2025-2026学年广州岭南画派纪念中学九年级下学期数学综合练习含答案

初中2025学年第二学期九年级综合练习数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可以使用计算器．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把标号涂黑；2．作答选择题时，远出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1.下列实数中，最小的是（）A. B. C. D.2.下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.3.下列图象中，不是的函数的是（）A. B. C. D.4.如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知实数，满足，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（）A. B. C. D.7.运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有，根据该公式，下列说法错误的是（）A.中位数是3 B.众数是2 C.的值是7 D.平均数是8.关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（）A. B. C.或 D.或9.如图，为线段的中点，，动点满足，连接，则的取值范围是（）A. B.C. D.10.如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.因式分解：____________．12.光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为________米．13.一个圆锥的侧面积是，底面半径为，则该圆锥的母线长是_______．14.如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______．15.如图，是等腰直角三角形，，，为线段上一动点，过点作直线，垂足为，设，当点从点开始运动至点过程中，记直线扫过的面积为．当与满足关系式时，取值范围为___________．16.在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________．三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【已知】对分式进行通分，可知：当且时，．【应用】求的值．18.如图，在中，点在边上，连接，，，，求．19.先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数．20.某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题：（1）该公司组织参观博览会的员工共有___________名；（2）将条形统计图在图中补充完整；（3）若B馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若抽出的两次数字之积为偶数则小明获得门票，反之小华获得门票．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平．21.如图，为等腰三角形，，，，直线，将绕点顺时针旋转得到（点对应的点为点）．（1）尺规作图：作（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接，若．①求证：四边形是菱形；②求的长．22.居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器，开工第一天日生产量400万个．经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天．（1）1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率50%增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量；（2）该厂要求每天生产一次性注射器的数量应达到10900万个，是否能够完成该任务？如果能，应该增加几条生产线？如果不能，请说明理由．23.在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，为线段的中点，记点所在的曲线为．（1）求曲线的解析式；（2）直线，与曲线的两支交于点，，设直线与轴正半轴的夹角为（为锐角）．①求证：；②若，求的取值范围．24.如图，边长为4的正方形的对角线，相交于点，点在对角线上运动（不与点，重合），连接．（1）连接，求的取值范围；（2）为边外侧一点，连接，，，且．①求证：；②设外接圆的半径为，连接，，当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式（为自变量）．25.已知抛物线的顶点为，点在抛物线上，直线过点和．（1）求直线的解析式；（2）点为抛物线与直线的唯一交点，连接，记的长度为，若给定一实数，满足恒成立，求的取值范围；（3）已知：任意两正数，，有不等式恒成立．①若与的乘积为定值，求证：的最小值为，当时，的值最小；②在（2）的条件下，为直线上的一动点，，连接，．若，运用（3）①证明的结论，求面积的最小值．

2025学年第二学期九年级综合练习数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分，考试时间120分钟，不可以使用计算器．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B铅笔把标号涂黑；2．作答选择题时，远出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上；3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）1.下列实数中，最小的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简各选项，再根据实数大小比较规则：负数小于一切正数，即可判断出最小的数．【详解】解：分别化简各选项得：∵，，，三个数均为正数，仅是负数，又∵负数小于一切正数，∴是四个数中最小的数．2.下列各式计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查同类二次根式合并，绝对值和算术平方根的性质，根据相关运算法则逐一判断即可得到结果．【详解】解：选项A：，该选项符合题意；选项B：，该选项不符合题意；选项C：，该选项不符合题意；选项D：，该选项不符合题意．3.下列图象中，不是的函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】解：∵选项A，C，D中的图象，都描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有唯一的y值与其对应，而选项B中有一个x值对应2个函数值的情况，∴选项A，C，D不符合题意，选项B符合题意．4.如图，，，分别为边，，的中点，连接，，，若的面积为8，则的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【详解】解：∵点D、E分别是各边的中点，∴是的中位线，∴，，∴，∴，∵的面积为8，∴，同理，，，∴的面积．5.已知实数，满足，则点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据二次根式和四次根式的非负性得到，求出点的坐标即可得到答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，∴，∴点即位于第一象限．6.《孙子算经》中记载了一道有趣的题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：木长几何？”大意是：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺，问木头多长?（一尺等于十寸），设木头长尺，绳子长尺，根据题意可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，由题意可得，，∴可列方程组为．7.运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有，根据该公式，下列说法错误的是（）A.中位数是3 B.众数是2 C.的值是7 D.平均数是【答案】D【解析】【分析】根据方差公式得到每个数的出现次数，整理出这组数据，再逐项判断即可．【详解】解：∵，∴数据2出现3次，数据3出现2次，数据4出现2次，∴数据总个数，将这组数据从小到大排列为，A、数据一共有7个数，中位数为第4个数3，故选项正确，不符合题意；B、数据中2出现次数最多，则众数为2，故选项正确，不符合题意；C、，故选项正确，不符合题意；D、计算平均数得，故选项错误，符合题意．8.关于的不等式解集在数轴上表示如图，设，则的取值范围是（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出的取值范围即可．【详解】解：由数轴可知关于的不等式解集为，∵中，∴分段讨论：①当时，，∴，∴，即；②当时，，∴，∴，即，综上，的取值范围是或．9.如图，为线段的中点，，动点满足，连接，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据题意得出，得出点D的运动轨迹，当点

D

在线段

上时最小，当

时

最大，利用锐角三角函数求解即可．【详解】解：如图所示，∵B

为线段

的中点，，∴．

∵，∴，点D在以点C为圆心，1为半径的圆上运动，当点

D

在线段

上时（即

D

与

B

重合），，此时角度最小；当

时，，此时

最大．在中，，，∴．∴．∴的取值范围是．10.如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的性质可得，且．再结合线段的和差可知、；①易得，如图：过B作交延长线于G，利用平行线等分线段定理以及平行线的性质可得，，进而得到，即，从而得到，即可判断①；②利用等腰三角形三线合一的性质可得，再结合可得，即可判断②；③如图：连接，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断③；由、，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可判断④．【详解】解：∵的对角线，交于点，，∴，且．∵，∴；∵，∴，∴，，∴，①∵，，，，∴，如图：过B作交延长线于G，∴，，∴，即，∴，∴，即为的角平分线，故①正确；②∵，∴是等腰三角形，∵为的角平分线，∴，∵，∴，即②正确；③如图：连接，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，即③正确；④∵在中，，∴，即④错误．综上，正确结论有①、②、③，共3个，即选项C符合题意．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．11.因式分解：____________．【答案】【解析】【分析】先分组提取公因式，再利用平方差公式继续分解，直至分解彻底．【详解】解：．12.光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为________米．【答案】【解析】【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可．【详解】解：米；故答案为：【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.一个圆锥的侧面积是，底面半径为，则该圆锥的母线长是_______．【答案】【解析】【分析】根据圆锥侧面积公式，结合已知的侧面积和底面半径，列方程求解母线长．【详解】解：设该圆锥的母线长为，圆锥底面圆的周长为，∴，解得．14.如图，在中，为直径，为弦，D为的中点，过点D作于F，交于点E，若，，则的长为______．【答案】3【解析】【分析】连接，设与交于点，证明，，设圆的半径为，则,在中，由勾股定理列方程求出,可求出的长．【详解】解：连接，设与交于点，如图，∵是的直径，且，∴，，又D为的中点，∴，，∴，，∴，∴,，∴，设圆的半径为，则,在中，，即，∴,∴．15.如图，是等腰直角三角形，，，为线段上一动点，过点作直线，垂足为，设，当点从点开始运动至点过程中，记直线扫过的面积为．当与满足关系式时，取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】两种情况，分别表示出S与x的函数关系式，再根据列出不等式求解即可．【详解】解：∵是等腰直角三角形，，，∴，

∴，

∴

过点A作于点H

，∵，

∴，

当时，直线l与AB相交，扫过的图形为等腰直角三角形

，∴

．由得

．解得或

．∵，∴或均不合题意；当时，直线l与相交，扫过的图形为四边形（或减去右侧小三角形）此时，右侧小三角形为等腰直角三角形，面积为

，由得

，解得

，∴

符合题意，综上所述，x的取值范围为．16.在平面直角坐标系中，，，分别以点，为圆心，1为半径作，，点，分别在，上，点在直线上，连接，．则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接，连接，可知当、、、四点共线时，有最小值，进而求解．【详解】解：如图，作关于直线对称的，点关于直线对称的，连接，则有，连接，可知当、、、四点共线时，有最小值；如图，对于直线，当时，；当时，；∴，，设，则有，，∴，解得，∴，∴，∴的最小值为．三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【已知】对分式进行通分，可知：当且时，．【应用】求的值．【答案】【解析】【分析】将每一项拆分成两项的差，再计算加减法即可得．【详解】解：．18.如图，在中，点在边上，连接，，，，求．【答案】．【解析】【分析】证明，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．19.先化简，再求值：，其中点在反比例函数上，且，均为整数．【答案】，【解析】【分析】先计算括号内分式减法，然后计算除法，直至化为最简分式，再结合点在反比例函数上，且，均为整数以及分式有意义的条件得出的值，最后代入求值即可．【详解】解：原式，∵，，，∴且．由点在反比例函数上，得．因为a，b均为整数，所以a的所有可能取值为，．∵且∴．将代入得：原式．20.某公司组织部分员工到一博览会的A、B、C、D、E五个展馆参观，公司所购门票种类、数量绘制成的条形和扇形统计图如图所示．请根据统计图回答下列问题：（1）该公司组织参观博览会的员工共有___________名；（2）将条形统计图在图中补充完整；（3）若B馆门票仅剩下一张，而员工小明和小华都想要，他们决定采用抽扑克牌的方法来确定，规则是：“将同一副牌中正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若抽出的两次数字之积为偶数则小明获得门票，反之小华获得门票．”请用画树状图或列表的方法计算出小明和小华获得门票的概率，并说明这个规则对双方是否公平．【答案】（1）（2）图见解析（3）小明获得门票的概率为，小华获得门票的概率为，不公平【解析】【分析】（1）由条形统计图及扇形统计图可得展馆门票数量及其相应的占比，据此即可求出该公司组织参观博览会的员工总数；（2）由扇形统计图可得展馆门票占比为，据此即可求出展馆门票数，然后将条形统计图补充完整即可；（3）依据题意先用画树状图法分析所有等可能出现的结果，然后根据概率公式求出小明获得门票的概率和小华获得门票的概率，将双方获得门票的概率进行比较，即可得出结论．【小问1详解】解：由条形统计图及扇形统计图可知：展馆门票共张，相应的占比为，该公司组织参观博览会的员工总数（名），故答案为：；【小问2详解】解：由扇形统计图可知：展馆门票占比为，展馆门票数（张），将条形统计图补充完整如下：【小问3详解】解：画树状图如下：由图可知，共有种可能的结果，且每种结果的可能性相等，其中小明可能获得门票的结果有种，分别是，，，，，，，，，，，，小明获得门票的概率，小华获得门票的概率，，这个规则对双方不公平．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，列表法或树状图法求概率，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联以及列表法或树状图法求概率是解题的关键．21.如图，为等腰三角形，，，，直线，将绕点顺时针旋转得到（点对应的点为点）．（1）尺规作图：作（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接，若．①求证：四边形是菱形；②求的长．【答案】（1）见解析（2）①见解析；②．【解析】【分析】（1）以点为圆心，以长为半径作弧交直线于点，以点为圆心，以长为半径作弧与以点为圆心，以长为半径的弧相交于点，连接和，即为所作；（2）①连接，延长交于点，推出是线段的垂直平分线，得到是等边三角形，求得，证得，即可得到四边形是菱形；②利用特殊角的三角函数值求解即可．【小问1详解】解：如图，即为所作，【小问2详解】①证明：连接，延长交于点，∵直线，，∴，即，∵，∴是线段的垂直平分线，即是线段的垂直平分线，∴，由旋转的性质知，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，由旋转的性质知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴四边形是菱形；②∵是线段的垂直平分线，∴，∵，∴．22.居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器，开工第一天日生产量400万个．经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天．（1）1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率50%增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量；（2）该厂要求每天生产一次性注射器的数量应达到10900万个，是否能够完成该任务？如果能，应该增加几条生产线？如果不能，请说明理由．【答案】（1）1条生产线的最大产量是900万个；（2）不能完成该任务，理由见解析【解析】【分析】（1）根据“按日平均增长率增加”解答即可；（2）设增加x条生产线，每天生产一次性注射器y万个，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．【小问1详解】解：∵（万个），∴1条生产线的最大产量是900万个；【小问2详解】解：不能完成该任务，理由如下：设增加x条生产线，每天生产一次性注射器y万个，根据题意得：．∵，∴当时，y取最大值10580，即每天生产一次性注射器最多10580万个．∵，∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个．23.在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，，，为线段的中点，记点所在的曲线为．（1）求曲线的解析式；（2）直线，与曲线的两支交于点，，设直线与轴正半轴的夹角为（为锐角）．①求证：；②若，求的取值范围．【答案】（1）（2）①见详解，②【解析】【分析】本题考查了反比例函数的性质、矩形的性质、中点坐标公式、两点间距离公式及三角函数的应用，解题的关键是利用中点坐标公式求出点的轨迹方程，掌握两点间距离与坐标差的关系．（1）中由矩形的顶点坐标，用中点坐标公式求点坐标，消去参数得曲线的解析式；（2）①中由直线与轴正半轴夹角为，过分别作轴、轴垂线，利用三角函数定义，，变形即得；②中当时，联立直线与反比例函数，用韦达定理求，代入，由，在直角三角形中，设角的邻边为，对边为，由勾股定理求斜边为，得，再求的范围．【小问1详解】解：四边形为矩形，对角线的中点的坐标为，设，则，，，，即，，曲线的解析式为；【小问2详解】解：①过点作轴于，过点作轴于，过点作于点，则，轴，直线与轴正半轴的夹角为（为锐角），，在中，由三角函数定义：，；②当时，直线，联立与，，由，由韦达定理：，，为锐角，在直角三角形中，设角的邻边为，则对边为，由勾股定理，斜边，，直线与曲线的两支都相交，方程的两根异号，即恒成立，又恒成立，可取任意实数，当时，，的取值范围为．24.如图，边长为4的正方形的对角线，相交于点，点在对角线上运动（不与点，重合），连接．（1）连接，求的取值范围；（2）为边外侧一点，连接，，，且．①求证：；②设外接圆的半径为，连接，，当点在线段上运动时，求与之间的函数关系式（为自变量）．【答案】（1）；（2）①见解析；②．【解析】【分析】（1）利用正方形的性质结合勾股定理求解即可；（2）①在线段上取点