北京市通州区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷（原卷版）

通州区2025——2026学年第一学期九年级期末质量检测

数学试卷2026年1月

考生须知

1.本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟.

2.请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项

只•有•一•个•.

1.已知。。的半径为4cm，点尸到圆心。的距离为3cm,则点P（）

A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.在圆。上或圆。外

2.如图，4,优。,。是。。上的四点，若“=70。，则-4的度数为（）.

A.100°B.110°C.70°D.109°

3.如图，在VA3C中，ZABC=90°,若AC=5,BC=4,则tanA的值为（）

4.如图，是河堤横断面的迎水坡，堤高BC=10m,坡比是1:6,则坡面4B的长度为（）

B

1073

A.----mB.1073mC.20mD.20鬲

3

N6都是锐角，且sinA=巫,

5.在VABC中,ZA,cosB=—,则VABC的形状是（）

22

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

3

6.己知反比例函数），=三，下列判断正确的是（）

x

A.函数图象分布在第二、四象限B.图象经过点（-1,3）

C.若x>l,则），>3D.在各自象限内，y的值随x的增大而减小

7.如图，点是圆形舞台上的一点，舞台的圆心为0,在“点安装的一台某种型号的灯光装置，其照亮

的区域如图中阴影所示,该装置可以绕着P点转动,转动过程中，边界的两条光线分别与圆交于A，"两

点，并且夹角保持不变,该装置转动的过程中，以下结论正确的是（）

A.点尸到弦A3所在直线的距离存在最大值B.弦八5的大小改变

C.弦Q4与的长度之和不变D.图中阴影部分的面积不变

8.如图，在“探索二次函数），+/U-+C（4H0）的系数〃，b,C对函数图象的影响”活动中，老师

给出了坐标系中的四个点：A（0,1）,8（2,1）,C（4,l）,£）（3,2）.同学们分别画出了经过这四个点中的三

个点的若干个二次函数图象，当。+力+。取得最大值时，图象经过这四个点中的（）

\D

-------r-------r-----4-------1

A—4--tc

A.43cB.ABDC.ACOD.BCD

二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）

9.抛物线y=3/一2的顶点坐标是.

10.如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB〃CD〃EF,AC=5cm,CE=3cm,BD=4cm,

11.如图，E是OABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F,图中对相似三角形.

4

12.如图，己知点P为反比例函数），二一图象上的一点，过点P作横轴的垂线，垂足为M,则・。尸例

X

的面积为.

13.中国高铁匕速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线

（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为过点A，0的两条切线相交于点C,列

车在从A到3行驶的过程中转角。为60。.若圆曲线的半径QA=1.5km,则这段同曲线AB的长为

km.

14.如图，抛物线），=&「与直线）,二法+（.的两个交点坐标分别为人（一2,4）,3（1,1）,则关于x的方程

ax2-bx-c=0的解为.

如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则tan。的值为

n-/z7

16.如图，以N（0,3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A,8两点，与），轴正半轴交于点C,点M为eN

上一动点，连接AM,过点C作C"垂直直线AM于点儿连接NH,则弦A8的长度为，点M

在运动过程中，线段N”的长度的最大值为

三、解答题(本题共68分，第17题4分；第18—21题每题5分；第22—26题每题6分;

第27、28题每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算:cos600+sin2450-3tan300.

2

18.如图，在中，ZC=90°,AC=2,cosA=-.

3

(2)求sinA的值.

19.下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程.

已知：。0及圆上一点A.

求作：直线43,使得为。。的切线，A为切点.

①连接。4并延长到点C；

②分别以点A,c为圆心，大于」AC长为半径作弧，两弧交于点。（点。在直线。4上方）：

2

③以点。为圆心，长为半径作。。；

④连接。。并延长，交。。于点作直线A3.

直线A3就是所求作的直线.

根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明.（说明：括号里填推理的依据）

证明：连接/W）.

•・•①=AD

，点。在。。上，

・・・C3是。的直径.

，②=90。.（③）

:。4是。O的半径，

是O。的切线.（⑤）

4

20.如图，中，NC=90。，点。在AC上，/DBC=ZA.若AC=4,cosA=二，求8。的

L

在平面直角坐标系式的中，了数），=一亿¥0）的图象经过点。（2,3）.

X

4

3

2

（1）求该函数的表达式；

（2）当x>2时，对于X的每一个值，函数y=K（ZwO）的值都小于y=mr（〃2#0）的值，直接写出〃?

的取值范围.

22.下表是二次函数y=ax2^bx+c（a*0）图象上部分点的自变量式和函数值）.

（1）观察表格，机=：

（2）求此二次函数的表达式，并画出该函数的图象；

（3）该二次函数的图象与直线）=”有两个交点A,B,若A5V6,直接写出〃的取值范围.

23.港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的跨海桥隧工程，全长55千米，2018年通车，以''三地三检”模

式助力粤港澳大湾区互联互通，创下多项世界之最.港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九

洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在8处

看塔顶A，仰角为60°,在距8处160米的。处看塔顶A,仰角为30°,求该主塔的高度.

24.如图，点尸在平行四边形A3CD的对角线AC上，EF//AB,BE//AC,连结竹，使得8E平分

"E，

（1）求证：四边形A6石厂菱形;

(2)若〃石=5,八。=9,sinZCBE=-,求AC的长.

3

25.如图，为00的直径，点C在OO上，连接AC,8C,过点。作ODJ.BC于点D,过点C作

~)0的切线交0。的延长线于点E.

(1)求证：ZE=ZB：

⑵连接若比、=8,tanE=j求AO的长.

26.平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=d-2mx+1与)，轴的交点为P,过点。作直线/垂直于

V轴.

5

4

3

2

1

-5~4-3-2-10123453

-1

-2

-3

-4

-5

(1)求抛物线的顶点坐标(用含机的式子表示);

(2)若点(〃2-1,)[),(〃?,%)，(相+3,)，3)都在抛物线〉=12-2〃氏+根2一|上，则y,乃，乃的大小关系

为(用“v”连接)

(3)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线/翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点

M(X，X)，NQq,%)为图形G上任意两点.

①当6=0时，画出图形G,并结合图形判断，当王〈七时，X与月的大小关系；

②若对于％=相-2,%二〃?+2,都有直接写出机的取值范围.

27•如图，VA8C中，AO_L8C于点Z）,点8关于直线AC对称点为点P,连结CP,Q为线段CP

上一点（不与点夕重合），且满足Z4QP=N4BC.

（1）用等式表示线段BO,QQ数量关系，并证明;