第八章《一元二次方程》巩固训练-2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章一元二次方程巩固训练

一、单选题

1.方程中V+5x=6，3x-4=x2,（10-2x）（6-2x）=32,（3x—2）2=3x（3x-5）是一元二次方程有（）个.

A.1B.2C.3D.4

2.将一元二次方程3/=一2》+石化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.3,-3,4B.3,2,2C.3,2,-2D.3,2,±2

3.若一元二次方程2/+笈+。=0满足2+〃+c=0,则这个方程必有一个根是（）

A.x=-\B.x=0C.x=—D.x=\

2

4.用配方法解一元二次方程f_i()x+5=0,配方正确的是()

A.(X+5)2=20B.(x-5f=30C.(x-5)2=2OD.(X+5)2=3O

5.多项式/+），2+41―2），+8的最小值为（）

A.-2B.1C.3D.2

6.如果关于x的一元二次方程〃“2-3x+l=O的两根中恰有一个根大于-1而小于0,则m的取值范围是（）

A.m>4B."?>-4且〃C.〃？<4且〃7HoD.m<-4

7.不解方程，判断关于），的一元二次方程/一）,一5=0的根的情况（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断

8.关于x的一元二次方程近2一2工+1=0有实数根，贝株的取值范围是（）

A.k<\B.k<lC.k>\D.且女工0

9.方程/一6=0的根是（）

A.耳=3,x2=-2B.%=3,X2=2C.%=-3,x2=-2D.%=-3,x2=2

10.方程工（工一2）二"一2的解为（）

A.x=\B.为=0,x2=1C.-V1=0,x2=2D.=1,x2=2

11.若⑥〃是一元二次方程V—3x—2=0的两个根，则a+A3的值为（）

A.-3,2B.3,-2C.-3,-2D.3,2

12.某快递公司2023年“双十一”与2025年“双十一”期间完成投递的件数分别为8万件和11万件.设该快递公司这

两年投递件数的年平均增长率为1，则下列方程正确的是（）

A.8（l+2x）=llB.8（1+2"=11

C.8（l+x『=llD.8+8（1+X）+8（1+X）2=I1

二、填空题

13.某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨I元，其销售量

就减少5个.设这种商品的售价上涨了x元时，获得的利润为1200元，请根据题意列出方程.

14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了人.

15.已知。，b是方程2x—1=0的两根，则?的值为________.

ab

16.一元二次方程x(x-3)=x—3的根是____.

17.关于x的一元二次方程丁=4%-〃有两个实数根，则，的取值范围为.

18.方程(1一1)2—49=0的解是.

三、解答题

19.解下列方程:

(1)X2+2X+1=0

⑵2/+4工-2=0

20.己如关于x的一元二次方程/+(仅+4卜+m+3=0.

(1)若方程有一实数根为3,求”的值；

(2)求证：无论〃，取何值，方程总有实数根.

21.解方程：2(X+5)=X(X+5).

22.已知关于x的一元二次方程Y+(2A+1).I+公+1=()有两个不等实数根%,占.

⑴求k的取值范围；

(2)若(％-1)(占-1)=11,求攵的值.

2

23.亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售

量是7.2万件.

(1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？

(2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每

降价。.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获

利1400元，则售价应降低多少元？

24.如国，某工厂要建一个矩形仓库A4c。，一边靠墙(靠墙一边大用木板，且墙的最大可利用长度为22米)，并

在8c边上开一扇2米宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完，门不用木板)，设A8的长为x米.

(DA。的长为米；(用含x的代数式表示)

(2)若仓库的面积为150平方米，求力8的长.

参考答案

1.C

【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，即只含一个未知数、

未知数最高次数为2的整武方程，逐个判断每个方程是否符合即可.

【详解】解：I.对于方程V+5x=6

•・•整理为一般式为丁+5工-6=0,满足只含一个未知数3最高次数为2,是整式方程

，是一元二次方程.

2.对于方程3x-4=f

•••整理为一般式为d—3x+4=(),满足只含一个未知数一最高次数为2,是整式方程

，是一元二次方程.

3.对于方程(10-2x)(6-2力=32

二•展开整理得4/-32x+28=0,化简为丁-81+7=0,满足只含一个未知数1,最高次数

为2,是整式方程

・••是一元二次方程.

4.对于方程(33-21=34(3工-5)

•••展开整理得9/—⑵+4=9/-15一移项合并同类项得3x+4=0,未知数最高次数为1

，不是一元二次方程.

综上，是一元二次方程的有3个.

故选：C.

2.C

【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是要确定二次项系数，一次项系数

和常数项，首先要把方程化成一般形式.一元二次方程的一般形式是：公2+版+°=0(a,

b,c是常数且a齐0).在一般形式中of叫二次项，以叫一次项，c•是常数项.其中a,b,

C分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.先将方程化为一般形式OY?+云+。=0,再确

定系数.

【详解】解：="=2，

•••原方程化为3X2=-2X+2,

移项得3/+2x-2=0,

二二次项系数为3,一次项系数为2,常数项为-2.

4

故选：c.

3.D

【分析】本题考查一元二次方程的解，把x=l代入方程2/+/+c=0得2+〃+c=0,即可

解答.解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值.

【详解】解：V2+/?+c=0,

又把x=1代入方程2.r?+〃x+c=O中得：2+/?+c=0,

••・这个方程必有一个根是x=l.

故选：D.

4.C

【分析［先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得

到结果.

2

【详解】解：原方程为Y-|f)r+5=O.

移项得x2-l()x=-5.

方程两边同时加25得x2-1()x+25=-5+25.

配方得(x-5)2=20.

5.C

【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负

性求最小值即可.

【详解】解：:x24-y24-4x-2y+8

=(x2+4x)+(/-2y)+8

=(x+2)2-4+(y-l)2-l+8

=(x+2)2+(y-l)2+3,

又・・・(x+2)&0,(y-l)2>0,

・••当x=-2,y=l时,多项式取最小值3,

故选C.

6.D

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根

5

的判别式，可得且，"工0,再解出方程可得X=3+的-4〃[*=3-\/9-4〃?,然后分

42m'2m

两种情况解答即可.

【详解】解：：一元二次方程加I2-3X+1=0的两根中怡有一个根大于-1而小于0，

△=(一3『-4/?2=9-4〃2>0且〃?工0,

9

:.切<二且m工0,

4

nix2-3x+1=0，

解得：％=三差值.=三匹亚

2m~2m

当〃?>0时，V9-4/W<3»则3-，9-处>0,3,'9-4/<>。,不满足一个根大于-1而小

2m2m

于。，不符合题意；

当〃?<0时，-i<3+^9-4-<o,

2m

解得：〃?<-4；

综上所述，机的取值范围是〃?<-4.

故选：D

7.A

【分析】本题考杳一元二次方程根的判别式，通过计算判别式△的值来判断方程根的情况.

【详解】解：二•一元一次方程>'一)，-5=0中，6t=l,b=T,c=-5.

/.A=/r-4^c=(-l)2-4xlx(-5)=l+20=21.

V21>0

，方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

8.D

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程二次项系数不为0,方

程有实数根时根的判别式大于等于0,据此计算k的取值范围.

【详解】解：•・•方程32-2》+1=0是关于x的一元二次方程，

・》00,

•・•方程有实数根，

•••△"2Aac^(2)24xArxl-44Ar>0,

6

解得火工1,

综上，攵的取值范围是441且左H0.

9.A

【分析】本题主要考杳一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键:

通过因式分解法解方程即可.

【详解】解：•.•/一%一6-0可因式分解为(*一3)(*+2)=。，

/.工一3=0或x+2=0,

X［=3,x,=—2；

故选A.

10.D

【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键.可通过

因式分解法解方程，注意不能宜接约去含未知数的因式，避免漏根.

［详解］解：x(x-2)=x-2,

x(x-2)-(x-2)=0,

(x-l)(x-2)=0,

「.x-l=0或x-2=0,

=

二.百=1,x22,

11.B

〃c

【分析】根据一元二次方程公2+bx+c=0(aw0)的两根之和为-一，两根之积为一，即可得

aa

到结果.

【详解】解：・・七，万是一元二次方程f-3工一2=0的两个根，且方程中“=1"=-3,。=-2,

【分析】本题的等量关系为：最终年份投递件数=初始年份投递件数M1+年平均增长率)的

增长次数次方，2023年到2025年共增长2次，据此列方程即可.

【详解】解：设该快递公司这两年投递件数的年平均增长率为x,根据题意，得

8(1I4=11.

7

13.(36-20+x)(200-5x)=1200

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可知，销售量为(2OO-5x)个，每

个商品的利润为(36-20+x)元，再根据总利润等于每个商品的利涧乘以销售量可列出方程.

【详解】解：由题意得(36-20+力(200-5x)=1200,

故答案为：(36—2O+x)(2OO—5x)=1200.

14.12

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用.设每轮传染日平均一个人传染x人，根据题意可

得第一轮被传染了之后有x人，即有(x+1)人患了流感，则第二轮能传染x(x+l)人，故可

列方程1+x+x(x+1)=169,解方程即可解答.

【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，

根据题意可得方程1+x+M%+1)=169,

解得％=12,巧=-14(舍去)，

故每轮传染中平均一个人传染12人，

故答案为：12.

15.

-2

【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入

计算即可.

【详解】解：。，是方程丁-2工-1=0的两根，

「•根据根与系数的关系可得〃+〃=-吊=2,^=y=-l,

I1a+h2

/.-+-=---=—=-2.

abab-1

16.x=l或x=3

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本步骤，是解题的

关键.根据因式分解法求解即可.

【详解】解：x(x-3)=x-3,

8

移项得MX-3)-(X-3)=。，

因式分解得(x-3)(x-l)=0,

所以工一3=0或工-1=0,

解得：x=3或x=1.

故答案为：x=l或x=3.

17.

a<4

【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.

根据方程有两个实数根，可得ANO,得出关于〃的不等式，即可得。的取值范围.

【详解】解：・"=4x-。,

x2-4x+«=0，

•・•关于X的一元二次方程?=4x-a有两个实数根，

A=(-4)"-4xlx«=16-4«>0.

a<4,

:.a的取值范围为aW4.

故答案为：«<4,

18.

X=8,X2=-6.!xx=-6,x2=8.

【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键.通过移

项和开平方解方程，运用平方根的性质求解.

【详解】解：移项得(x—1)级=49,

开平方得工一1=土瓦・即丫一1=±7,

当工-1=7时，解得x=8；

当工-1二一7时，解得x=-6.

故答案为：内=8,勺=一6.

19.(1)A,=X2=-1

(2)芍=1+3,x,=10

9

【分析】(1)利用完全平方公式将方程变形，再求解即可；

(2)先将二次项系数化为1,再通过配方法求解即可.

【详解】(1)解：x2+2x4-1=0,

(x+l)2=0,

x+l=0,

••-V|=X?=-1；

(2)解：2f+41-2=0,

x2+2x=1»

x2+2X+1=2,即(x+l『=2,

x+1=±A/2>即x=-1±0,

玉——1+>/2,-—1—y/2..

20.(1)/??=-6

(2)见解析

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式.

(1)直接把工=3代入到原方程中得到关于，〃的方程，解方程即可得到答案;

(2)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可.

【详解】(1)解.：.方程有一实数根为3,

.\32+3("?+4)+〃?+3=0,

解得〃=7-6;

(2)证明：根据题意可得：。=1,b=m+4,c=m+3,

.•.△=//-4ac=(/〃+4)~-4x1X(/7Z+3)

=m'+4〃?+4

=(/n+2)2>0,

••・无论w取何值，方程总有实数根.

21.内=-5,x2=2

【分析】先变形，后利用因式分解法解一元二次方程即可.

10

【详解】解：2(x+5)=x(x+5)

变形得，2(x+5)-x(x+5)=0,

因式分解得,(-)=0,

••・x+5=0或2—x=0,

解得用=-5,毛=2.

3

22.⑴人>了

4

Q)〃=2

【分析】(1)根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；

2

(2)根据根与系数的关系得到$+七=-(2火+1),X,A-2=^+1,再根据已知条件得到方程

炉+2左一8二。,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：△=(2%+1)2-4(/+1)=4公+4k+1-45一4=4左一3

•・•方程有两个不等实数根

.-.△>0即软一3>0,

4

(2)解：,•,关于x的一元二次方程工2+(2k+l)x+&2+i=。有两个不等实数根毛，9

:.玉+电=-(2k+1),xxx2=公+1

1)=11

/.AJXJ-(N+)+1=11

^2+l+(2it+l)+l=ll

/./+2k-8=0

.♦.(%+4)("2)