【《三元、四元函数极值判定方法分析案例》1700字】

三元、四元函数极值判定方法分析案例1.1.三元函数的极值下面我们来探讨三元函数、四元函数以至多元函数的极值的判定。1.1.1.三元函数的定义函数z=f(x,y,z),若满足不等式f(x,y,z)<f(x1.1.2.三元函数取极值的条件我们假设一个三元函数u=f(x,y,z)在P0（x0,y0,z0）这个点如果能使偏导fx(x0,y0,z0),fy(设函数u=f(x,y,z)在点P0（x0,y0,z0fxx(x0,y0,zfxy(x0,y0,z则f(x,y,z)在点(x当A−D2−1>0B−E2−1>0C−F2−1>0当A+D2+1<0B+E2+1<0C+F2+1<0证明：我们可以根据三元函数的泰勒公式，对任意的(x0=12其中0<θ<1，为书写简便，把fxx(x,y,z)、fyy(x,y,z)、fxz(x,y,z)、fyz(x,y,z)在点(x0+θl,y0+θh,z0+θk)的值记为∆f=12为讨论P0(x0,∆f=1所以当l,h,k不全为零，(x0+l,y0+h,z0+k)∈U(P0)当A−D2−1>0B−E2−1>0同理，∆f所以，当A+D2+1<0B+E2+1<0证明完毕。为清楚起见，将三元函数极值判断步骤归纳如下：首先求偏导数fx(x0,yfxx(x0,y0,zfxy(x0,y0,z（2）确定f的各个驻点，即求解fx（3）确定A−D2−1B−1.1.3.三元函数极值的求解例题例1.求三元函数f(x,y,z)=x解：（1）先求偏导数fx=2x+2=0,fyfxx=2,fyy=4,fzz=6,（2）三元函数f的驻点为fx=2x+2=0f（3）根据三元函数极值判断条件A−D所以，P0（-1，-1,1）为三元函数的极小值点，−6为极小值1.1.1.三元函数另外一种判断极值的方法设f(x1,x2,x3)是集合S⊂R3上的函数，如果对f(（所以我们可以说f(x10,x20,x30)是f(x1,x2定理1若P0=(x10,x20,x30)是证明:P0是内点，因而x10是三∂f(x10定义：设f(x1,x2,x3)在区域D上处处存在偏导数，如果在点P如果P0是函数f(x1,x2,x3)的与一元函数相同，我们需要利用f(x1,引理：设3阶矩阵A是一个对称矩阵，就是A=AT，而且我们说矩阵A是正定的(x((x证明:R3中单位球面S3=(x1,x2,x(x引理得证。（这里的矩阵A的表达式为fx定理2设P0=(x10,x20,x30)是f(x1,x2,x3)在区域D内的判别点，如果f(x1,x2,x3)在P0=(x10证明：H正定，取ε>0，把f在P0点作二阶Taylor展开，我们把这个点(xf(=1≥ε由于o在(x1,x2,x3)趋于(x10,x2如果Hf(P0)不定，则存在n维向量α≠0和β≠0，使得αHf(P0)α'>0,而βHff(=t充分小时αHf(f(=在t充分小时小于零，因此P0不是极小值点，得P例1.求三元函数f(x,y,z)=x解：设f(x,y,z)上处处存在偏导数，如果在点P0=(x0,y令fx=2x+2=0fy=4y+4=0设P0=(−1，−1,1)是f(x,y,z)的判别点，如果f(x,y,z)在P0=(−1，−1,1)的Hesse矩阵Hf(P0)是正定的，则P0=(−1，−1,1)是f(x,y,z)的严格极小点，如果矩阵Hf(先求解Hesse矩阵Hf(P0)，fxx=2,fxy=0,fxz=0fzz=6,所以Hf(P0)=200040006，判断1.2四元函数的极值通过上面的定义，证明以及例题，我们了解了一元函数到三元函数的极值问题，我们进行推广，在面对四元函数问题的时候我们又该如何分析解决。1.2.1四元函数极值问题设f(x1,x2,x3,x4)是集合f((f(所以我们把f(x10,x20,x30,x40)叫做f(x定理1若一个点P0=(x10,x20,x30,x4证明:P0是内点，因而x10是四∂f(x10定义：设f(x1,x2,x3,x4假如我们说P0这个点就是函数f(x1,x与一元函数相同，我们需要利用f(x1,引理：我们假设有一个4阶矩阵A，这个四阶矩阵是对称矩阵，就是说是A=AT，而且这个矩阵A它是正定的，或者说这个矩阵A它是负定的，那么如果有ε>0，∀((x((x证明:R4中单位球面S4=(x1,x2,x3,x4)/x12(x引理得证。（这里的矩阵A的表达式为fx定理2设P0=(x10,x20,x30,x40)是f(x1,x2,x3,x4)在区域D内的判别点，如果f(x1,x证明：设H正定，取ε>0满足上面引理，将f在P0点作二阶Taylor展开，由(f(=1≥ε由于