得等差数列，写出其前项和的的二次函数形式，根据二次函数性质或数列单调性求最大值。【详解】（1）依题意，当时，，则，满足上式，所以的通项公式为.（2）由（1）得，数列是递减等差数列，由，得，则数列前10项均为非负数，从第11项起为负数，而，因此数列前10项和与前9项和相等，都最大，所以数列的前项和的最大值为.7．（2026·四川德阳模拟·预测）已知数列和首项为2的等比数列的各项均为正数，若，，且.（1）求和的通项公式和的前n项和；（2）若数列的通项公式满足，设为的前n项和，求证:.【答案】（1）；；（2）证明见详解（1）先由等比数列的首项及求出公比，得到；再利用求出，通过累加法结合求出；最后用错位相减法求的前n项和；（2）将代入​，对进行裂项变形，利用裂项相消法求出，再放缩证明.【详解】（1）设等比数列的公比为，首项，，所以，，，又因为，所以，令，，又有，则有，所以，又因为数列的各项均为正数，所以，令，所以①，②，由①—②有：，（2）因为，所以.🎯命题方向四累乘法求数列的通项公式8．（2022·新高考Ⅱ卷）记为数列的前n项和，已知，是公差为的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.【答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）先由等差数列的首项与公差，写出其通项公式，结合推导出的表达式，再用累乘法求出的通项公式；（2）由（1）得​，对其进行裂项变形，利用裂项相消法求出前项和，最后通过放缩证明不等式成立.【详解】（1）法一：因为，所以，又是公差为的等差数列，所以.因为当时，，所以，所以，整理得，所以，所以，又也满足上式，所以，则，所以，又也满足上式，所以.法二：因为，所以，又是公差为的等差数列，所以，所以.因为当时，，所以，所以，所以，所以，又也满足上式，所以.（2）因为，所以，所以.9．（2026·江西福州阶段检测）已知数列的首项，且.（1）求数列的通项公式：（2）若数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见详解.【分析】由递推式变形得，利用累乘法结合首项求出通项公式；（2）由（1）得​，通过放缩后裂项，再用裂项相消法求和，证明.【详解】（1）因为，所以，即，将上述个式子相乘得，所以，当时，成立，故.（2）由（1）得，所以，所以，即.10．（2026·河北沧州质量检测）在数列中，是公差为1的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设为数列的前项和，若对任意，总有，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）先由等差数列的首项与公差，写出其通项公式，得到的表达式，再用累乘法求出的通项公式；（2）将代入​，对进行裂项变形，利用裂项相消法求出前项和，，分析的单调性，由恒成立，得到的取值范围.【详解】（1）由可知.由题设条件可知，所以，当时，，所以.当时，满足，故的通项公式为.（2）由（1）可知，所以.则.🎯命题方向五构造求数列的通项公式11．（2026·石家庄第一中学·一模）已知数列满足，且．（1）若，证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）将，代入递推式，整理得到​与的倍数关系，结合首项验证等比数列定义，完成证明；（2）由（1）得到的通项，反解出，将项和拆分为等比数列与等差数列的和，分别求和后合并得到．【详解】（1）因为，所以，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可得，所以，所以前项和12．（2026·河北秦皇岛阶段检测）在数列中，已知，且满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）对递推式变形，构造新数列，证明其为等比数列，进而求出的通项公式；（2）将代入​​，化简后利用裂项相消法或错位相减法求前项和．【详解】（1）因为，且易知，所以，所以，所以．因为，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，所以．（2）因为，所以．13.（2025·高考综合改革适应性·演练）已知数列中，（1）证明：数列为等比数列；（2）求的通项公式；（3）令，证明:．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.【详解】（1）由得，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得,解得：.（3）令，，因为在上单调递增，则所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，故得.题型02数列的前n项和问题抓关键·破难点◎高分技法一、分组求和法=1\*GB3①适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．=2\*GB3②常见类型：分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：奇偶并项求和：通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．◎高分技法二、裂项相消法①识别：观察待求和式子是否满足分式型、指数型、根式型等结构.②裂项：利用裂项技巧裂项，检验裂项后的式子是否需要“配凑”系数才能保证裂项前、后的式子等价.③相消：明确正、负相消时，是从哪一项开始消去的，消去多少项，留下了多少项，一般前面留下了几项，后面相应留下几项。考场必备的5大裂项技巧◎高分技法三、错位相减法=1\*GB3①识别：数列各项由公差为的等差数列和公比为的等比数列对应项之积构成.=2\*GB3②展开：=1\*GB3①=3\*GB3③乘公比：=2\*GB3②=4\*GB3④错位相减：得.=5\*GB3⑤求和：.刷经典·通方法🎯命题方向一分组求和法求数列的前项和1.（2021·新高考Ⅰ卷）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.【答案】（1）.（2）300.【分析】（1）根据递推式计算，，再由，结合奇偶项递推关系，证明是等差数列，进而求出其通项公式；（2）将前20项和拆分为奇数项和与偶数项和，分别利用等差数列求和公式计算，再合并得到结果.【详解】（1）因为2n为偶数，所以，，所以，即，且，所以是以2为首项，3为公差的等差数列，所以，，.（2）当n为奇数时，，所以的前20项和为.由（1）可知，，所以的前20项和为.2．（2026·湖南邵阳第二次联考）已知数列是等差数列，且，，数列满足，.（1）求的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）若数列满足，求的前项和.【答案】（1），证明见解析（2）【分析】（1）利用等差数列通项公式，由，求出公差，得到的通项；将代入，​+an​，构造数列，证明其为等比数列；（2）由（1）得的通项，进而得到​，将前项和.拆分为等差数列与等比数列的和，分别求和后合并.【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，得，解得.所以.由得，即，又，所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列.（2）由（1）可得，所以.所以.所以.3.（2026·内蒙古包头市·一模）数列的前n项和，数列满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，求数列的前100项和．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用与的关系可求数列的通项公式，当时，由已知可得，两式相除可求数列的通项公式；（2）结合（1），利用分组求和法可求数列的前100项和．【详解】（1）令，则，，当时，，也符合上式，∴；当时，由，可得，两式相除可得，也符合上式，∴．（2）），，，…，，，，，…，，将数列和数列各取前100项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数只取一次，则，，…，，，，…，，∴．🎯命题方向二裂项相消法求数列的前项和4.（2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）已知数列的前项和为.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）根据关系即可作差求解；（2）利用裂项相消法求和即可得解.【详解】（1）当时，，当时，，当时，也符合，所以.（2）由（1）可得，5.（2026·广东深圳市第一次调研）已知数列是等比数列，，，数列满足：.（1）求，的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），，，.（2）.【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出；（2）利用裂项相消的方法求出即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，所以，，因为，当时，，两式相减得，则时，；当时，由得，解得符合该式；所以，.（2）由于，，所以.6.（2026·河北唐县第一中学·一模）已知数列的前n项和为，且，.（1）求；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由.知是首项为1、公差为的等差数列，先求​​，再得；（2）由求​，将裂项后，按奇偶性用裂项相消法求和.【详解】（1）因为，且，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，则，所以.（2）由（1）可知：，当时，则，且符合上式，所以，可得，设数列的前n项和为，则，所以数列的前n项和为.7.（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）对递推式变形，证明的后项减前项为常数，结合首项验证其为等差数列；（2）由（1）得，将裂项后，用裂项相消法求前n项和.【详解】（1）根据题意，令，当时，，，所以，且，则，所以数列是首项为，公差为的等差数列；（2）根据（1）可得，所以，则，所以.8.（2026·辽宁名校联盟·二模）已知数列的前n项和为，，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）由及，变形得，结合首项，证明为等差数列；（2）由（1）得，进而求出​，将裂项后，用裂项相消法求前项和．【详解】（1）由得：，即，所以，又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列.（2）由（1）知数列是以首项为2，公差为2等差数列，所以，当时，，当时，满足条件，所以，所以，所以.9.（2026·安徽江南十校检测）已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2））若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，利用和列方程组，解出​与，进而得到通项公式。（2）将代入，化简后裂项，再用裂项相消法求前项和.【详解】（1）数列为等差数列，设首项为，公差为对恒成立，必有，所以，解得所以即数列的通项公式为.（2）.10.（2026·山东聊城·一模）已知数列满足.（1）求的前n项和；（2）记数列的前n项和为，若．（i）证明数列为等差数列，并求出的通项公式；（ii）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）（i）证明见解析，；（ii）【分析】（1）分、两种情况结合等差数列的求和公式求解即可；（2）（i）结合题设及与的关系可得，即可求证，再求解通项公式即可；（ii）先得到，再结合分组求和、裂项相消法求解即可【详解】（1）当时，；当时，，显然满足上式，则.（2）（i）由，当时，，即；当时，，则，即，则，即，所以数列是以为首项，以2为公差的等差数列，则，即.由（1）知，，由（i）知，，则，所以.🎯命题方向三错位相减法求数列的前项和11．（2025·全国高考一卷）已知数列中，，.（1）证明：数列为等差数列；（2）给定正整数m，设函数，求.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）对递推式变形，得到，结合首项，证明为等差数列；（2）由（1）得，对求导后代入，得到等差乘等比型数列求和，用错位相减法计算最终结果.【详解】（1）两边同时乘，得，又，所以是首项为3，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知数列的通项公式为，又，故，所以.两式相减，得，所以.12．（2026·四川成都石室中学二模））已知正项数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用与作差，结合正项数列条件，证明是首项为1、公差为1的等差数列，进而得到的通项公式；（2）将代入​，此为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n项和．【详解】（1）由，当时，，则，即，所以，即，由数列为正项数列，所以，从而有，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，．（2）由（1）知，所以，，则，从而，即，所以.13．（2026·河南九师联盟模拟预测））已知数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【分析】（1）由可知是等差数列，设公差为d，结合，与列方程，求出首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）得，代入​，得到为等差乘等比型数列，用错位相减法求前n项和．【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，设数列的公差为d，且，则，解得，又，所以，即，则，解得，所以；（2）由（1）可知，，所以，则，两式相减可得：，即，化简可得：.14.（2026·陕西榆林一模）已知数列的前n项和，等比数列满足，．（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），（2）．【分析】（1）利用并验证，求出的通项；再由已知求出等比数列的首项与公比，进而得到其通项。（2）为等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和.【详解】（1）当时，，当时，，也满足，所以．因为，所以的公比，所以．（2）由（1）可知，所以①，②两式相减，得，所以．题型03数列与不等式的综合应用抓关键·破难点高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.高考对数列解答题的考查偏重于综合性，其中数列不等式的证明是数列模块中的难点。当数列结构复杂时，不能直接求和，要对通项进行预放缩后才能利用求和公式，进而证明不等式.因此，放缩的思想就是通过放缩将不能求和的数列变成可以求和的数列.一、数列不等式放缩法的类型序号放缩法类型具体操作①分式放缩对于“分式”型不等式，将代数式中的分母或分子“扩大”或“缩小”，放缩成等比数列的形式，再利用等比数列求和公式化简，进而得以证明②不等式放缩利用基本不等式或其他重要不等式对“和”“积”“倒数和”“平方和”等放缩。③添项或去项放缩在不等式的两边同时“加上”或“减去”某一项实现放缩④拆项放缩对一些比较复杂的代数式“拆开”再重新组合，可以消去一些项，从而简化运算（如裂项相消）二、数列不等式的6大放缩实例①②，③④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥，刷经典·通方法🎯命题方向一数列与不等式的证明1．（2023·新课标Ⅱ卷）已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.（1）求的通项公式；（2）证明：当时，.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用等差数列前项和公式与的分段定义，列方程组求出的首项和公差，得到通项；（2）分别写出和的表达式，通过作差比较，证明当时，.【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为，所以，，.因为，，所以，整理得，解得，所以的通项公式为.（2）由（1）知，所以.当n为奇数时，.当时，，所以.当n为偶数时，.当时，，所以.综上可知，当时，.2．（2026·锡林郭勒盟检测）记为正项数列的前项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用与作差，结合正项数列条件，证明是等差数列，进而求出通项公式；（2）由递推关系累乘得到的表达式，将其裂项后求和，通过放缩证明不等式成立.【详解】（1）当时，可得，当时，，.作差可得，因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以.（2）由题可得，所以，又，所以，又也满足上式，所以，3.（2026·重庆名校联盟第一次·联考）已知数列的前项和为，若，且．（1）证明：为等差数列，并求．（2）若，数列的前项和，求证：．【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【分析】（1）根据等差数列的概念证明，结合等差数列通项公式求；（2）利用裂项相消法求和即可证明．【详解】（1），所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以；（2），．4.（2026·湖北武汉3月·调研）在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）证明：【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）使用等差中项性质即可求解；（2）使用累加法求得的通项公式，再使用裂项相消即可得证.【详解】（1）设，则，因为是等差数列，即是等差数列，则有，即，解得.（2）由（1）知，，则公差为2，首项为6，则，即，当时，将各式相加，得，即，即，而满足上式，因此，，则，因为，则，则，得证.🎯命题方向二数列与不等式的恒成立或能成立问题5．(2026·贵州黔东南模拟·预测)已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求使成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）6.【分析】（1）利用等差数列前n项和公式及等比中项性质，联立方程求出首项与公差，得到通项公式；（2）写出与的表达式，解不等式，求出满足条件的最小正整数n.【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为，由题意可得，化简得，解得，，所以.（2）由（1）可知.由，得，即，即，解得或.因为，所以n的最小值是6.即使成立的n的最小值为6.6．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】由得，再写出时的式子作差，整理后证明是等差数列，进而求出通项公式；（2）根据的分段定义，分为奇数、偶数分别求出​，再将不等式恒成立问题转化为求的最小值，从而确定的取值范围.【详解】（1）因为，即：．①当时，，又，所以．当时，，②由①－②整理得：．整理得，由累乘法得：，代入比值：，当时，，符合上式，所以数列的通项公式为．（2）当为偶数时，，所以，为偶数，由恒成立，得，是偶数，当时，有最小值，所以；当为奇数时，为偶数，，所以，为奇数，由恒成立，得，又在上单调递增，所以当时，有最小值1，所以．综上，实数的取值范围是7.(2026·福建名校联盟·开学考试)记数列的前n项和为，已知．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，若，，求t的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由，写出时的式子作差，得到与的递推关系，证明是等比数列，进而求出通项公式；（2）将代入​，裂项后求；再求出的表达式，根据，对任意恒成立，分别求​的上确界和的下确界，从而确定的取值范围.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以，即，则是首项为1，公比为3的等比数列，所以的通项公式为．（2）由（1）可得，所以，因为，，所以t的取值范围为．题型04数列与其他模块知识的创新交汇问题抓关键·破难点数列是以正整数为自变量的一类特殊函数，因此数列创新问题常与解析几何、函数、概率等模块交汇考查。与解析几何交汇，能依托数的本质属性与形的几何特征；与函数交汇，能放大数列的函数特征；与概率交汇，能彰显数列工具的妙用。这些问题以数列为核心，常出现在解答题中，明确问题属于哪个知识主体、运用相应主体模块是解题关键。创新交汇1：交汇函数定位主体：需要分析切线、单调性、极值时，主体为函数，要充分运用导数工具；根据函数图象上的点列建立坐标之间的递推关系时，主体为数列。创新交汇2：交汇概率定位主体：需要求概率值、分布列、期望时，主体为概率；根据实际情境分析出各个情况下概率的递推关系后，需要求具体期望值时，主体为数列。刷经典·通方法🎯命题方向一数列与集合的融合创新1.（2026·广东东莞3月质量·检测）已知数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设集合，，等差数列的任一项，其中是中的最小元素，，求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【分析】（1）根据求出通项公式；（2）在第一问基础上得到，，，根据求出，，求出等差数列的公差，及通项公式，从而求出.【详解】（1）由，得：当时，，当时，符合上式，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列.故，；（2）因为，，∴，又∵，其中是中的最小元素，∴，∵的公差是3的倍数，∴.又∵，∴，解得：，所以，设等差数列的公差为d，则，所以，所以的通项公式为.因此数列的前n项和.🎯命题方向二数列与复数的交汇问题2．（2026·山东青岛3月·调研）设为复数数列，，，记的实部为，虚部为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列为等比数列；（3）求．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）由复数递推式，展开后分离实部与虚部，得到的递推关系，进而求出通项公式；（2）由虚部的递推式，变形得到的递推关系，取对数后证明是等比数列；（3）利用（2）的结论，将乘积转化为指数形式，结合等比数列求和公式计算结果。【详解】（1）因为，故，而，均为实数，故，而，，均为实数，故，故.（2）由（1）可得，故，，所以，因为，故，故，而，故数列为等比数列，且首项为，公比为.（3）由（2）可得，故，故.🎯命题方向三数列与三角的交汇问题3.（2026·湖北随州·二模）已知数列和，为数列的前n项和，，且，．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．【答案】（1），（2）（3）证明见解析【分析】（1）先由求出，进而得到​，算出；再由求出​，得到​，算出​；（2）利用​，结合已知的与表达式，消去，得到的递推关系，进而求出通项公式；（3）由的表达式，结合的放缩，利用等比数列求和公式证明不等式。【详解】（1）由，，得，故，由，，得，故（2）由，得，又，所以两边同时乘以得，由得，即，于是，又得，所以，所以，经验证也符合，所以；（3）构造函数，则，所以在单调递减，且，，由零点存在定理，存在唯一的，使得，则当时，；当时，；故在上单调递增，在上单调递减，又，所以所以当时，，所以当时，，所以当时，，当时，．当n＝1，n＝2时，不等式成立.🎯命题方向四数列与概率统计交汇问题4．（2026·广东茂名第一次·综合测试）已知甲､乙两个盒子均装有1个白球和1个黑球，现进行如下操作：从