江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏连云港市东海县2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数z对应的点坐标是(−2,1)，则|z+i|=(

)A.5 B.5 C.222.化简sin200∘cos140A.32 B.sin20∘ C.3.设a,b为非零向量，则“a⊥b”是“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量OA=k,1，OB=4,2，OC=5,k，若A，B，A.3 B.−3 C.2或3 D.−3或−15.已知1+sin2α1+cos2α+A.2 B.−2 C.12 D.6.已知sin⁡(α+2π3)=13，则A.149 B.−149 C.77.在△ABC中，C=π3，D是BC边的中点，E是AB边上靠近A的三等分点，AD与CE交于点M，若AB⋅AC=6AMA.π6 B.π4 C.π38.在▵ABC中，3cos2A=2cos2B+cos2CA.23 B.13 C.−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设z1、z2是方程z2+z+1=0A.z1=z2 B.z1210.在表达式有意义的条件下，下列等式成立的是(

)A.cosA+BcosA−B=cos2A−sin211.▵ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，若b=23，atanA+aA.B=2π3 B.▵ABC面积的最大值为33

C.▵ABC外接圆半径为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=23,2，b=1,313.已知z∈C，若z+3−4i=1，则z的最小值为

．14.在平面凸四边形ABCD中，AB=2，BC=6，CD=DA=4，则四边形ABCD面积的最大值是

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知向量a，b满足a=1，b=1,3，a(1)求2a(2)若ka−b⊥16.(本小题15分)已知α,β∈0,π2，cos(1)sin(2)β+2α的值．17.(本小题15分)在▵ABC中，已知BC=3，(1)求角A；(2)求边BC上的中线AD的最大值．18.(本小题17分)在▵ABC中，AB=3，BC=7，AC=5，点E，F分别是边BC和AC上的动点．(1)求▵ABC的面积；(2)若点E，F分别是边BC和AC的中点，求AE⋅(3)是否存在定点E，使AE⋅BF19.(本小题17分)已知单位圆的圆心为O，点A、B是单位圆上的两个不同定点.动点P在单位圆上，且满足OP=(1)求OA⋅(2)求OP⋅(3)设直线OP交直线AB于点M，OM=mOP，BM=nBA，求参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.A

9.AB

10.ACD

11.BCD

12.313.4

14.815.解：(1)因为b=1,∵a⋅∴2a∴2a(2)由ka2a+解得：k=2．

16.解：(1)因为α,β∈0,π2因为cosα+β=2则sinα+β同理cosβ=7所以sin=所以cosα=所以sin2α=2(2)=2因为α,β∈0,π2，所以2α+β∈

17.解：(1)由正弦定理可得：a2+bc=b由余弦定理可得：cosA=因为A∈0,π，所以A=(2)因为2AD4=c在▵ABC中，由余弦定理得b2即(b+c)2=3+3bc≤3+3当且仅当b=c=3又因为b2+c故有4AD从而AD≤32，故AD的最大值为

18.解：(1)由余弦定理可得：cosA=32所以A=2π3，所以所以▵ABC的面积为S=1(2)ABAE=AE=(3)设BE=λ则AE=AB+λAE=μ1−λ若存在定点E，使AE⋅BF为定值，则其值与μ无关，故μ的系数为则1−λAB⋅AC解得：λ=313，此时故存在E满足BE=313BC，使得

19.解：(1)因为OP=可得OP2又因为α为锐角，则sinαcosα≠0(2)以O为原点，以OA,OB为x,y轴，建立直角坐标系，则Pcos可得OP=则OP=cos且α∈0,π2可得sinα+π所以OP⋅AP−(3)因为POM=mOP