山东烟台市芝罘区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页山东烟台市芝罘区2025-2026学年高二第二学期期中学业水平诊断数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C10A.45 B.165 C.330 D.79202.已知离散型随机变量X的期望EX=2，则E2X−1A.2 B.3 C.5 D.73.某班40名同学报名参加8个社团活动，每位同学只能参加其中1个社团，且每个社团招收人数不限，则这40位同学可能的报名结果种数为(

)A.C408 B.A408 C.4.已知1−2x10=a0+A.0 B.1 C.210 D.5.关于(x,y)的一组样本数据(9,21)，(12,26)，(14,m)，(15,35)，若由这组样本数据得到的经验回归方程为y=2x+3，则m的值为(

)A.30 B.31 C.32 D.336.某单位在周一到周五的五天中安排4人值夜班，每天安排1人，每人值夜班至少1次，至多2次，且每个人均不在相邻两天连续值夜班，则该单位可能的值夜班安排种数为(

)A.96 B.108 C.144 D.2887.设A，B是同一概率空间中的随机事件，满足PA=13，PBA=A.34 B.12 C.138.设离散型随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，5，且满足P(X≤k)=k2P(X=k)(k=1,2,3,4,5)，则P(X=1)的值为A.125 B.15 C.25二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的有(

)A.若X服从标准正态分布，则DX=1

B.若X∼N0,σ2σ>0，则σ越小，正态密度曲线越“瘦高”

C.若X∼N2,σ2，且PX<410.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为2”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为偶数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为6”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则(

)A.A与B相互独立 B.A与C相互独立 C.A与D相互独立 D.C与D相互独立11.某校举办象棋比赛，最终有甲、乙、丙、丁四名同学进入决赛，决赛的比赛规则为：四名同学进行单循环比赛(即每名同学都要与其他各名同学进行一局比赛)，每名同学胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，且每局比赛中，每名同学胜、平、负的概率均为13.若各局比赛结果相互独立，则在比赛结束时，下列结论正确的有(

)A.

甲同学积分为3分的概率为227

B.

甲同学胜2局且乙同学胜2局的概率为127

C.

甲同学积分的数学期望为4

D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.由数字0，1，2，3组成的没有重复数字的四位数中偶数的个数为

(用数字作答)．13.1−2x2+1x2x−1514.一个正八面体骰子，八个面分别标以数字1，2，3，4，5，6，7，8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间Ω=1,2,3,4,5,6,7,8.设事件A=1,2,3,4，事件B=2,4,6,8，若事件C满足PABC=PAPBPC，P四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)OpenClaw(俗称“龙虾”)是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下2×2列联表：年龄是否喜欢使用OpenClaw合计是否不超过45岁4060超过45岁30合计100(1)完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联;(2)若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率．参考公式：χ2=n(ad−bc)216.(本小题15分)某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示：机器编号12345678故障率1.2%1.8%0.7%0.9%2.5%2.2%1.5%0.8%(1)从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率;(2)从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量X表示其中故障率小于1%的机器台数，求X的分布列和数学期望;(3)以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率．17.(本小题15分)电动自行车作为一种绿色、节能的交通工具，受到广大市民的青睐，但随之而来的电动自行车违规停放和充电的问题，已成为城市管理的一大难题.某市为切实消除电动自行车消防安全隐患，决定在各小区建设智能充电桩，并统计了第1个月到6个月的充电桩的建成数量y(单位：千个)如下表所示：第x个月123456充电桩建成数量y(千个)0.91.73.255.35.5根据表中数据，拟使用模型y=a⋅2x+b和模型y=plnx+q(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好；(2)根据(1)的分析，选取拟合程度更好的模型，求出y关于x的经验回归方程，并预测到第8个月时，全市的充电桩建成数量．参考公式：对于一组数据xi,yii=1,2,3,⋅⋅⋅n，其相关系数r=i=1n参考数据：ln8≈2.1，i=16yi−y2≈4.4，令2xi=uii=1,2,3,4,5,6，18.(本小题17分)已知甲盒中有2个白球和3个黑球;乙盒中有2个白球和2个黑球，所有小球除颜色外完全相同.定义一次“双向置换”操作：先从甲盒中随机取出1个球放入乙盒，搅拌均匀后，再从乙盒中随机取出1个球放入甲盒．(1)完成1次“双向置换”后，求甲盒中恰有2个白球的概率;(2)若已连续完成2次“双向置换”．(ⅰ)求此时乙盒中白球个数的分布列和数学期望;(ⅱ)已知此时乙盒中有白球，求乙盒中恰有2个白球的概率．19.(本小题17分)一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得30元的基础抵扣券的概率为310，获得10元的基础抵扣券的概率为710，且须继续参加第二轮活动;否则，不获得基础抵扣券，活动结束.若顾客成功通过第二轮活动，则可获得20元的进阶抵扣券.两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动.已知该商品每件的售价为150元，原进货成本为78元，商场承担所有抵扣券金额的(1)若顾客成功通过第一轮活动的概率为45，成功通过第二轮活动的概率为12，记顾客购买一件该商品的实际支付金额为X(单位：元)，求X(2)设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为p(0<p<1)，且顾客甲至多购买一件该商品.假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为f(p)=59p+49，记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望(单位：元)为g1(p);顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为1定义：毛利润期望=顾客购买概率×(顾客实际支付金额的期望−原进货成本−商场承担的抵扣券成本的期望)

参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.A

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.AC

11.BCD

12.10

13.32

14.8

15.解：(1)2×2列联表如下：

零假设为H0:“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄无关联．

根据列联表中的数据，得χ2=100(40×30−20×10)250×50×60×40≈16.667>10.828=x0.001．

依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，

即“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．

(2)由题意知：年龄超过45岁的员工中喜欢使用OpenClaw的频率为14，

不超过45岁的员工中喜欢使用OpenClaw16.解：(1)表中故障率小于2%的机器共有6台，总机器数为8台，

故所求的概率P=68=34．

(2)故障率小于2%的机器共有6台，其中故障率小于1%的有3台，

所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，

所以P(X=0)=1C63=120，P(X=1)=C31C32C63=920，P(X=2)=C32C31C63=920，P(X=3)=1C63=120，

故X的分布列为

所以X的期望E(X)=0×117.解：(1)对于模型y=a⋅2x+b，令u=对于模型y=plnx+q，令v=ln因为∣r2∣>∣(2)y=根据最小二乘估计p=i=16因此y关于x的经验回归方程为y=2.8当x=8时，代入ln8≈2.1得y因此预测到第8个月时，全市充电桩建成数量为6.4千个．

18.解; (1)设“完成1次双向置换后，甲盒中恰有2个白球”为事件A，

则P(A)=25×35+35×35=35．

(2)(i)设连续完成2次双向置换后，乙盒中白球个数为随机变量X，

则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，

所以P(X=0)=35×25X01234P121743271084所以E(X)=0×12625+1×174625+2×327625+3×108625+4×4625=1168625．

(ii)设“连续完成2次双