人教A版高二数学选择性必修第三册《离散型随机变量及其分布列》教案

7.2离散型随机变■及其分布列教学设计

一、课时教学内容

随机变量、离散型随机变量及离散型随机变量的分布列的概念及性质，离散型随机变量的分布

列的求法和两点分布.

二、课时教学目标

（1）理解随机变量的意义.

（2）掌握离散型随机变量的概念.

（3）理解取有限值的离散型随机变成的分布列及两点分布的概念及表木.

（4）掌握离散型随机变量的分布列的性质.

（5）会求某些简单的离散型随机变量的分布列（含两点分布）.

三、教学重点、难点

1.教学重点：离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的分布列的求法.

2.教学难点：学生在理解离散型随机变量及其分布列的概念基础上，结合实际问题写出随机变

量的取值以及随机试验的结果，并求某些简单的离散型随机变量的分布列.

四、教学过程设计

环节一创设情境，引入课题

问题1（复习随机变量与函数的概念）请同学们思考一下，随机试验的样本空间与实数集之间

能否建立某种对应关系呢？

求随机事件的概率时，我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事

件的表示问题.类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与

实数集之间建立某种对应，将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便，而且能更好地利用数

学工具研究随机试验.

探究1.有些随机试验的样本空间与数值有关系我们可以直接与实数建立关系.

有些随机试验的样本点与数值有关系，我们可以直接与实数建立对应关系.例如，掷一枚

骰子，用实数田(m=l,2,3,4,5,6)表示“掷出的点数为又如，掷两枚骰子，样本空间为

Q={(x,y)|x,y=l,2,..,6},用x+y表示“两枚骰子的点数之和”，样本点(x,y)就与实数兀+y

对应.

有些随机试验的样本点与数值没有直接关系，我们可以根据问题的需要为每个样本点指定

一个数值,例如，随机抽取一件产品，有“抽到次品''和“抽到正品”两种可能结果，它们与数值

无关.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定义

v(1,抽到次品，

Io,抽到正品，

那么这个试验的样本点与实数就建立了对应关系.

类似地，掷一枚硬币，可将试验结果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；随机调查

学生的体育综合测试成绩，可将等级成绩优、良、中等、及格、不及格分别赋值5,4,3,2,

1笺笺

1;守守，

对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值

依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化.因为在随机

试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性.

【设计意图】通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解.从而建立离

散型随机变量的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.

环节二观察分析，感知概念

探究2：考察下列随机试验及其引入的变量：

试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表

示三个元件中的次品数；

试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量y表示需要的抛掷次数.

这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何对应的？变量X,丫

有哪些共同的特征？

【设计意图】让学生亲身经历了从特殊到一般，获得离散型随机变量概念的过程.发展学生逻

辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.

对于试验1,如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的

字符串表示样本点，则样本空间

={000,001,010,011,100,101,110,111}.

各样本点与变量X的值的对应关系如图7.2・1所示.

。

OOO

OO1

O1O

O11

1OO

1O1

11MO

对于试验2,如果用力表示“正面朝上”,/表示“反面朝上”，例如用汕表示第3次7出现“正面

朝上”，则样本空间

={/?,thytth,ttth,},

%包含无穷多个样本点.各样本点与变量丫的值的对应关系如图7.2-2所示.

追问两个试验中变量X,Y有哪些共同的特征？

【设计意图】通过与函数概念的比较，让学生深化对随机变量的理解.发展学生逻辑推理，直

观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.

环节三抽象概括，形成概念

在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应.变量X,y有如下共同

，占、、、•

(1)取值依赖于样本点：

(2)所有可能取值是明确的.

一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点①，都有唯一的实数X(⑼与之对应，

我们称X为随机变量(randomvariable).试验1中随机变量X的可能取值为0,1,2,3,共

有4个值；试验2中随机变量丫的可能取值为1,2,3,…，有无限个取值，但可以一一列举出

来.像这样，可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量

(discreterandomvariable).通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,V,Z；用小写英文字

母表示随机变量的取值，例如x,y,z.

随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫(也翻译为契贝晓夫)(Chebyshev,1821-1894)

在19世纪中叶建立和提倡使用的.

不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点”相当于函数定义中的自变

量，而样本空间。相当于函数的定义域，不同之处在于。不一定是数集.随机变量的取值

X(M随着试验结果/的变化而变化，这使我们可以比较方便地表示一些随机事件.

现实生活中，离散型随机变量的例子有很多.

例如，某射击运动员射击一次可能命中的环数X,它的可能取值为0,1,2,…，10；

某网页在24h内被浏览的次数匕它的可能取值为0,1,2,……；等等

现实生活中还有大量不是离散型随机变量的例子.例如，种子含水量的测量误差Xi；某品

牌电视机的使用寿命X2；测量某一个零件的长度产生的测量误差X3.这些都是可能取值充满了

某个区间、不能一一列举的随机变量.本节我们只研究取有限个值的离散型随机变量.

你能再举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子近

问题5请大家进一步思考，在实际问题中对于每一个随机变量的值，对应的概率是多少吗？

探究3.抛掷一枚骰子.所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？

根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研

究随机试验中的概率问题.例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出

加点''可以表示为{X=m}

(”=123,4,5,6),事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{XW2},事件“掷出偶数点”可以表

示为{X=2}J{X=4}(J{X=6},等等.由掷出各种点数的等可能性，可得

P(X=,〃)=L%=123,4,5,6.

6

这一规律可以用表7.2-1表示.

表7.2-1

X123456

\_2

P

666666

【设计意图】通过例题引出离散型随机变量的分布列的概念及性质。

【师生活动】探究离散型随机变量的表示方法和性质。

环节四辨析理解深化概念

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为七,马，•»“，我们称X取每一个值七的概率

P(x="=p,ri=l,2,

为X的概率分布列(listofprobabilitydistribution),简称分布列.

与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示(表7.2-2),遂可以用图形

表示.例如，图7.23直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布

图.

表7.2-2

123456X

图7.2-3

根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质：

(1)Pj20,i=l,2,•,〃；

(2)P1+P2++P〃=1・

利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率.例如，在掷骰子试

验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为

P(X^2)=P(X=1)+P(X=2)=-+-=

663

类似地，事件“掷出偶数点”的概率为

P({X=2}J(X=4}U{X=6})=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=-+-+-=-.

6662

【设计意图】通过例题引出离散型随机变量的分布列的概念及性质。

【师生活动】探究离散型随机变量的表示方法和性质。

环节五概念应用，巩固内化

例「批产品中次品率为5%,随机抽取I件，定义X啜鬻鬻，求X的分布列.

追问本题中离散型随机变量的分布列有什么特殊性？

【设计意图】通过例题引出对两点分布的概念的理解。

解：根据X的定义，{X=l}="抽到次品"，(X=()}="抽到正品”，X的分布列为

p(X=0)=0.95,P(X=1)=O.O5.

对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，了表示“失败”，定义

X=1[1,A_发生，

0,无发生.

如果P(A)=〃，则P(W)=l—p,那么X的分布列如表7.2-3所示.

表723

X01

P1-PP

我们称X服从两点分布(two-pointdistribution)或(L1分布.实际上，X为在一次试验中成

功(事件A发生)的次数(()或1).像购买的彩券是否中奖，新生婴儿的性别，投篮是否命中

等，都可以用两点分布来描述.

例2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分

数和人数如表7.2-4所示.

表7.2-4

等级不及格及格中等良优

分数12345

人数2050604030

从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X24).

解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5,且

{X=l}="不及格"，{X=2}="及格”，{X=3}="中等”，{X=4}="良”，

(X=5)="优”.根据古典概型的知识，可得X的分布列，如表725所示.

表7.2-5

X12345

133

P

10410520

137

P(X^4)=P(X=4)+P(X=5)=-+—=—.

52020

例3一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求

这2台电脑中A品牌台数的分布列.

解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知

识，可得X的分布列为

P(X=O)=兽P(X===P(X=2)=0^=-L

C：。1515C：°15

用表格表示X的分布列，如表7.2-6所示.

表7.2-6

X012

771

P

151515

环节六归纳总结，反思提升

(1)通过类比函数的定义引入随机变量的定义，对你有什么启发？

(2)为什么要研究离散型随机变量的分布列？离散型随机变量的分布列有什么作用？

(3)根据本节课所列举的例迤,归纳求离散型随机变量分布列的一般步骤.

(4)离散型随机变量的分布列的性质在求随机事件概率的过程中起到什么作用？

【设计意图】通过问题设计，让学生梳理本节课所学的内容及主要数学思想方法，引发学生深

度思考.

环节七目标检测，作业布置

完成：1.教材第60页练习第3,4题.

2.教材第61页习题7.2第4,5,6题.

练习(第60页)

1.举出两个离散型随机变量的例子.

【解析】(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的次数；

(2)某公共汽车站1分钟内等车的人数.

2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，

并说明这些值所表示的随机试验的结果.

(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；

(2)某足球队在5次点球中射进的球数；

(3)任意抽取一瓶标有15()()mL的饮料.，其实际含量与规定含量之差.

2.【解析】

(1)抛掷两枚骰子所得点数之和，能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别为2,

3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.

2表示抛掷两枚骰子得到的结果为11；

3表示抛掷两枚骰子得到的结果为12；21；

4表示抛掷两枚骰子得到的结果为13；22；31；

5表示抛掷两枚骰子得到的结果为14；23；32；41；

6表示抛掷两枚骰子得到的结果为15；51；24；42；33；

7表示抛掷两枚骰子得到的结果为16；61；25；52；34；43；

8表示抛掷两枚骰子得到的结果为26；62；35；53；44；

9表示抛掷两枚骰子得到的结果为36；63；45；54；

10表示抛掷两枚骰子得到的结果为46；64：55；

11表示抛掷两枚骰子得到的结果为56；65：

12表示抛掷两枚骰子得到的结果为66.

(2)某足球队在5次点球中射进的球数能用离散型随机变量表示，各随机变量可能的取值分别

为0,1,2,3,4,5

()表示5次点球中射进()球；1表示5次点球中射进1球；2表示5次点球中射进2球；

3表示5次点球中射进3球；4表示5次点球中射进4球；5表示5次点球中射进5球.

(3)任意抽取一瓶某种标有150()mL的饮料，其实际量与规定量之差，不能用离散型随机变量

表示.

3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得()分.已知某运动员罚球命中的概率为

0.7,求他罚球1次的得分的分布列.

3.【解析】设此运动员罚球1次的得分为则乙的分布列为

Y

q01

p0.30.7

(注：J服从两点分布)

4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列.

【解析】由已知，抛掷一次一•枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为尸=g,

记正面向上的次数为X,则X可取0,1,2,

...p(x=o)=h-lkUl-lI1

,P(X=1)=+1—x—=—,

2J42I2I222

P(X=2)=^x^-=i

224

所以正面向上的次数X的分布列为:

X012

J_]_

p

424

习题7.2（第60页）

1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯.

（1）写出随机试验的样本空间;

（2）设他可能遇到红灯的次数为X,写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件.

【解析】（1）设在一个路口遇到红灯记为1，遇到绿灯记为0,用（毕生％，々）表示他经过四个

路口所遇到红绿灯情况，其中茗&二1，2,3,4）表示第i个路口的情况，则随机试验的样本空间

0={(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1.0),(0,0,1,1),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,1,1,1),

(1,0,0,0),(1,0,0,1),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(1,1,0,0),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(11,1,1)}

（2）设他可能遇到红灯的次数为X,则X的可能取值为（）、1、2、3、4；

X=0表示{(0,0,0,0)},x=1表示{(0,o,o,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0)),

X=2表示{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)},

X=3表示{(0,11,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,L0)},X=4表示{(1,1,1,1)}.

2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为:

X0123

P0.20.30.150.45

试说明该同学的计算结果是否正确.

2.【解析】根据分布列的性质可知：分布列中所有概率之和等于1,而题目中

0.2+0.3+0.15+0.45=1.1^1,所以该同学的计算结果不正确.

3.在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀.某位同学跑1km所花费的时间X是

离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量?

3.【解析】若随机变量X只取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量，在某项

体能检测中，跑1km时间不超过4min为优秀，某同学跑1km所花的时间X是连续的，所以某

同学跑1km所花费的时间不是离散型随机变量，而是连续型随机变量；

如果只关心是否优秀，只需要定义一个两点随机变量就可以了，如下：

[0,跑1km所用时间＞4min

X二「曲小的田叶向，此时X是离散型随机变量，它仅有两个取值0,1,其中1表

[1,跑1km所用时间W4mm

示优秀，0表示不优秀.

4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：

X678910

P().05().15().250.350.20

如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？

4.【解析】若射手射击一次为优秀，则他射中的环数为9、10环，

其概率为尸=P（X=9）十尸（X=1（））=（）.35+0.20=0.55,故他射击一次为优秀的概率是0.55.

5.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学

只能背诵其中的6篇，试求：

（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；

（2）他能及格的概率.

5.【解析】（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X,则X是一个随机变量，