高三物理专项讲解：功与能（原卷版）

2020年强基计划物理专题讲解（核心素养提升）

第6讲功与能

知识精讲

L功的概念

力和力的方向上位移的乘积称为功。即W=

式中。是力矢量F与位移矢量S之间的夹角。功是标量，有正、负。外力对物体的总功或合外力对物

体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。

对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即

W=Z7;AS7COS6¥

也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图所示。

由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一

对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相

对位移是与参照系无关的。

值得注意的是，功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法：

（1）微元法：（2）图象法；（3）等效法。

2.几种力的功

下面先介绍一下“保守力”与“耗散力，

具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有

这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。

（1）重力的功

重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度九处将重力为mg的物移到高九处。重力做

功为：W,二〃火（色-4）,显然与运动路径无关。

（2）弹簧弹力的功

物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置再运动至位置

X2,如图（a）所示，其弹力变化F=F（x）如图"）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”

表示，功大小为

-k%+(lx2)121.

卬=------------^2-xi)=-kx]--kx.

(3)万有引力的功

质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离外运动至相对距离々的过程中，引力所做功

为

厂”/11、GMmGMm

W=-GM，n（-----）=-------------

f\r2r2l\

3.功率

W

作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为「二不

求瞬时功率，取时间47°则为

AW..AAvcos，

P=Iim==hm-------------F-vcos6?

AffO△tA/-H)&

式中V为某时刻的瞬时速度，0为此刻v与F方向的夹角

4.动能动能定理

质点动能定理

质量〃?的质点以速度v运动时，它所具有动能&为:

E..=—niv2

k2

动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是:

W外==EKi-EK2

上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。

质点系动能定理

若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内

其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯

性系，对其中第i个质点用质点动能定理

叫外+叱内=ge匕22一3町当

对所有n个质点的动能定理求和就有

2叱外+Z%内=2：叫匕:一工：叫匕;

若用W外、W内、EK2.£灯分别表示Zw,外、EW内、S-/n.vz2、2Ml

则上式可写成W外+W『Ea-EQ

由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。

和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照

系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十

分有效。

5.势能

势能：

若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相充位置发生改变时，不管途径如何，只要相对

位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定

的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即

Ww=-A£po

（1）势能的相对性。

通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态

卜.系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。

（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。

（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。

常见的几种势能：

（1）重力势能

在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为

Ep=mgh

（2）弹簧的弹性势能

取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx,弹力做的功为

W=--kx2

2

由前面保守力所做功与势能变化关系可知

W=-\EP=-(Ep-0)Ep=jkf

（3）引力势能

两个质点M、m相距无穷远处，规定Epo=0,设m从无穷远处移近M,引力做功W,由于F.产Y，

r

大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图，取质点n由A到B,位移为△厂二八一々，引力做功

△丫很小，%、右差异很小，则

....GMm.、GMm.、GMmGMm

△w=^^（q一心）二^-（厂八一七）=-------------

由无穷远至距r处，引力功W为

-4)=GM//Z(-——-)

W==GMr以

开始时殉—8，最后相对距离为琮=r

GMm

又有W=-AE=-（E-E^E=---------

PPrPr7•

质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为

Ep二一丝‘之RR为球半径

r

质量M,半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m,引力均不做功,

引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为

r>R

r<R

6.功能原理和机械能守恒定律

功能原理：

根据质点系动能定理

当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为

而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即

W保=EP\-EP2

于是得到

W外+W非保+昂1_Epz=EK2—EK}

W外+W非保=(EKZ+Epz)-(EKI+Epx)

用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到

W外+%保=占一月

外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到(外

力做正功使物体系机械能增加，币内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少)。

机械能守恒定律：

若外力的与非保守内力的功之和为零时，卬外+W『保=°则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。

注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守

内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。

典型例题

题型一机车启动问题

例I.(“华约”自主招生)(1)质量为1t的汽车在10s内由静止加速到60km/h,若不计空气阻力，发动机的平

均输出功率约多少？

500

375

250

125

O150630i)04i00i

lr,/(ni,s1)

(2)汽车速度较大时，空气阻力不能忽略，将汽车模型简化为横截面积约I的长方体，并以此模型估算汽

车以60km/h行驶时因克服空气阻力所增加的功率。(空气密度p=1.3kg/m3)

⑶数据表明，上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外，汽车行驶所受的其他阻力

与速度无关，估算其他阻力的大小。

变式1.电动机带动电梯上下时要加一配重，其装置如图所示。A、4是两个定滑轮，C是动滑轮，不计滑轮

摩擦和重量，配重的质量m-I000kg,电梯载人后的总质量M—3000kg。设电梯向上为正方向，取10m/s2o

求:

藕

M

电动机

.....二.一

^777777777777777777)

（1）电梯向上匀速运动,速度为口=3m/s,电动机的输出功率。

（2）电梯向上运动，加速度为。=—0.5mH,速度为＞，2=3m/s时电动机的输出功率。

题型二动能定理的理解与应用

例2.（清华大学自主招生）在光滑的水平桌面上有两个质最均为由的小球，由长度为2/的拉紧细线相连。以

一恒力作用于细线中点，恒力的大小为尸，方向平行于桌面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。在两

球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为（）

变式2.（“北约”日主招生）如图所示，与水平地面夹角为锐角的斜面底端A向上有三个等间距点8、C和。,

即A8=8C=CO。小滑块户以初速物从4出发，沿斜面向上运动。先设置斜面与滑块间处处无摩擦，则滑

块到达。位置刚好停下，而后下滑。若设置斜面部分与滑块间有处处相同的摩擦，其余部位与滑块间仍

无摩擦，则滑块上行到C位置刚好停下，而后下滑。滑块下滑到8位置时速度大小为,同到A端

时速度大小为0

题型三动能定理在多过程中的应用

例3.（2016年全国一卷）如图，一经弹簧原长为2R,其一端固定在倾角为37。的固定直轨道AC的底端4处，

另一端位于直轨道上8处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为2/?的光滑圆弧轨道相切于。点,AC=7R,

6

A、B、C、。均在同一竖直面内。质量为，〃的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出）,

随后P沿轨道被弹回，最高点到达/点，A尸=4/?,已知P与直轨道间的动摩擦因数〃二,，重力加速度大小

4

为g。(取sin370=0.6,cos37°=0.8)

D.

（1）求P第一次运动到8点时速度的大小。

（2）求产运动到E点时弹簧的弹性势能。

（3）改变物块。的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点。处水平飞出后,

7

恰好通过G点。G点在C点左下方，与C点水平相距一R、竖直相距七求P运动到。点时速度的大小和

2

改变后P的质量。

变式3.如图所示，水平传送带小4两轮间的距离L=40m,离地面的高度〃=3.2m,传送带以恒定的速率

vo=2m/s向右匀速运动.两个完全一样的小滑块P、Q中间夹有一根轻质弹簧（弹簧与P、Q不拴接），用一轻

绳把两滑块拉至最近（弹簧始终处于弹性限度内），使弹簧处于最大压缩状态.现将P、。轻放在传送带的最左

端，A。一起从静止开始运动，”=4s时轻绳突然断开，很短时间内弹簧伸长至本身的自然长度（不考虑弹

簧的长度的影响），此时滑块P速度反向，滑块Q的速度大小刚好是P的速度大小的两倍.一知小滑块的质量

均为〃?=0.2kg,小滑块与传送带之间的动摩擦因数"=0.1,重力加速度g=10m/s2.求：

PQ

即0T

77777777777777777777777777777777777777^r

⑴弹簧处于最大压缩状态时的弹性势能；

（2）两滑块落地的时间差；

（3）两滑块在传送带上运动的全过程中由于摩擦产生的热量.

题型四机械能守恒定律的应用

例4.（“北约”自主招生汝I图，一个质量为2〃?的球和一个质量为，〃的球，用长度为2r的轻杆连在一起，两

个球都限制在半径为r的光滑圆形竖直轨道上，轨道固定于地面。初始时刻，轻杆竖直，且质量为2加的球

在上方：此时，受扰动两球开始运动，当质量为2〃?的球运动到轨道最低点时，速度为。轨道对两

球组成的系统的力为。

2m

变式4.(29届预赛)如图所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的柔软、不可伸长的轻绳，两端各系一个质

量相等的小球A和B,球A刚好接触地面，球B被拉到与细杆同样高度的水平位置，当球B到细杆的距离

为L时，绳刚好拉直.在绳被拉直时释放球B,使球B从静止开始向下摆动.求球A刚要离开地面时球B

与其初始位置的高度差.

题型五系统机械能守恒的应用

1.速率相等的连接体模型

如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间

内A、8运动的路程相等，则A、B的速率相等。

判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能

相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。

2.角速度相等的连接体模型

如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、8在竖直平面内绕。点的轴转动，在转动的过程中相等时间内

A、4转过的角度相等，则4、3转动的角速度相等。

系统机械能守恒的特点

(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。

(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。

3.分速度大小相等的连接体模型

如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、4运动的过程中，A、4的速度并非均沿绳子方向，在相等时间

内A、8运动的路程不相等，则4、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。

列系统机械能守恒的两种思路

（1）系统动能的减少（增加）等于重力势能的增加（减少）。

（2）一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。

例5.（浙江大学自主招生）如图所示，一根长为/的细刚性轻杆的两端分别连结小球〃利b,它们的质量分别为

如和〃加杆可绕距。球为彳处的水平定轴。在竖直平面内转动。初始时杆处于竖直位置。小球〃几乎接触桌

面。在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为〃?的立方体匀质物块，图中ABC。为过立方体中心

且与细杆共面的截面。现用一水平恒力厂作用于“球上，使之绕。轴逆时针转动，求当。转过。角时小球〃

速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球〃与立方体物块始终接触没有分离。不计一切

摩擦。

变式5.（清华大学自招）如图所示，一个半径为R的半球形碗固定在桌面上，碗口水平，。点为其圆心，碗

的内表面及碗口是光滑的。一根足够长的轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球4可视为质点）和B,

当它们处于•平衡状态时，小球人与0点的连线与水平线的夹角为60%求：

⑴小球A与小球3的质量比:〃?8。

⑵现将A球质量改为2〃?，8球质量改为机，且开始时A球位于碗口右端的C点，由静止沿碗下滑。当A球

滑到碗底时，两球总的重力势能改变量的大小。

（3）在（2）的条件下，当4球滑到碗底时，8