初中数学复习：平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型（解析版）

平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型

模型一：猪蹄与锯齿模型

【模型结论】

如图，直线MA4NB,则：①NAPB=NA+NB;

②NA+NB+NP2=NP1+/P3;

@ZA+ZB+ZP2+---+P2n=ZPl+ZP3+ZP5+---+ZP2n+l

【证明】：(1)N/1/W=N/1+N8这个结论正确，理由如下

如图1,过点。作PQHAMy

•/PQ!!AM,AMIIBN,:.PQHAMUBN,/.Z/1=ZAPQyNB=/BPQ,

：./_A+/_B=/_APQ+ZBPQ=ZAPB,即：NAPB=NA+/B.

(2)根据(1)中结论可得，N/1+N8+NB=NR+N尸3,

故答案为：//+/，+/外=NR+/R,

(3)由(2)的规律得，/力+/〃+/乃+…+乃”=/4+/伐+/伐+~+/4Z

故答案为：/4+/6+/外+一+凡尸/勺+/月3+/优+~+/&汁1

【模型辨析】

①注意：拐角为左右依次排列②若出现不是依次排列的，应进行拆分

模型二：铅笔模型

【模型结论】

如图1:AB〃CD,则N1+/2=180°;

如图2:AB〃CD,贝比N1+/2+N3=360°;

如图3:AB/7CD,则N1+N2+N3+N4=540°;

如图4：AB/7CD,则N1+/2+・・・+Nn=(n-1)180°。

【证明】在图1中，-：AB//CD,AZ1+Z2=180°;

在图2中，过£作48的平行线优-：AB//CD,:.EF〃CD,

••・N1+N/1炉=180°,N3+NC£F=180°,AZ1+Z2+Z3=360°;

在图3中，过E作力8的平行线刚过点尸作力8的平行线削

,:AB〃CD,：.EN//CD//FM,：.Z1+Z/1/^=180°,/MF&/FEN=W,

N%份N4=180°,AZ1+Z2+Z3=540°：

在图4中，过各角的顶点依次作48的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规

【模型辨析】

①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不期同一方向的，应进行拆分.

例题井

考点一：猪蹄模型

解：达E作EF〃AB,

'：AB//CD,

：.AB//CD//EF,

:.上gaFLC,N"Z7=N2,

•・・NC=44°,NAEC为鱼辄,

：.4FEC=44°,£BAE=4AEF=9N-44°=46°,

AZ1=180°-N£1£=180°-46°=134°,故选：B.

A变式训练

【变式1T】.如图，N8g90°,AB//DE,则a与0一定满足的等式是（）

D.a-3=90°

解：也C作CF”AB、

-：AB//DE,

AAR//OF//CF,

N1=NB,Za=180°-Z2,

AZa-Z3=180°-Z2-Z1=180°-N8g900,故选：D.

【变式1-2].如图，AB//CD,/ABN=^4NBM,』CDN=上乙MDN,N-160°,则/"=

33

50°

解：如图所示，运林代MEHAB,则

-：AB//CD,

：.AB//ME//CD,

：./AB*/BMM4CDM=WX2=360°,

又•・•/扇步=160°,

AZAB/^ZCDM=2QQ0,

又Y£ABgL/NBM、Z.CDN=工乙MDN,

33

：.匕NB砧2NDM=3XKG=150°,

4

・•・四边形创例/中，N沪=360°-150°-160°=50°,

故答案为：50°.

【变式1-3].如图，AB//CD,〃在48上，N农CD上,求N1+N2+N3+N4=540°

解：如图，过点6尸作&?、6/平行于48.

*：AB//CD,

'：AB//EG//FH//CD,

・•・N1+N距?=180°,4GERNEFH='8b0,N4/N4=180°,

・•・N1+N4^N£WN4=540°,

故答案为:540°.

考点二：锯齿模型

【例2】.若AB"CD、NC。尸=2/延./ABF=2/ABE,则N£ZF=3:2

33

解：过£尸分别作白/〃48,FN//AB,

•：AB//CD,

ACD//EM,CD//FN,

:.NCDE=ADEM,^ABE=乙BEM、NCDF=乙DFN、LABF=乙BFN、

:・/DEB=/CD曰/ABE,2DFB=2CDX/ABF,

,：4CDF=—CDE,々ABF=24ABE

33

999

・•・Z.DFB=—ZCDE^—/.ABE=—^DEB,

333

：.£DEB；乙DFB=3:2,故答案为：3:2.

A变式训练

【变式27].如图，直线48〃GO,Z£E4=30°,/FGH=90°,Z«V=30°,N朋=4。°,

则NG/倔的大小是（）

解：如图，界GJHAB、HK〃AB爻MN千K.

*：AB//GJfHK//AB,AB//CD,

：.AB//GJ//HK//CD,

：.NAFE=ZJGF=30°,

•：4FGH=9N,

：.4JGH=，GHK=60°,

V^CNP=AHKN=^°=/将4MHK,N—30°,

AZWT=40°-30°=10°,

AZGHAf=6Q°-10°=50°,故选：D.

【变式2-2].如图①，已知AB"CD,CE,州的交点为£现作如下操作:

第一次操作，分别作N/I宏和NZ7宏的平分线，交点为石；第二次操作，分别作N/I跖和

N06石的平分线，交点为E;第三次操作，分别作N4的和NOGS的平分线，交点为后…

第〃次操作，分别作N486T和的平分线，交点为£.

如图②，若N£=6°,则N8EC的度数是27°.

CD

图①图②

解：如图①，过E作牙■〃彳8,

图①

*：AB//CD,

EF//CD,

：・4ABE=XBEF,4DCE=4CEF,

•・,4BEC=4BEPr/CEF,

:./BEC=4ABRZ.DCE;

如图②，•・•NX维和N。b的平分线交点为国

NCE、B=/ABEd4DCE产工/AB白工/DCE=*/BEC.

•・•N48£和N次石的平分线交点为E2,

：.ZBE7C=ZABE卢NDCE产工/ABE^ZDCEy=ANCE、B=—BEC；

2224

如图②，•・•NA跖和/加瓦的平分线，交点为后，

:.ZBE3C=ZABE3+4DCE3=工/ABEz+工NZ?C6=ANCE7B=AzBEC；

以此类推，^E=—Z.BEC.・•・当N£=b°时，N8&7等于27°

考点三：铅笔头模型

【例3].已知48〃C。，试解决下列问题:

(1)如图1所示，Z1+Z2=180°

(2)如图2所示，N1+N2+N3等于多少度？请说明理由.

(3)如图3所示，N1+N2+N3+N4=540°.

(4)如图4所示，试探究N1+N2+N3+N4+…+N〃=(〃-1)X180°

AZ1+Z2=180°(两直线平行，同旁内角互补).

故答案为：180°;

(2)如图2,过点E作48的平行线行；

*：AB//CD,

：.AB//EF,CD//EF,

・•・N1+N4£F=180°,Z/T^-Z3=180°,

Z1+Z2+Z3=360°：

(3)如图3,过点£点尸分别作48的平行线，

类比(2)可知N1+N2+N3+N4=180°X3=540°,

故答案为：540°：

(4)如图4由(2)和(3)的解法可知N1+N2+N3+N4+…+N〃=(〃-1)X1803,

故答案为：(n-1)X1800.

A变式训练

【变式37].如图所示，4〃/2,Z1=105°,Z2=140°,则N3的度数为()

1

12

A.55°B.60°C.65°D.70°

解：过点E作）〃标记如图所示.

・•・4〃h"EF,

・•・N2+NG£F=180°,Z1+ZP£F=180°.

•・・N2=140°,N1=105°,

:./DEF=15°,NGEF=40°,

・・・N3=65°.故选：C.

【变式3-2].如图，一环湖公路的48段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向

的FE段,则的分■/介■//■/£的度数是540°.

解：如图，根据题意可知:

AB//EF,

分别过点C,。作48的平行线CG,DH,

软以AB"CG〃DH"EF、

则///员治=180°,

NG协■/双*=180°,

NHD&/DEF=W,

：./34BCN4GCA/HD84HD&iDEF=WX3=540°,

：・/步4BONCD®/E=540°.故答案为540°.

【变式3-3].如图，两直线/夕与”平行，则N1+N2+N3+N4+N5+N6-900

解：分别过£点,尸点，G点,，点作A,Z.2,Z.3,，平行于48

利用内错角和同旁内角，把这六个角转化一下，可得，有5个180°的角,

.,.180X5=900°.

故答案为：900.

解：yiEVr-EF//AB,

*：AB//CD,

：.AB//EF//CD,

AZA+ZAEF=180°,ZC+ZCEF=180°,

ZA+ZAEF+ZCEF+ZC=360°,

即N4+NAEC+NC=360°,

VZA=140°,ZAEC=120°,

AZC=100°，故选：B.

2.如图，AB//ED,a=ZA+ZE,0=NB+NC+N。，则口与a的数量关系是（）

EDD

C(

B

A.2p=3aB.p=2aC.2p=5aD.p=3a

解：过C点作C/〃48,

FAB//ED,

:.CF//DE,

AZB+Z2=ZD+ZI=180°,

・•・0=ZB+ZBCD+ZD=ZB+Z2+ZD+Z1=360°,

'：AB//DE.

AZA+ZE=a=180°,

・・・2a=B，故选：B.

3.如图，若AB〃EF,用含a、p、丫的式子表示x,应为（)

D.180°4-a+y+p

解：过C作CO〃48,过用作MN〃EE

■:AB//EF,

.\AB//CD//MN//EF,

：.a+ZBCD=\S0Q,4DCM=NCMN,/NMF=、,

/.ZBCD=180°-a,ZDCM=ZCA/^=p-y,

Ax=ZBCD+ZDGW=180°・a+0-丫，故选：C.

4.①如图1,AB//CD,则N4+NE+NC=180°；②如图2,AB//CD,则NP=NA-ZC；

③如图3,AB//CD,则NE=NA+Nh④如图4,直线八“〃C75〃E兄点O在直线EF

上，则Na-NB+/Y=180°.以上结论正确的个数是（

D

图4

图1图2图3

A.1个B.2个C.3个D.4个

图3图4

①如图I,过点E作直线E尸〃AB,

：,AB//CD//EF,

/.ZA+Z1=180°,Z2+ZC=180°,

，NA+NB+NAEC=360°,

故本结论错误，不符合题意；

②如图2,・.・/1是△C£P的外角，

，/l=NC+NP,

'：AB//CD,

:.NA=N1,

即NP=NA-ZC,

故本结论正确，符合题意；

③如图3,过点E作直线EF//AB,

：.AB//CD//EF,

・・・NA+N3=180°,Z1=Z2,

：.ZA+ZAEC-Zl=1809,

即N4EC=180°+Z1-NA,

故本结论错误，不符合题意；

④如图4,•.•A3〃Er,

，N(x=NBOF,

•:CD//EF,

.,.ZY+ZCOF=180°,

VZBOF=ZCOF+Zp,

:"C0F=4a-Zp,

AZy+Za-Zp=1803,

故本结论正确，符合题意；

综上结论正确的个数为2,故选：B.

5.如图，已知ZA=40°,ZACD=100°,则/D的度数是

•:AB"DE,：.AB//FC//DE,

，NA=NAC尸=40°,ND=NFCD,

VZACD=100°,/.ZFCD=100°-40°=60°,.,.ZD=60°.故选：C.

6.如图，直线〃?〃mABLBC,Zl=35°,Z2=62°,则NBC。的度数为—

解：如图，过B作过C作b〃〃，

：,m//I3E//CF//n,JNA/汨=N1=35°,ZDCF=Z2=62°,

乂TABLBC,/.ZABC=90°,

/.ZEBC=90°-35°=55°,:•/BCF=4EBC=S,

:・NBCD=NBCF+NDCF=550+62°=117°,故选：B.

7.如图，若直线/i〃/2,Za=Zp,ZI=30°,则N2的度数为150°.

解：延长A8交/2于£

VZa=Zp,

:.AB//CD,

丁/1〃/2,

.*.Z3=Zl=30o,

r.Z2=180°-N3=I5O°.故答案为：150°.

VZ1+1300=180°,AZ1=50°.

'：a//b,AA+480+20°=Zl+30°+52°,

.*.x=64°.故答案为：64.

9.如图，已知AB〃C7),于点£NAEH=/FGH=20°,NH=50°，

则NEFG的度数是.

解：过点”作〃八兄延长EF交CD于点、N,如图所示：

'：AB//CD,EF±AB,

：.AB//HM//CD,ENICD,

：・NEHM=NAEH=20°,NENG=90°，NCGH=NGHM,

/.NGHM=NEHG-NEHM=30°,

・・・NCG”=30°,

NCGF=NCGH+NFGH=50°,

•••/EFG是△尸GN的外角，

/.ZEFG=ZENG+ZCGF=140°.故选：C.

10.如图，AB//CD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,则NE：NF

33

ARAR

解：过点月、产分别作的平行线EG、FH,由平行线的传递性可得A8〃EG〃/7/〃CQ,

\*AB//FH,：.4ABF=£BFH,

'：FH//CD,:・NCDF=/DFH,：・NBFD=NDFH+NBFH=NCDF+NABF；

同理可得NBEO=NDEG+NBEG=N43E+NCOE；

VZABF=^-ZABE,/CDF=2/CDE,

33

：,/BFD=/DFH+/BFH=/CDF+/ABF=2(/ABE+/CDE)=2/BED,

33

:・NBED：N3FD=3：2.

II.(I)如图1,AM//CN,求证：

①NMA8+NABC+N8CN=360°；

@ZMAE+ZAEF+ZEFC+ZFCN=540°；

(2)如图2,若平行线AM与CN间有〃个点，根据(I)中的结论写出你的猜想并证明.

解：(1)①证明：如图1,过点作BG〃AM,则4M〃CN〃BG

・・・NA8G+NR4M=180°,/CBG+/BCN=180°

/.ZABG+ZBAM+ZCBG+ZBCN=360°

，NM"+NABC+NBC7V=36O°

图1

②如图，过E作石尸〃AM,过F作FQ〃CN,

•・・AM〃CM

：.EP//FQ,

：.ZMAE+ZAEP=\SQQ,NFEP+NEFQ=180°,NCFQ+NFCN=180°

・・・NMAE+NAEF+NEFC+NFCN=18(TX3=540°：

(2)猜想:若平行线间有〃个点，则所有角的和为5+1)・180°.

证明：如图2,过〃个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行,

・•・所有角的和为（72+1）-180°.

12.如图，AB//CD,ZABE=\20°.

（1）如图①，写出与NO的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图②，NDEF=2NBEF,ZCDF=-ZCDE.EF与DF交于点、F,求NE/Q的

3

度数；

（3）如图③，过8作8G_LAB于G点，/CDE=4/GDE,求号■的值.

①②③

解：（1）结论：ZBED+ZD=120°,

证明：如图①，延长A8交。£于点E

①

*：AB//CDt

：・/BFE=/D,

VZABE=120<),

:・NBFE+NBED=NABE=T2()°,

AZD+ZBED=120o；

(2)如图②，

E

②

*/ZDEF=2ZBEF,/CDF=工ZCDE,

3

即NCQE=3NCQF,

设N3E~=a,NCO产=0,

；・NDEF=2a,NDEB=3a,NCDE=3R,NEDF=2%

由(1)知：ZBED+ZCDE=120°,

.*.3a+3p=120o,

Aa+p=40°,

/.2a+2|3=8O°,

.\ZEFD=180°-ZDEF-Z£DF=180°-(2a+20)=180°-80°=100°,

答：NEFD的度数为100°；

(3)如图③，

③

VBG1AB,

AZABG=90°,

VZABE=\20°.

；・NGBE=NABE-ZABG=30°,

•:/CDE=4/GDE,

：.ZGDE=­ZCDE,

4

/G+/GBE=NE+/GDE,

••・/G+30°=ZE+—ZCDE,

4

由(1)知：NBED+/CDE=120°,

：.ZCDE=\2O0-NE,

AZG+30°=ZE+—(120°-NE),

4

4

.ZG=3

**ZE4*

13.如图1,点A是直线上一点，。是直线GE上一点，8是直线”Q、GE之间的一点.Z

DAB+NABC+NBCE=360°

(1)求证：AD//CE：

(2)如图2,作N8C”=N8CG,C”与N84”的角平分线交于点立若2N8-N尸=90°,

求N/M/•/的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，若点P是线段4B上一点(不同于A点)，。是GE上

任意一点，QR平分NPQG,PM//QR,PN平分NAPQ,求/NPM的度数.

图1图2图3

图1

*：BK//DH,

••・ND48+N"K=18()0