北京市朝阳区2025-2026学年高三年级第二学期质量检测二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区2025-2026学年高三年级第二学期质量检测二数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合M=xx>0，集合N=xx2<1A.−1,+∞ B.−1,1 C.0,+∞ D.0,12.已知复数z=1−2ii，则z=A.3 B.5 C.3 3.在1+x6的展开式中，各项系数的最大值是(

)A.6 B.15 C.20 D.354.已知双曲线y2a2−x2=1A.14 B.12 C.2 5.如图，在▵ABC中，点M为线段BC的中点，CN=14CA，MN=k1A.−2 B.−14 C.146.设m∈R，则“sinm=0”是“函数y=cos2x的图象关于直线x=m对称”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.某圆锥的轴截面(通过轴的平面所得到的截面)是面积为43的等边三角形，则该圆锥的侧面积为(

)A.32π B.16π C.12π D.8π8.某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为En=Ae−kn+30，其中A,k为常数，A>0,k>0,n∈N.已知E0=100,E100A.120 B.150 C.170 D.1809.设函数fx=1x−k,x<0,lnx+1−k,x>0．若关于x的方程A.0 B.1 C.2 D.310.在四面体OABC中，OA⊥BC，H∈平面ABC且OH⊥平面ABC，给出下列三个结论：①若OB⊥AC，则CH⋅②若AB=AC，则CH⋅③若OB=OC，则BH⋅其中所有正确结论的序号是(

)A.③ B.①③ C.①② D.①②③二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.顶点在原点，关于y轴对称，且过点2,1的抛物线的标准方程是

．12.已知直线l：y=kx−1与圆C：x−22+y2=1交于A,B两点；能使∠ACB13.已知函数fx=cosπx+π3.若对任意实数x都有f14.《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的数学典籍，书中记载了大数与大数进制，其中十个大数分别记为亿、兆，京、垓、秭、穰、沟、涧、正、载，大数进制中的“上数”进制为重进制(自乘)：“万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也”，即1亿=1万×1万=108,1兆=1亿×1亿=1016,1京=1兆×1兆=1032，以此类推．若按“上数”进制，记第n个大数(第1个为亿，第2个为兆，第3个为京，……，第10个为载)对应的数值为an，则lga15.已知函数fx=①曲线y=hx②当x∈0,1时，曲线y=fx在曲线③当x∈R时，gx+2④设正实数x1,x2,其中正确结论的序号是

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，bcosC=−2，c(1)求b的值；(2)已知▵ABC的面积为815，求▵ABC17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，且DE⊥平面ABCD,BF//DE．(1)求证：AC⊥EF；(2)若AD=2,DE=1，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体ABCDEF唯一确定，求平面ABF与平面AEF夹角的余弦值．条件①：FA=FC；条件②：直线AF与平面ABCD所成角为π3条件③：▵AFC的面积为2注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18.2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表：过敏程度无过敏轻度过敏中度过敏重度过敏极重度过敏城区a22018015050郊区500120807030用频率估计概率．(1)从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率；(2)从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率；(3)该市疾控中心规定过敏程度评分如下表：过敏程度无过敏轻度过敏中度过敏重度过敏极重度过敏过敏程度评分01234该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，A地区青少年的过敏程度平均评分为1.2，B地区青少年的过敏程度平均评分为0.6.疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了p%,B地区青少年的过敏程度平均评分不变．记μ为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后μ≤0.92(该市青少年的过敏程度平均评分)，直接写出p的最小正整数值．(结论不要求证明)19.已知椭圆E：x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)设O为原点，点Ax1,y1,Bx2,y2分别为椭圆E上位于第一象限，第二象限内的点，且20.已知函数fx=x−(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f(2)当a=e−1e时，求满足fx(3)当a≤2时，判断曲线y=fx上是否存在两个不同的点关于点1,0对称，并说明理由．21.已知无穷数列an的各项均为正整数，无穷数列bn①b②(1)若a1=2,a(2)证明：b5(3)是否存在大于1的正整数n，使得bn<1成立？说明理由．参考答案1.A

2.B

3.C

4.C

5.A

6.A

7.D

8.B

9.D

10.B

11.x212.2

13.1

14.128

；

；

；

；

；；7

15.①②④

16.解：(1)bcosC=−2，两式相除得bcosCc即cosCsinC=−1515又sin2C+cobcosC=−2，故(2)▵ABC的面积为815，即又csinB=2由(1)知cosC=−由余弦定理得c2解得c=4故▵ABC的周长为a+b+c=8+8+4

17.解：(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DE⊥AC．因为BF//DE，所以B,F,D,E共面．又BD∩DE=D，BD,DE⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF因为EF⊂平面BDEF，所以AC⊥EF．(2)四边形ABCD为正方形，且DE⊥平面ABCD,所以易得DA,DC,DE两两垂直．选条件①以D为原点，分别以DA,DC,由AD=2,DE=1得：A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1)，由EF//BD，设F2,2,t由FA=FC，得0此时多面体并不唯一确定，因此条件①无效．选条件②以D为原点，分别以DA,DC,由AD=2,DE=1得：A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1)，由DE//BF，设F2,2,tt>0直线AF与平面ABCD所成角为π3，易得平面ABCD的一法向量为n故sinπ3=cos⟨设平面ABF的法向量n1=(x1,由法向量定义得方程组：AB⋅n1解得y1=0,z1=0求平面AEF的法向量n2向量AE=(−2,0,1)，AF由法向量定义得方程组：AE⋅n2令x2=1，则z2=2，设平面夹角为θ，则cosθ=平面ABF与平面AEF夹角的余弦值为选条件③以D为原点，分别以DA,DC,由AD=2,DE=1得：A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),E(0,0,1)，由DE//BF，设F2,2,t所以AC=(−2,2,0),cosθ=ACS解得t=23设平面ABF的法向量n1=(x1,由法向量定义得方程组：AB⋅n1解得y1=0,z1=0求平面AEF的法向量n2向量AE=(−2,0,1)，AF由法向量定义得方程组：AE⋅n2令x2=1，则z2=2，设平面夹角为θ，则cosθ=平面ABF与平面AEF夹角的余弦值为

18.解：(1)由题意得a+220+180+150+50+500+120+80+70+30=2000，解得a=600，从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为600+5002000(2)频率估计概率，该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为600600+220+180+150+50该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为500500+120+80+70+30各随机抽取2人，抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为C2抽到的郊区青少年中恰有1人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为C2估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为9128(3)p的最小正整数值为6，理由如下：由题意得μ=3解得p≥50p的最小正整数值为6．

19.解：(1)由题意得：2a+2b=62c=23a2=b2+(2)设点Mx,y，由向量关系OM=12OA+要证点M在椭圆上，只需证x24因为点A,B在椭圆上，故x1同理x22+4接下来证明x1

由题x1=2y2⇒y2=又点A满足x12+4y12=4，故x22故x2=−2y1，将x因此x24+y2

20.解：(1)当a=1时，fx=x−1所以f′1=1+1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−0=1x−1(2)若a=e−1e，由fx令y=x2−ax+1，Δ=记两正根为x1,x当x∈0,x1，f′x>0当x∈x1,x2，f′当x∈x2,+∞，f′x>0所以函数fx=0至多三个零点，又f1=1−1所以函数fx=0有三个零点，所以fx所以满足fx>0的x的取值范围为(3)曲线y=fx上不存在两个不同的点关于点1,0设曲线y=fx上是否存在两个不同的点关于点1,0即x3,y3,所以x3所以x3−1所以2−1x3令t=x32−x3即2−2t−a令ht=2−2因为t<1,a≤2，所以at<2，所以h′t>0，所以ht所以ht<h1=2−2故曲线y=fx上不存在两个不同的点关于点1,0

21.解：(1)bb4=因为b5=a(2)已知{an}根据a1的取值分类讨论：(1)若a1=1当a2=1：若a3=1则若a3>1则当a2>1：若a3