七年级下册数学【整式的乘除-十大题型】（含答案）

目录

【题型1由整式乘除法求代数式的值】..................................................2

【题型2由整式乘除法求字母的值】....................................................2

【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】...........................................3

【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】...................4

【题型5利用整式乘除法解决污染问题】................................................4

【题型6利用整式乘除法解决误看问题】................................................5

【题型7整式乘除法的应用】..........................................................6

【题型8整式乘除法中的规律问题】....................................................8

【题型9整式乘除法中的新定义问题】..................................................9

【题型10整式乘除法中的几何图形问题］...............................................11

1.单项式与单项式相乘

法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏.

（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用.

（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式.

【注意】

（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值.

（2）相同字母相乘，是同底数暴的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算.

2.单项式与多项式相乘

法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

用式子表示：〃7（〃+b+c）（〃7,a,b,c都是单项式）.

【注意】

（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检

验在运算中是否漏乘某些项.

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果.

3.多项式与多项式相乘

（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加.

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（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行.例如（〃?+〃）Ca+b+c）,可先用第一个多项

式中的每一项与第二个多项式相乘，得"？（a+b+c）与〃（叶力+c）,再用单项式乘多项式的法则展

开，即（in+n）（o+b+c）=m（a+b+c）+〃（o+b+c）=ma+nib+mc^-na+nb+nc.

【注意】

（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏.

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之

积.

4.单项式除以单项式

法则；一般地，单项式相除，把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有

的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数事的除法运算，运算结果仍是单项

式.

【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数暴相除；（3）只在被除式里出现的字

母，连同它的指数作为商的一个因式.

【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性.

5.多项式除以单项式

法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相

加.

【注意】

（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括

它前面的符号.

（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项.

（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验.

【题型1由整式乘除法求代数式的值】

【例1】已知层+。一1=0,则代数式（。+2）（。-2）+。3+2）值为.

【变式1-1］若Q-b=3,ab=-4t则（a-2）（b+2）值为.

【变式1-2】如果（5-a）（6+a）=12,那么一2a2-2a+8的值为.

【变式1・3】已知％2-3x-1=0,则代数式炉-10%+2019值为.

【题型2由整式乘除法求字母的值】

【例2】已知（1+。）（木+人）=/+〃?户12,〃?、a、b都是整数,那么，〃的可能值的个数为（）

A.4B.5C.6D.8

【变式2-1］若（％+1）（%-3）=x2+mx-3,则m值是.

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【变式2・2】不论x为何值，(%+2)(x+a)=/+Q%+2%+2Q=%2+®+2)%+2a,(%+2)(%+

a)=%2+依+6,则％=.

【变式2-3］关于％的整式4=2x+l,它的各项系数之和为：2+1=3(常数项系数为常数项本

身).已知B是关于x的整式，最高次项次数为2,系数为1.若8・。+3)=&。是一个只含两项的

多项式，则8各项系数之和的最大值为.

【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】

【例3】已知多项式M=%2—3a%+6,N=x+3,且MN=4,当多项式4中不含x的2次项时,

a的值为()

A.-1B.C.0D.1

【变式3・1］已知关于x的多项式以一匕与3/+%+2的乘积的展开式中不含工的二次项，且一次

项系数为一5,则a的值为()

A.VB.1C,-3D.3

【变式3・2】小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：(d+3x-2)(x-Q).

(1)小万在做题时不小心将％-a中的x写成了％2,结果展开后的式子中不含x的二次项，求。的值;

(2)小鹿在做题时将3%-2中的一个数字看错成了4,结果展开后的式子中不含了的一次项，

则女的值可能是多少？

【变式3-3］已知(工2+〃?工+1)(工2-2x+〃)的展开式中不含工2和/项.

(1)分别求〃?、〃的值；

(2)化简求值：(/w+2/7+1)(m+2n-1)+(2nrn-4mn2+m3)+(-m)

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【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】

【例4】知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax—y+6+3x—5y—1

的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把小y看作字母，Q看作系数合并同类项，

因为代数式的值与％的取值无关，所以含x项的系数为0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以Q+3=0,

则Q=-3.

理解应用：

(1)若关于％的多项式2m2-3%-m(3-5幻的俏与工的取俏无关，求m俏：

2

(2)已知4=(2%+1)(3%—1)一武5+3口),B=2x-3xy+49且24-6B的值与％的取值无关,

求y的值.

32

【变式4-1］己知4=%2+3%—Q,B=—%,C=%+3%4-5,若/•B+C的值与x的取值无关,

当久二一4时，A的值为()

A.0B.4C.-4D.2

【变式4-2］若代数式(2k+2)(3、+m)-2x(3x+6)的值与x的取值无关，则常数m=.

【变式4-3］若代数式x(5/cx-3zy)-(k-3)(3%2y-4%2)的值与y无关，则常数k的值为()

A.2B.-2C.-4D.4

【题型5利用整式乘除法解决污染问题】

【例5】小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：(24%4y3—■+6%2y2)+(_6%2y)=—

4/y2+3xy—y,你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是()

A.-18x3y2B.18x3y2C.-2x3y2D.1x3y2

【变式5-1］右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式被墨水污染看不清了.

(1)求被墨水污染的代数式；

(2)若被污染的代数式的值不小于4,求x的取值范围.

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【变式5・2】小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这

道习题，只看见了被除式中第一项是-8%3y3及中间的，，+，，，污染后习题形式如下：

（-8炉y3吕吕）.吕吕，小明翻看了书后的答案是，，以2y2—3孙+6婷，你能够复原这个算

式吗。请你试一试.

【变式5・3】小红准备完成题目：计算（x・^x+2）（/-X）.她发现第一个因式的一次项系数

被墨水遮挡住了.

（1）她把被遮住的一次项系数猜成3,请你完成计算：（f+3/2）（/r）；

（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的.”请通过计算说明原题中被遮住

的一次项系数是多少？

【题型6利用整式乘除法解决误看问题】

【例6】某同学在计算一个多项式乘4d时，因抄错运算符号，算成了加上4，，得到的结果是3d+

2x-l,那么正确的计算结果是（）

A.-4x44-8x3-4x2B.4x4+8x3-4x2

C.-4x4+%3—4x2D.4x4-8x3—4r2

【变式6-1】小颖在计算一个整式乘以3ac时，误看成了减去3QC,得至I」的答案是-3QC-'ab,

该题正确的计算结果应是多少？

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【变式6-2］己知4、B均为整式,4=(%y+l)(xy-2)-2x2/+2,小马在计算4+8时，误把“土”

抄成了“―”，这样他计算的正确结果为—X2y2.

(1)将整式4化为最简形式.

(2)求整式B.

【变式6・3】甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b),由于甲抄错为(2%-Q)(3%+b),

得到的结果为6%2+11%一10；而乙抄错为(2%+a)(x+b)，得到的结果为2%2一9%+10.

⑴你能否知道式子中的。，6的值各是多少？

(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案.

【题型7整式乘除法的应用】

【例7】有总长为/的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为

J网>1-1

11口」1

图1图2

(1)如图1,①园子的面积为(用关于/,。的代数式表示).

②当1=100,a=30时，求园子的面积.

⑵如图2,若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一(填增大或

减小)，并求此时园子的面积(写出解题过程，最终结果用关于/,。的代数式表示).

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【变式7・11某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄

瓜、白黄瓜和青黄瓜.已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的T，如果

在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4,则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄

瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3,则白黄

瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为.

【变式7-21一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把外室铺上地板，卧室以外的部分都铺上

地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为〃元/平方米，地板的价格(a-10)元/

平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？

.一川2。,J

一

~-卧室

X厨房

---------------------------------------4x

2-V客厅

J'一

<---------------------------------->

4y

【变式7-3】某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个

长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：%、2〃、方，小长方体的长、宽、高分别为：2人

。、次配件②是一个正方体，其棱长为。

(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料(不计损耗)？

(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则

1000/体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？

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【题型8整式乘除法中的规律问题】

【例8】观察：下列等式(x—1)(%4-1)=%2-1,(%-1)(%2+%+1)=x3—1,(%—l)(x3+%2+%+

1)=X4—1…据此规律，当(％-l)(x6++%3+%2+X+1)=0时，代数式%2024_?的值

为•

【变式8-1】在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某月份的日历，我们任

意用一个2x2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数,

你发现了什么规律？

(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为.

(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证

明；如果没有，请说明理由.

【变式8-2】“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究.

小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧.

例如：

24x26=100x(2x3)+4x6,结果为624；

42x48=100x(4x5)+2x8,结果为2016；

小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧.

例如：

45x65=100x(4x64-5)+25,结果为2925；

35x75=100x(3x74-5)+25,结果为2625；

(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算63x67的速算过程；

(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；

(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘.请你直接

用含有字母的等式表示该规律.

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友情遑示：如果两个正整数和为10,则称这两个数互补.

【变式8・3】下图揭示了(a+b)n(〃为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律.请观察

并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过514天是星期.

11

.......(a+b)1=a+b

.......(a+b)2-=a2+2ab+b2

.......(a+b)3=a3+3a2b+3a*+/

.......(a4-匕F=

【题型9整式乘除法中的新定义问题】

【例9】【问题背景】现定义一种新运算“。”对任意有理数〃?，〃，规定：mOn=mn(m-n).

例如：1O2=1x2x(1-2)=-2.

【问题推广】(1)先化简，再求值：(a+h)O(a-b),其中a=g,b=-l；

【拓展提升】(2)若dy。(%Oy)=%Pyq-%4yP,求p,q的值.

【变式9-1］定义,；=ad-be,如J；；=lx4-2x3=-2.

已知，=I；工;2讣B=C(九为常数)

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(1)若B=4,求％的值；

(2)若4中的n满足2x2「+i=22时，且4=8+2,求8炉-4尤+3的值.

【变式9・2】定义：如果一个数的平方等于-1,记为"=-1,这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi

伍、右为实数)的数叫做复数，其中。叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、

乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：(2-i)+(5+3i)=(2+5)+(-1+3)i=7+2i；

(1+i)x(2—i)=1x2+1x(—i)+2xi+ix(—t)=2+(-1+2)i—=2+i—(—1)=3+i

根据以上信息，完成下列问题：

(1)计算：落i4；

(2)计算:(1+0X(3-4i)；

(3)计算：t+[2+产+产+卢+…+f2023

【变式9・3】定义：L(A)是多项式力化简后的项数，例如多项式4=/+2%-3,则L(A)=3,一个

多项式力乘多项式B化简得到多项式。(即C=4xB),如果LG4)WL(C)WLQ4)+1.则称8是

A的“郡园多项式”如果LQ!)=L(C),则称8是4的“郡园志勤多项式”.

(1)若A=x-2,8=x+3,则。是不是力的“郡园多项式”？请判断并说明理由；

(2)若4=2,8=/+。工+4是关于x的多项式，且4是力的“郡园志勤多项式"，则a=；

(3)若A=d一%+3m,B=/+%+7n是关于x的多项式，且4是4的“郡园志勤多项式”，求

m的值.

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【题型10整式乘除法中的几何图形问题】

【例10］现定义了一种新运算“软'，对于任意有理数a,b,C,d,规定(Q,b)③(C,d)=Qd—bc,

等号右边是通常的减法和乘法运算.例如：(1,3)⑤(2,4)=1x4-2x3=-2.

(1)填空：(-2,3)区)(4,5)=；

(2)若(2》2+l,nx-1)0(5,x-2)的代数式中不含x的一次项时，求n的值；

(3)求(3%+1,%-2)区)(％+2,%-3)的值，其中d-4x4-1=0：

(4)如图1,小长方形长为〃，宽为b,用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方

形ABCD内，其中4B=5,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设左下角长方形的

面积为Si，右上角长方形的面积为S2.当251-3$2=20,求(2a+瓦-6b)名)(8-3,3。-68)的

值.

【变式10-1】小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的

一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示：

@汽斗

(1)用含a,b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积.

(2)当。2+4扶=592,ab=48时,求阴影部分面积.

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【变式10・2】如图,长为y(cm),宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影4B外其余5块

是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm.

(1)小长方形的较长边为cm(用代数式表示)；

(2)阴影片的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为(2%-y+4)cm,是的(填正确/错

误)；阴影4和阴影8的周长值之和与x(填有关/无关)，与y(填有关/无关);

(3)设阴影力和阴影8的面积之知为Scm2,是否存在》使得S为定值，若存在请求出工的值和该定值,

若不存在请说明理由.

【变式10-3］如图所示，有4张宽为Q,长为6的小长方形纸片，不重叠的放在矩形ABCD内，未被

(1)用含a、8的代数式表示：AD=；AB=

(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；

⑶当时,求区域①、区域②的面积的差.

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整式的乘除-十大题型（解析版）

目录

【题型1由整式乘除法求代数式的值】.................................................14

【题型2由整式乘除法求字母的值】...................................................16

【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】...........................................18

【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】...................21

【题型5利用整式乘除法解决污染问题】...............................................23

【题型6利用整式乘除法解决误看问题】...............................................25

【题型7整式乘除法的应用】.........................................................27

【题型8整式乘除法中的规律问题】...................................................30

【题型9整式乘除法中的新定义问题】.................................................34

【题型10整式乘除法中的几何图形问题］...............................................38

1.单项式与单项式相乘

法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏.

（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用.

（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式.

【注意】

（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值.

（2）相同字母相乘，是同底数暴的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算.

2.单项式与多项式相乘

法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

用式子表示：〃7（〃+b+c）（〃7,a,b,c都是单项式）.

【注意】

（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检

验在运算中是否漏乘某些项.

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.

（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果.

3.多项式与多项式相乘

（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加.

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整式的乘除•十大题型（解析版）

（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行.例如（〃?+〃）Ca+b+c）,可先用第一个多项

式中的每一项与第二个多项式相乘，得"？（a+b+c）与〃（叶力+c）,再用单项式乘多项式的法则展

开，即（in+n）（o+b+c）=m（a+b+c）+〃（o+b+c）=ma+nib+mc^-na+nb+nc.

【注意】

（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏.

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之

积.

4.单项式除以单项式

法则；一般地，单项式相除，把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有

的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数事的除法运算，运算结果仍是单项

式.

【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数暴相除；（3）只在被除式里出现的字

母，连同它的指数作为商的一个因式.

【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性.

5.多项式除以单项式

法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相

加.

【注意】

（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括

它前面的符号.

（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项.

（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验.

【题型1由整式乘除法求代数式的值】

【例1】已知层+。一1=0,则代数式（。+2）（。-2）+。3+2）值为.

【答案】-2

【分析】由己知得小+。=1,然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可.

【详解】解：・・・/+。—1=0,

/.a2+a=1,

（a+2）（a—2）4-a（a+2）=a2-4+a2+2a=2（a24-a）-4=2x1—4=-2,

故答案为：一2.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

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整式的乘除•十大题型(解析版)

【变式1・1］若Q—b=3,Qb=—4,则(Q—2)(/)+2)值为.

【答案】-2

【分析】本题主要考查代数式的埔及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此

题先把所求整式进行展开，然后再代值求解即可.

【详解】解：一b=3,ab=—4,

:.(a-2)(/?+2)

=ab+2(Q—b)—4

=-4+6—4

=-2；

故答案为：一2.

【变式1-2】如果(5-Q)(6+a)=12,那么一2Q2-2Q+8的值为.

【答案】-28

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求

出—a2-—a=-18,再根据一2次—2a4-8=2(—a2—a)4-8进行求解即可.

【详解】解：・・・(5—a)(6+a)=12,

:•30—6Q+5Q-/=12,

:・-Q2—CL=—18,

A-2a2-2a+8=2(-a2-a)+8=-18x2+8=-28,

故答案为：一28.

【变式1・3】已知％2一3%-1=0,则代数式%3一I。％+2019值为.

【答案】2022

【分析】由x2-3x7=0,变形X2=3X+1,利用此等式进行降次，化简整体代入计算即可.

【详解】由X2-3X-1=0,变形X2=3X+1,X2-3X=L

x3-10x+2019,

=x(3x+l)-10x+2019,

=3x2-9x+2019,

=3(x2-3x)+2019,

=3+2019,

=2022.

故答案为：2022.

【点睛】本题考查代数式的值，关键是把条件等式变形会降次，会整体代入求值.

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整式的乘除-十大题型(解析版)

【题型2由整式乘除法求字母的值】

【例2】已知(田辿乂升人尸,十加什⑵m、a、1都是整数,那么m的可能值的个数为()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得。+6=〃7,疝=12,再进行分类讨论，从而解决此题.

【详解】解：(x+a)(x-^b)=x2+bx-^ax+ab=x2^-(a+b)x+ah.

*.*(x-^a)(x+h)=x2+mx+12,

/.a+b=m,ab=\2.

,；〃7、q、b都是整数，

・••当a=l时，贝ij6=12,此时加=a+6=l+12=13；

当a=-\时，贝i]b=-12,此时ni=a+b=-1-12=-l3；

当a=2时，则6=6,此时〃?=〃+b=2+6=8：

当a=-2时，则b=-6,此时m=4+力=-2-6=-8；

当a=3时，则力=4,此时m=a+b=3+4=7；

当a=-3时，则b=-4,此时〃?=a+Z?=・3-4=-7；

当。=12时，则6=1,此时〃7=a+b=12+l=l3；

当“=-12时，贝ijb=-\,此时〃?=0+〃=-12-1=-13；

当〃=6时，则6=2,此时〃尸a+b=6+2=8；

当a=-6时，贝ijb=-2,此时〃尸〃+b=-6-2=-8；

当67=4时,则6=3,此时〃尸。+方=4+3=7；

当a=-4时，则b=・3,此时〃?=々+8=-4-3=-7.

综上：〃尸土13或±8或土7,共6个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是

解决本题的关键.

【变式2-1]若(x+1)(%-3)=x2+mx-3,则m值是.

【答案】-2

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出工2—2%-3=好+-3是解题的关键.

根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到〃z的值即可得到答案.

【详解】解：+1)(%-3)=%2+mx-3,

x2+x—3x—3=x2+mx—3,

x2-2x—3=x24-mx—3,

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整式的乘除-十大题型(解析版)

Am=—2.

故答案为：一2.

【变式2-2］不论x为何值，(%+2)(x+Q)=+Q%+2x+2Q=必+(Q+2)x+2a,(x+2)(%4-

a)=x2+kx+6,则k=.

【答案】5

【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出。的值以及。与力的关系，然后可得答案.

本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】*.*(%+2)(x+a)=，+Q%+2%+2Q=d+(Q+2)x+2a,

又(x4-2)(%+a)=x2+kx+6,

x2+(Q+2)x+2Q=+依+6,

・•・Q+2=k,2a=6,

•••a=3,

•••k=3+2=5.

故答案为：5.

【变式2・3］关于％的整式A=2x+1,它的各项系数之和为：2+1=3(常数项系数为常数项本

身).已知B是关于x的整式，最高次项次数为2,系数为1.若8,。+3)=&。是一个只含两项的

多项式，则B各项系数之和的最大值为.

【答案】7

【分析】本题考查整式的定义，多项式乘多项式，解二元一次方程.根据题意对整式8的表述，可

设Bd+a%+b®、力为待求的常数)，计算B.Q+3),整理后得到关于％的三次四项式.由于

条件说乘积是只有两项，故有两项的系数为0,需分3种情况讨论计算，列得关于a、b的方程组，

据此求解即可.

【详解】解：••・B是关于x的整式，最高次项次数为2,二次项系数为1,

・•・设B=工2+QX+b,Q、匕为常数，

•••B(x4-3)

=(%2+Q%+b)(x+3)

=%3+ax2+bx+3x2+3ax+3b

=炉+®+3)%2+(3a+b)x+3b,

・•・乘积是一个只含有两项的多项式，

解得：仁,

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整式的乘除-十大题型(解析版)

J?=X2-3X+9,各项系数之和为1-3+9=7；

②fa+3=0

3b=0,

解得：［abVo3,

：,B=x2-3%，各项系数之和为1一3=-2；

肉,3Q+b=0

3b=0，

解得:忆)

B=x2.各项系数之和为1；

V7>1>-2；

则B各项系数之和的最大值为7.

故答案为：7.

【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】

【例3】已知多项式M=/—3ar+6,N=xA-3,且MN=4当多项式4中不含x的2次项时，

。的值为()

A.-1B.C.0D.1

【答案】D

【分析】本题考查的是整式的乘法一多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键.根

据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于

0即可.

【详解】解：•；MN=(x2-3Q%+6)(。+3)

=x3-3ax2+6x+3x2-9ax+18

=%3+(3—3a)x2+(6—9a)x+18

：.A=MN=炉+(3-3a)x2+(6-9a)x+18

•・•多项式片中不含x的2次项时，

・・・3-3。=0

/.a=1

故选D.

【变式3-1］已知关于X的多项式QX-b与3d+X+2的乘积的展开式中不含X的二次项，且一次

项系数为一5,则。的值为()

A.后B.AC,-3D.3

【答案】C

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整式的乘除-十大题型(解析版)

【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含%的二次项，则

二次项的系数为0.根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零

与一次项的系数为-5的要求建立方程组，即可求解.

【详解】解:(ax-b)(3x2+x+2)；

=3ax3+ax2+2ax-3bx2-bx-2b：

=3ax3+(a-3b)x2+(2a-b)x—2b；

•・・多项式ax-b与3/+%+2的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为-5；

.(Q-3b=0

"l2a-b=-5；

解得:

：・a=-3；

故选：C.

【变式3・2】小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：(/+3x-2)(x-Q).

(1)小万在做题时不小心将％-a中的x写成了必，结果展开后的式子中不含"的二次项，求。的值;

(2)小鹿在做题时将%2+3%-2中的一个数字看错成了上结果展开后的式子中不含x的一次项，

则攵的值可能是多少？

【答案】(1)Q=-2

(2)k=1或一6

【分析】本题主要考杳多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键.

(1)根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为0,即可求出答

案，

(2)根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为0,即可求出答

案.

【详解】(1)解：(%2+3%-2)(/-Q)

=%4—ax24-3%3—3ax—2x2+2a

=x44-3x3-(a+2)x2-3ax+2a

•••展开后的式子中不含x的二次项，

,Q+2=0,

解得a=-2；

(2)解：①若将d+3工一2中的3看成匕

(%24-/ex—2)(x+2)

=%34-2x2+kx2+2kx—2%—4

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整式的乘除-十大题型(解析版)

=炉+(2+k)x2+(2k-2)x—4,

•・•展开后的式子中不含x的一次项，

•••2/c-2=0,

:・k=1.

②若将%2+3x-2中的一2看成鼠

(%2+3%+k)(x+2)

=x34-2x2+3x2+6x+kx+2k

=x3+5x2+(6+k)x+2k,

•・•展开后的式子中不含x的一次项，

・•・6+攵=0,

解得忆=一6.

③若指数2看作上当k=0时，

原式=(14-3%-2)(%+2)

=3x2+5x—2

不符合题意；

④若指数2看作k,当k=1时，

原式=(x+3x-2)(x+2)

=4x2+6x-4,

不符合题意；

k=1或一6.

【变式3-3］己知(7+妨+1)(/-2.叶〃)的展开式中不含x2和3项.

(1)分别求加、〃的值；

(2)化简求值：Q+2〃+l)Cm+2n-1)+C2m2n-4mw2+m5)+(-m)

【答案】(1)〃？的值为2,〃的值为3(2)2团〃+8/・1；83

【分析】(1)先将题目中的式子化简，然后根据(%2+机工+1)(/一2》+71)的展开式中不含%2和％3

项，可以求得〃?、〃的值；

(2)先化简题目中的式子，然后将〃八〃的值代入化简后的式子即可解答本题.

【详解】解：(1)(%2+mx+1)(%2-2%4-n)

4

=X-2炉+〃％2+〃7炉-2〃*+〃7〃什》2_2r+〃

=x4+(-2+〃i)%3+(/?-2〃？+1)x2+(tnn-2)x+n

,/(x2+mx+l)(x2-2x+71)的展开式中不含工2和33项，

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整式的乘除•十大题型(解析版)

“一2+加=。，解得产二，

,n-2m4-1=0—3

即m的值为2,n的值为3；

(2)(〃?+2〃+1)(ni+2n-1)+(2m2n-4/wn2+m3)+(■加)

=[(m+2n)+1][(m+2n)-1]-2/??//+4n2-m2

2

=(m+2n)-1-2mn+4nz-mz

=7n2+4w/?+4n2-1-2w/?+4n2-TH2

=2/??/i+8n2-1

当机=2,〃=3时，

原式=2x2x3+8x32-1=83.

【点睛】本题考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】

【例4】知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式-y+6+3%-5y-l

的值与X的取值无关，求Q的值”，通常的解题方法是：把X、y看作字母，Q看作系数合并同类项，

因为代数式的值与％的取值无关,所以含%项的系数为0,即原式=(a+3)x-6y+5,所以a+3=0,

则a=-3.

理解应用：

(1)若关于久的多项式2m2-3%-?n(3-5%)的值与％的取值无关，求m值；

(2)已知4=(2%+1)(3%—1)—尤(5+3y),5=2x2-3xy4-4,且24-6B的值与％的取值无关，

求y的值.

【答案】(l)m=g

◊

2

⑵y=3

【分析】(1)先去括号，然后合并同类项，结合多项式的，直与X的取值无关，即可求出答案；

(2)先把A进行化简，然后计算24-68,结合多项式的值与X的取值无关，即可求出答案.

【详解】(1)解：2m2-3x-zn(3-5x)

=27n2—3%—3m+5mx

=(5m-3)x+2m2-3m,

•••其值与x的取值无关，

•••5m—3=0,

解得：m=I，

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整式的乘除-十大题型(解析版)

即：当m=看时，多项式27n2-3%-m(3-5x)的值与x的取值无关；

(2)解：•••/=(2%+1)(3%-1)-%(54-3y),B=2x2-3xy+4,

・•・2A-6B=2[(2x+1)(3%-1)-x(5+3y)]-6(2x2-3xy+4)

=2(6x2—2x4-3x-1-5x-3xy)—12x2+18xy-24

=12x2-8x-2-6xy-12x2+18xy-24

=12xy—8x-26

=4x(3y-2)-26：

・•・24-68的值与%无关，

3y—2=0,即y=g.

【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地遂行计算是解题的关键.

【变式4-1]已知4=%2+3%-°,B=-%,C=%3+3x2-I-5,若/♦8+C的值与x的取值无关，

当％=—4时，A的值为()

A.0B.4C.-4D.2

【答案】B

【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方

法，求出A的值是多少，然后用它加上C,求出+C的值是多少，最后根据A・B+C的值与x

的取道无关，可得x的系数是0,据此求出。的值，最后代入求值即可.

【详解】解：A=A2+3%—a,B=—%,C=%34-3%24-5,

••A,BC

=(x24-3x—a)(—x)+(%3+3N2+5)

322

=—x—3x+Q%+炉+3x4-5

=ax+5,

・・•/•8+C的值与x的取值无关，

a=0,

-,­A=x2+3x—a=x2+3%,

当％=-4时，A=(-4)2+3x(-4)=4,

故选：B.

【变式4-2]若代数式(2%+2)(3%+机)一2武3》+6)的值与.丫的取值无关，则常数m=.

【答案】3

【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进

而根据与工的取值无关得到2m-6=0,解方程即可.

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整式的乘除-十大题型(解析版)

【详解】解：(2%+2)(3%+m)-2x(3%+6)=6x2+2m%+6%+2m—6x2-12x=(2m-6)x+

2m,

・・,代数式的值与x的取值无关，

2m-6=0,解得TH=3,

故答案为：3.

【变式4-3］若代数式x(5依-3xy)-(k-3)(3x2y-4一)的值与y无关，则常数々的值为()

A.2B.-2C.-4D.4

【答案】A

【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取

值无关，可知关于歹的项的系数为0,从而可以求得左的值.

【详解】解：x(5kx-3xy)-(/c-3)(3x2y-4x2)

=5/ex2—3%2y—3kx2y+4/ex2+9x2y-12x2

=-3kx2y+9kx2+6x2y-12%2

=(-3k+6)x2y+9/ex2-12x2

.・•关于y的代数式：x(5kx-3xy)-(k-3)(3%2y-4炉)的值与丁无关，

・・・-31+6=0,

解得k=2,

即当k=2时，代数式的值与y的取值无关.

故选：A.

【题型5利用整式乘除法解决污染问题】

【例5】小明作业本发下来时,不小心被同学沾了墨水：(24%4y3一■+6%2y2)+(_6%2不=一

4/y2+3%y—y,你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是()

A.-18x3y2B.18x3y2C.—2x3y2D.1x3y2

【答案】B

【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解.

【详解】解：(~4x2y2+3xy-y)•(-6x2^)=24xy?-1Sx3y2+6x2y2,

■=18ry.

故选：B.

【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键.

【变式5-1］右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式被墨水污染看不清了.

(1)求被墨水污染的代数式；

(2)若被污染的代数式的值不小于4,求x的取值范围.

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整式的乘除-十大题型(解析版)

【答案】(1)—2x—4；(2)x<—4.

【分析】(1)根据题意，被墨水污染的代数式=(2%+5)。-2)一(2%2+3%—6),再结合整式的乘

法法则及加减法则解题，注意运算顺序；

(2)由(1)中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题.

【详解】解：(1)由已知可得，

(2x+5)(%—2)—(2x2+3x_6)

=2%2—4x+5%—10—2x2—3x+6

=-2x—4；

(2)由己知可得，一2%—4之4

-2,x28

解得x<-4.

【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关

知识是解题关键.

【变式5-2】小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这

道习题，只看见了被除式中第一项是-8%3y3及中间的，，+，，，污染后习题形式如下：

(一以3'3三匚)+吕吕，小明翻看了书后的答案是，，4X2、2一3移+6，'，你能够复原这个算

式吗P请你试一试.

【答案】复原后的算式为(一8%3y3_|_6%2y2_I2x2y)+(-2盯)

【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可.

【详解】解：・・•—8%3y3对应的结果为:442y2,

,除式为：一+4x2y2=—2xy,

33222

根据题意得：(4%2y2_3xy+6x)•(-2xy)=-8xy+6xy-12xy9

・・,复原后的算式为(一8吐炉+6x2y2-12x2y)+(-2xy).

【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键.

【变式5-3】小红准备完成题目：计算(xOx+2)(，-x).她发现第一个因式的一次项系数

被墨水遮挡住了.

(1)她把被遮住的一次项系数猜成3,请你完成计算：(f+3x+2)(N-x)；

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整式的乘除•