利用导数解决不等式问题（含比较大小、不等式恒成立（有解）、证明不等式等）（7大基础题型+能力提升+拓展提升）解析版-2025-2026学年高二数学下学期

利用导数解决不等式问题（含比较大小、不等式恒成立（有

解）、证明不等式等）（7大基础题型+能力提升+拓展提升）

/题型一比较大小;

，逊二财等式

题型三不等式恒成立问题

/基础达标题题型四不等式有颦问金｝

/V-题型五证明非数列型不等式）

_____________________/4题型N证明数列型不等式

利用导数解决不等式问题'■题型七双变星不隼式问题

能力提升题

拓展提升题

A基础达标题,

题型一比较大小

1.（25-26高二上•云南昭通•期末）已知〃=ln痒b=~,c=苧，则a,b,。的大小顺序为（）

e6

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】A

.rzIn2In4.1IneIn9In3...\nx...，,、1-Inx

【解析】«=lnV2=—=—,h=-=—,c=—=—,令。（x）=—,则夕（x）=——,

24ee63xx~

当x次时，（p\x）<0,函数玄幻=叱在［e,+8）上单调递减，

X

又e<3<4,所以We）>8（3）>o（4）,所以小>里>里，所以a<c<b.

e34

故选:A.

2.（24-25高二上•湖南长沙•期末）设。=竽，力=黑，c=g则①b,C的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解答过程】设/（》）=中，（x>0）,则/'"）=空竺.

令/'(x)>0得0cx<e,所以函数/(x)在区间(0,e)单调递增.

因为6<2<e，所以

lnV3ln21In31n21

即HI1一^<<<一，&J—7=<-<-,所以

石2e2j32c

故选：B.

3.(2526高三上•天津和平・月考圮知函数/(x)-x+sinx,xuR,若〃一/(1鸣3)"-/(1。&2),c-f(2~2),

则a,b,c的大小关系为()

A.a>h>cB.c>h>aC.a>ohD.b>a>c

【答案】A

【解析】/'(x)=l+cosx20,则/(“在R上单调递增.

乂log,3>log22=1,log32<log33=1,

/1(i

2

注意到2,=16>3^=3,则2>34=1叫2>1啕3[=7=2-2,RiJlog23>log32>2-,

因为/(x)在R上单调递增.

所以〃log23)>/(log32)>/(2-2),

R|J«>Z>>c.

4.(多选)(24-25高二下•江苏无锡•月考)若b为正实数,且。>6,则下列不等式中一定成立的是

()

A.In。>\nbB.a-b<za-e'C.alna>b\nbD.ea>-a2+a+\

2

【答案】ABD

【解析】对于选项A,由于。>/)〉()，根据对数函数的性质，对数函数在正实数范围内是递增的，因此lna>13

一定成立，故A正确；

对于选项B,将不等式变形为设/(x)=e，-x,则/")=炉-1,当x>0时，因此在(0,+功

上是增函数.由于力>0,有八a)>f(b),即〃>丁一人，从而一定成立，故B正确；

对于选项C,设g(x)=xlnx,则g'(x)=lnx+l.当()<x<2时，/5)>0,当时，g'(x)>0.因此，g(x)

ee

在(0」)上是减函数，在(1,+8)上是增函数，由于a>Z)>0,Hno>blnb不一定成立，因为。和人可能位于

ce

g。)的不同的单调区间，故C错误:

对于选项D,设h(x)=ex-(1x2+x+1),则/«x)=ex-(x+l).

设k(x)=//(x)=er-(x+i),则k\x)=eJ-l.

当工>()时，k\x)>0,因此-x)在(0,+8)上是增函数.

由于A(0)=0,所以当x>0时，和)>0,即，(x)>0,

因此〃(x)在(0,”)上是增函数.

由于力(0)=0,所以当x>0时，A(x)>0,

即e、>g/+x+l一定成立，故D正确.

故答案为ABD.

题型二解不等式

1.(23-24高二下•福建厦门•期中)已知函数/(x)的定义域为R/V)是的导函数，且/(2)=3,

则不等式./(x)>x+1的解集为()

A.(f,2)B.(-2,2)C.(2,+co)D.(f,+8)

【答案】A

【解析】令g(x)=/(x)—x,对g(x)求导，得g'(x)=/'(x)-l，

v/(x)<1=g'(x)<0,即g(x)在R上为减函数,

v/(2)=3,

.•.g(2)=/(2)—2=3—2=1,

不等式/(x)>x+l可化为不等式f(x)—x>l,即g(x)>g(2),

由g(x)在R上为减函数得x<2,

•••天等式的解集为何工<2}.

故选:A

2.设函数/(x)是定义在R上的偶函数,/'(X)为其导函数，当RV0时,且/设)=0,则

不等式△立<0的解集为()

A.(-1,O)U(O,I)B.(-l,0)U(l,+oo)

C.(-oo,-l)U(l,+<x>)D.

【答案】D

【解析】当x<()时，xff(x)-f(x)>0,

令/⑺=回，...1，(》)=人’(")：/))>0,

X厂

则尸(X)在(y>,0)单调递增,

乂・・・/(X)是定义在R上的偶函数，且/⑴=0,

.•.产(力=△^是卜卜.0｝上的奇函数，则/==b(一1)二一月(1)=0,

X

故函数尸(X)的图像可以为:

尸(x)=△*<0的解集为(7),—l)U(0,l).

X

3.(24-25高二下•安徽•月考)已知定义域为R的函数/(x)满足/.⑴=L且〃x)+/'(x)<0,则不等式

e

/卜+1)>与的解集是()

e

A.(2,+oo)B.S，2)C.(0,-KO)D.S，0)

【答案】D

【解析】令g(x)=e'f(x),则g(x)=e[/(x)+/'(x)]<0,

所以g(x)在R上单调递减，

因为g(l)=e"(l)=l,

所以不等式+可变为+即g(x+l)>g(lj,

e

所以x+1<1,即x<0,

所以不等式/(X+l)>一1的解集为(—,0).

e

故选：D.

4.(24-25高二下•河南驻马店•期末)定义在R上的奇函数/(4)(/(x)不是常数函数)的导函数为/'(力,

当*0时・，恒有3/(x)+矿(力20,则不等式//(x)<(3x-iy/(3x-l)的解集为()

【答案】A

【解析】根据题意可构造函数g(x)=d/(x),

则g'(x)=3x2/(x)+x3/(x)=X2[3/(X)+xf(x)],

因为当xN()时，3/'(x)+矿(x)20,则屋%)=/[3/(》)+矿(x)]20,

所以g(x)=x»(x)在区间[0,+oo)上为增函数，

又由于y=d为奇函数,/(x)为奇函数，所以g(x)=x»(x)为偶函数,

则g("=x»(X)在区间(0]上为减函数,

又//(x)<(3x-l))(3x-l),即g(x)<g(3x—1),

所以国解得或

则不等式xV(x)<(3xT)3/(3xT)的解集为

故选：A.

5.(2025高二•全国•专题练习)设/(力为R上的奇函数，当K20时，/'(x)-8sx<0,则不等式

/(x)<sirw的解集为

【答案】(0,+8)

【解析】令夕(x)=/(x)-sinx,所以当xNO时,^(x)=/(x)-cosx<0,

所以。(x)在[0,+8)上单调递减，

又f(x)为R上的奇函数，所以。(x)为R上的奇函数，

所以。(x)在(7,0]上单调递减,故8(x)在R上单调递减且仪0)=0,

不等式/(x)<sinx可化为/(x)-sinxcO,即9(x)<0,即夕(x)〈夕⑼,故x>0

所以原不等式的解集为(0,+/).

题型三不等式恒成立问题

1.(2025•安徽蚌埠•模拟预测)己知函数/*)=%公)+巴，其中。〉0.

X

(1)当。=1时;求函数/(X)的图象在X=1处的切线方程；

(2)若/(x)2In〃恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)当。=1时，/(x)=hx+l,则/(外二工-士

XXx~

所以/'(1)=0,又/。)=1,

则所求切线方程为y=i.

(2)/(x)2Ina=ln(ax)+g2ln〃=lnx+区20,其中x>0,

xx

所以问题转化为-xlnx(x>0)恒成立，

记g(x)=-xlnx,贝i」g'(x)=-lnx-l,

令g'(x)>0,得0<xv1；令g'(x)vO,得x>,，

ee

(iAn、

所以g(x)在0，-上单调递增，在一,+8上单调递减，

I力keJ

g(x)的最大值为所以心L

\c7ce

2.(25-26高三上・安徽滁州•期末)已知函数/(x)=(x+a-l)e、T,aeR.

⑴若4=1,求曲线歹=/(力在点(()J(O))处的切线方程；

⑵若/(x)NO恒成立，求实数。的取值范围；

(3)若Ovavl,x>0,证明：f(x-a)+x-a>ln.r+f/-l.

【解析】(1)当〃=1时，f(x)=xcx-x,求导得/'(x)=(x+l)e、-l,

〃="0)=0,/(0)=0,

曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程为产0.

(2)/⑺对恒成立，g|j(x+a-l)ev>x,即恒成立,

令g(x)=p7+l，则.

令9(x)=l—x-e，则w'(x)=-l—e'<0,

.,.夕(力单调递减,又。(0)=0,

.,.当xe(y,0)时，0(x)>O,当xe(0,+e)时，o(x)<0,

即不£(一力,0)时，gf(x)>0,g⑴单调递增；

f

xe(0,+”)时，g(x)<0fg(x)单调递减.

「•g(”2=g@=l，故心1.

题型四不等式有解问题

1.(25-26高三上•河南•月考)已知函数/(x)=lnx+2o¥(aeR).

⑴当。二-1时，求函数/W的单调区间;

⑵若g(x)=/(x)-2F,不等式g(x)N-1在［1,+8)上存在实数解，求实数〃的取值范围.

【解析】(1)当。=一1时，/(.¥)=lnx-2.¥,(x>0),

二=由/'(X)>0,得0<人<；,由/'(x)<0,得人〉；，

X/L

所以函数/(X)的单调增区间为(o，；，单调减区间为(；，+8

(2)原条件等价于：g(x)=lnx-2x2+2aCT在［l,+oo)上存在实数解.

化为a>Tnx+21-l在1,+动上存在实数解，

2x

令卜二12苫至二1,

...x\----F4x|—(―Inx+2A~—1)、

则”\_IxJ、)_2r+lnx,

・•・在［l,+8)上,2x2+inx>0,得力'(x)=2/+h、>o,故人(x)在工位)上单调递增,

2厂

・・/(x)的最小值为"l)=g,

二心；时，不等式以“2-1在口,收)上存在实数解.

2.(2024・湖北•模拟预测)已知函数/("=1政，g(x)=£-1其中。为常数.

⑴过原点作/(x)图象的切线/，求直线/的方程；

⑵若3xe(0,+oo),使/(x)Wg(x)成立，求。的最小值.

【解析】⑴/'(x)=J

设切点坐标为(川皿)，则切线方程为=,

因为切线经过原点。，所以-hv=；(T),解得，=e,

所以切线的斜率为1,所以/的方程为工-a=0.

e

(2)3xe(0,+a>),/(x)<g(x),即InxVg-l成立，

X

则得a2x(hu+l)在(0.+8)有解.

故有xe(0,+8)时，a>[x(lav4-l)]mjn，

令=x(ht+1),x>0,/f(x)=lnx+2,

令Y(x)>0得xe：令〃'(x)V0得xw(0,^-),

K单调递增,

单调递减,

所以"(4『哈卜-*'

则心一去故。的最小值为f

3.(25-26高三上•湖北武汉•期末)已知函数/(工)=》+区!-alrx(aeR).

⑴讨论函数/(》)的单调区间;

⑵若叫<l,e]J(x°)S0,求。的取值范围.

【解析】(1)易知函数〃x)的定义域为(0,+8)，且

/,⑴=]_£11_3=/-双-(。+1)=(x+i)[x-("l)]

X2XX2X2

易知x+1>0,x2>0,

所以当a«-l时，x-(a+l)>0,此时/'(x)>0,即/⑺在(0,+8)上单调递增:

当4>一1时，令/'(X)>O,解得X>Q+1,令/'(X)<O,解得0<X<Q+l;

此时〃力在(。+1,+8)上单调递增，在(0/+1)上单调递减；

综上可知时，/(》)的单调递增区间为(0,+司，无单调递减区间；

4>-1时，/(X)的单调递增区间为(。+1,+8),单调递减区间为(0,4+1)：

(2)由(1)可知①当」4-1时，/(X)在(0,+8)上单调递增,

若现可知/(1)40即可,可得。+2«0,

解得a<-2\

②当-1<心0时，”X)在上单调递增，即可得/(M在［旧上单调递增，

此时需满足/(1)«0,即。+2«0,此时无解；

③当0<a<e-l时，结合(1)中结论可知/(x)在「M+1)上单调递减，在(〃+l,e］上单调递增;

所以满足/(。+1)工()即可，即。—aln(“+l)+2K0,

令g(a)=a-aln(a+l)+2,a€(0,e-l),

则g'S)=l-lnS+l)-/y=£-ln(a+l),易知g'(a)在aw(0,e—l)上为单调递减；

又g'(0)=l>0,g'(e-】)=1-l<0,所以存在唯一小40工一1)满足g'(%)=0,

e

因此可得。€(0,%)时,，g'(a)>。，当ae(/,e-l)时，g'(a)<0；

所以函数g(〃)在(0,%)上单调递增，在(为e-1)上单调递减，

又g(O)=2>O,g(e—1)=2>0,厅以当0<a<e—l时不满足a—aln(〃+l)+2工0,不合题意；

④当心e-l时，/")在(O,a+D上单调递减，即可得/(x)在［Le］上单调递减；

所以只需满足〃e)«0,即e+等“40,解得此雪；

2+|

综上可知aK—2或a2——e-.

e-1

re2.1、

即。的取值范围为(-2,-2］D——,+^.

V11

题型五证明非数列型不等式

1.(2025高三•全国•专题练习)证明：cos2x+2x<、在(0,：)上恒成立.

【解析】证明：令函数〃(x)=cos2x+2x,则l(x)=-2sin2x+2,

当时，2xe0,y,则sin2xe(0,l),

所以"(x)=-2sin2x+2>0,则函数/?(x)在(o,；)上单调递增，

所以力(力<力曰=,即8s2x+2%W在位)上恒成立.

2.(24-25高二下•福建福州•月考)已知函数/(x)=F-21nx.

⑴求函数/(x)的单调区间;

⑵求证：当x>2时，/(x)>3x—4.

【解析】(1)依题意如函数的定义域为｛x|c。｝,

12(x+l)(x-I)

・••/k)=2.v-2-=----------------,

Xx

由了(#>0,得x>l;由/(x)<0,得0<x<l

V国的单调增区间为(1，+8),单调减区间为(0,1).

(2|设g(x)=f(x)-3x+4=x2—2lnx-3x+4,

-1°2X2-3X-2(2X+1)(X-2)

•••gix)=Zv-2--3=-----------------=-------------------，

Xxx

,:当x>2时,g'(x)>0,

••・g(x)在(2,+8)上为增函数，

•••g(x)>g(2)=4-2ln2-6+4>0,

二当x>2时，x--2lnx>3x-4,

即当x>2W/(x)>3x-4.

3.(2026高三•全国•专题练习)已知函数/。)=依+1-(招+1)记，aeR.

⑴当4=1时，求曲线)，=/*)在x=0处的切线方程；

(2)当。21时，证明：/(x)2x.

【解析】(1)依题意。=1时，/(x)=x+l-(x+l)e-\则〃0)=0,而/'口)=1+工尸,

故;''(0)=1，

所求切线方程为歹二x.

(2)证明：要证〃x)2x,即证竺2一(〃一1*一140，

e

设g(x)="—(a—l)x—],则g，"一"：(f,

ec

令w(x)=a-ax(a-l)ec,则〃，(x)=-。一(。一l)e',

因为a'l,所以帆'(x)=-a-(a-l)e'£0,因此〃心)单调递减，

又〃7(0)="-1一(4-1把°=0,

所以g(x)在区间(-8,0)上单调递增，在区间(0,*0)上单调递减，

^(g(.r)<g(O)=aX^+1-(a-l)x0-1=0,

e

即竺里_(。_]卜_140,即/(x)2x得证.

ex

题型六证明数列型不等式

1.(24-25高二上•河南商丘・期末)已知函数/(x)=(x+l)lnx,g(x)=at-2(aeR)

⑴若/(xRg(x)对任意的X€[l,+功恒成立，求实数1的取值范围；

⑵求证：ln21n31n4...1n/?>——(w>2,//eN.).

【解析】(1)/?(x)=/(x)-g(x)=(.v+l)hiv-av+2

因为/(x)Ng(x)对任意的恒成立，

设M》)=/(x)-g(x)=(x+l)lru--av+2,所以〃4"1nx在xe[l,+8)恒成立,

x

、儿/\(x+l)lav+2,,、x-1-lar人(、..

设次(x)=-----------,(x)=----——,令〃(x)=x-\-\nx

XX

“3=二130在.丫目1,+的恒成立，所以//(x)=x-l-lnr在[1,4)上为增函数,

X

所以M%)20即加(同之0在xe[L+8)恒成立，所以函数加(%)在[1,+oo)为增函数；

所以加(1)=2,所以。的取值范围为(-8,2].

(2)(2)由(1)知，令a=2,(.v+l)lnx>2(x-l),

.•.当时，lnx22(x1),且当且仅当x=l时lnx=2("”

x+\x+1

令则hw>2(”1)

n+1

c2x1,_2x2,,2x3，/、2(〃-3)/、2(n-2)2(n-l)

即In2>——,In3>——,ln4>——In(〃-2)>----------,ln(/7-l)>-----------,\nn>---------,

345n—\nn+l

2.(2025・陕西咸阳•三模)已知关于x的函数/(x)=ax-lnx-(l+ln2).

(1)讨论/(%)的单调性;

(2)证明：当〃eN*时，In(lx2x3x…x〃)v//一“In2・

【解析】(1)由/(x)=at—lnx—(1+In2)得/"(x)=q(x>0)

X

知当a40时/'(x)<0=>f(x)在(0,+oo)上单调递减

(2)由(1)知4=2时/(X)在()，；)上单调递减，在(g,+8)上单调递增,

/(x)>/—1=0,即有hit42工一1一ln2(x>0),

12J

/.Inl<2-l-ln2=l-ln2.

In2<4-l-ln2=3-ln2

ln3<6-1-ln2=5-ln2

lnw<2w-l-ln2

以上各式相力口得：Inl+ln2+ln3+......+ln/?<(1+34-5+---+(2n-l|)-/71n2,

ln(lx2x3x---x//)</r-n\n2.

题型七双变量不等式问题

/(x)=alnx+-x+^-(a*0)

1.(24-25高二下•四川眉山•月考)已知函数4x'

⑴讨论函数/（X）的单调性;

⑵设g（x）=2--〃*（32.718…为自然对数的底数），当时，对任意存在/式1,3）,

6

使g（M）2/（xJ,求实数加的取值范围.

【解析】（1）由题意可知：函数/（X）的定义域为（0,+8）,

..一,/\"13a2x2+4UA-\2U2（x-2a）（x+6a）

K/（.r）=-+--r=------------=------------乙，"。，

x4x-4r4x~

①当"0时，令/"（X）>0得x>2〃：令/'（X）<0得0<x<2a；

可知/（x）在（2。,+8）内单调递增；在（0,2a）内单调递减；

②当4<0时,令/'（x）>0得x>-6o；令/'（X）<0得0<X<—6〃；

可知/'（X）在（-6亿+8）内单调递增,在（0、-&1）内单调递减：

综上所述：当〃>（）时，/（x）在（2d+。）内单调递增；在（0,2。）内单调递减;

当a<0时，/（X）在（一6。,+力）内单调递增，在（0,—6/）内单调递减.

（2）当。=-短时，由（1）可知：函数/（x）在（e,e）上递增，在（0,e）上递减，

即当x=ee（l,3）时，函数取得极小值，同时也是最小值/（e）=-2e+Je+《e=1e.

64126

若对任意存在此e（l,3：|,使g（xJZ〃X2），

2r

等价于为g（xjN：c,BP2x-Wc>lc,整理可得.<2广一方，

o6m-；

Y91

-

构建力（力=上二丈贝!〃（x）=-2(x-l)+2+-e

-=—'-----:-----------

e

由〃(x)=0,得了=1+,1+展，或x=]_Jl+\(舍)，

当1WX<1+J1+^时,//(x)>0；当l+Jl+展V+W4时,〃(6<0：

可知函数力（X）在1,1内单调递增，函数〃（月在1+4内单调递减,

则当x时，〃（力取得极大值同时也是最大值,

LtZriZXH”.

力(1)二—^=二」力(4)=-3—=

cc6c4c46c

可知刈1)<力(4),则函数力(x)的最小值为。(1)=C-；,

e6

可得〃叱士2一1所以实数〃?的取值范围为(一如2-一1工-.

e6Ie6」

X+］

2.(2025,辽宁•一模)已知函数〃x)=—为自然对数的底数).

e

(1)求函数/(X)的单调区间;

(2)设函数0(刈=切(用+4")+二，存在实数M，x2e［0,l］,使得2。(3)<。但)成立，求实数f的取值范

e

围.

【解析】(1)•.・函数的定义域为R,r«=-4

e

・•・当x<0时，/"(x)>0,当x>0时，/V)<0

・•・/(x)在(f,0)上单调递增，在©+8)上单调递减

(2)假设存在内,々€［0』，使得2例芭)<以々)成立，则2［贝叨mm<［火切max.

*•-(P［x)=xf(x)+厅(x)+E'=/+(7b+1

e

•••0(x)=-'(I+')1_—/)、'——

exex

当ZN1时，^(x)<0,斜用在［O,1］_L单调递减，2奴1)〈次0),即/

②当/<0时，>(外>0,Qx)在［0』上单调递增，2奴0)<次1),即/<3—2e<0

③当0<r<1时，

在XWJI,夕(x)<0,(p(x)在［0,4上单调递减，

在KW工119(x)>0,dx)在［覃］上单调递增，

所以2以/)<max{双0)@⑴},即2^<max{l,—}----------------------(*)

ee

由(1)知，g⑺=2号在［0』上单调递减，

4/+123-t3

故而-<—<<,所以不等式(*)无解

eeeee

综上所述，存在reJ»,3-2e)U(3-1+oo),使得命题成立

B能力提升题

1.(24-25高二下•四川达州•期末)定义在R上的函数/(x),且川)=3,对WxwR,2/(x)+r(x)<0,则

不等式冬<±7的解集是()

e'e"

A.(—1)B.(1,-HC)C.(c,+oo)D.(-oo,c)

【答案】B

【解析】VxeR,2/(x)+r(x)<0,

构造爪x)=/(x)e2『

所以尸")=/3/1+/").2/-2=/一[/，(、)+2/«)]<0,

所以在R上单调递减,，RF(l)=/(l)e2xl-2=3,

不等式绰<£_可化为即“*)〈尸⑴，所以

e-e-K

所以原不等式的解集为(1,一).

故选：B.

2.(2025而二•全国•专题练习)已知a=e0°s/=lnVrT+l,c=5/n,则()

A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【解析】因为析>x+l,x>lnx+l,

所以e°」>l.l=e0°s>m>lnm+l=W+l,所以a>c>6.

2

故选:D.

3.(24・25高二下•广东深圳・期中)已知函数人可及其导函数/。)的定义域均为R,若/(-2)=3,且

f(x)+xf(x)>01贝I」不等式(3.——5》)/(3/一5.丫)〈一6的解集为()

A.^0,|B.C.~,。)=停+8)D.(-X,-1)U(1,-KO)

【答案】B

【解析】令g(x)=M(x),因为/(x)+M'(x)>0,所以g'(x)=f(x)+4(力>0,

所以g(x)在R上单调递增.

乂/(一2)=3,所以g(-2)=-6,

因此不等式(3,-5x)/(3/-5x)<-6可化为g(3f-5x)<g(-2j,

2

所以3x?—5x<—2，解得§vx<1，

即不等式(3——5x)/(3Vft)<-6的解集为(|,1、.

故选：B.

4.(24-25高二下•四川广元•期中)设函数“X)是R上可导的偶函数，且/(3)=2,当》>0,满足

2/(小矿(工)>0,则〃/(力<18的解集为()

A.(一°°,3)B.(-3,-Ko)C.(-3,3)D.(-«?,-3)u(3,+<x>)

【答案】C

【解析】令g(X)=4/(X),

・••函数/(X)在(-CO,+8)上是可导的偶函数，

・•.g")=x2/(X)在(-8,”)上也是偶函数

又当x>0时,2f(x)+xf\x)>0,2xf(x)+x2f(x)>0,

•••g'(x)=2V\x)+力(x)>0,

•••g(x)=x2f(x)在(0,+oo)上是增函数

v/(3)=2,

由?/(x)<18得x2f(x)<18=32/(3)

即不等式转化为g(|x|)<g(3),

••.x不为0时有|x|<3,

而工为0时，不等式显然成立，

二不等式的解集为(-3,3).

故选:C.

5.(24-25高二下•辽宁•期末)已知。=ln]/)_/4，则()

3"一J4

A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】设/(X)=3M-X(X>0)，Wijr(x)=—^-l=tan2x>0,

cos'x

・•・/(x)在(o,+8)上单调递增，则/(x)>/⑼=0，

11八口n11,an1<

tan--->0,BPtan->-,/jj=en>e«：

设g(x)=ev-x-l(x>0),则g")=e'-1>0,

，g(x)在(0,+8)上单调递增,则g(x)>g(O)=O,Bpev>x+l(x>0),

tanl1115

b=ex>es>1H—>1+—=—=c>1>

7i44

8

又a=In§<Ine=1,:.b>c>a.

故选：C.

6.侈选)(24々5高二下•山东青岛・期中)已知正数明〃满足八岛百八忌菽,则下列结论

正确的是()

A.2ff-/7+,>2B.Intz+a<In夕+夕

1141111

C.—+—>-------D.—+—>—T+—

apa+/3e"ae'p

【答案】AC

【解析】由题设「一忌菽""一/『令/O-京一且x>。，

令g(x)=2x+sinx,则g'(x)=2+cosx>0在(0,+8)上恒成立，即g(x)在(0,+8)［：单调递增,

根据复合函数及指数函数的单调性易知/(x)在(0,+8)上单调递增，而/(。)>/(成)，

所以尸〉0.故2。一夕”>2，A对；又lna>lnP，则lna+a>ln/?+〃，B错:

由分力(*)=2+介产+2卷〃•a拆4,显然等号不能成立,

ap

所以(,+!)(a+〃)>4,+C对；

apapa+

由则与>5>0,又则4+D错.

epePaeae"/?

故选：AC

兀71

7.己知定义在上的函数/'(x)满足，(r)=/(x),且当时，/(x)tanr+/(x)>0,且有

252

f三卜2,贝IJ/(X)<4COSY的解集为

兀71

【答案】

I33；

【解析】因当时，cos.¥>0,则由/(K)tanr+/'(K)>0可得/(x)sinx+/'(x)cosx>0,

令g(x)=犯，0<x<"则网=£^叵孚⑻呵>0,故g(x)在卜外上单调递增,

cosx21cosxJcos-xL2/

因/(、)为‘上的函数且满足/(T)=/(X)'

则g(T)=盘w上的偶函数,

因时cosx>0,则/(x)<4coat即g(x)<4,也即g(d)<g]?

结合g(x)的奇偶性和单调性可得，|x|vg,解得-

n兀'

3,3/

8.(25-26高三L北京丰台•期中)己知函数/(木)-卜(1一%).

⑴求曲线》=/(》)在点(oj(o))处的切线方程；

⑵求证：当xc(-8,0)时，/(X)>—%

【解析】(1)••./(”定义域为(f1),/'(力=一」，・.・/'⑼=一1，又/⑼=0,

)=/⑺在(0,/(0))处的切线方程为y=-X.

(2)令g(x)=ln(l-x)+；x2+x(x<。)，

则g")=一占+x+l=一三<0,，g(x)在(F,0)上单调递减,

.-.g(x)>g(O)=O,BPSxc(-oo,0)f(x)>-^x2-x

(3)要证/(x-a)+x-。>lnx+a-1,0<«<1,

即正(X-1)e-1nx-a+1>0,0<4<1,

令h(x)=(x-l)ev°-liiv-67+1,

则"(x)=xc'F—g,令s(x)="(x),

,r-fl

5(x)=(x+l)e+-!r>0,

.•.”(x)在(0,e)单调递增，

又="J)=1er<1-2<0,1(1)=e〜-l>0,

使得力'(无)=0，

即为e'『"-=0,故〃=Xo+21nx),

X。

.•.当xw(0,%)时.〃(x)<0,”x)单调递减:

当x«Xo，+8)时，//(x)>0,力⑴单调递增,

2lav

4(x)>//(x0)=(x0-1)e"-lnr(1-x0-21DA0+1=-----y-31ru0-x0+1,

工0X。

,/x>0Ihf,InxWx-l恒成立，lnx0<x0-1,

•・小)」43gf+1之q_4ao_1)=垣皿辔2

x。x0

又'/，.,(七一1)。一2%)(1+2%)〉0,

故4(力2力(%)>0,

，CYQ<1,x>0时，f(x-a)+x-a>\nx+a-\.

9.(2025裔二•全国•专题练习)设0<x<l.

,、-X1xsinx

(1)证明：一一7式——；

X6x~

(2)若ax-上<sinx,求a的取值范围.

6

r3

【解析】(1)设g(x)=sinx+-----x(0<x<1),

6

2

(4

则g'(x)=cosx+:----l,g*(x)=x-sinx,

令/(x)=%-sinx(。<%<1),则/'(x)=l-cosx>0,

所以/(X)在(0,1)上单调递增，所以/(x)>0,所以g〃(x)>0.

所以g(x)在(0,1)上单调递增，所以g'(">0,

所以g(x)是增函数，得g(x)〉g(0)=。，即0cx<1时，sinx+-■-x>0,

6

所以sinx>x-J,因为0cx<1,所以』>0，

6

在不等式sinx>x-二的两边同时除以f得1一5<手，得证.

6x6厂

(2)令例x)=sinx+,一or(0<x<l),

2

则力'(X)=COSX+M—4,/?"(x)=-sinx+x,

由第(1)问的证明过程可知，当.VG(0,1)时，x-sinx>0,

故6"(x)=x-sinx>0,贝在(0,1)上单调递增.

①当。时，易知A'(x)>〃(0)=l—〃20,所以力(x)在(01)上单调递增，

所以心)>〃(0)=0；

②当01时，//(0)=1-67<0,由函数的连续性可知却£(0,1),使得R6(O,Xo)时，hf(x)<0,所以A(x)在

(0,%)上单调递减，此时咐)〈力(0)=0,与“当0cx<1时，/?(x)=sinx+E-">0恒成立"矛盾，所以

6

不成立.

综二可知，当时，h(x)>0,BPav--<sinx,

6

所以〃的取值范围是(YO,1].

10.(25-26高二上•河北石家庄•期末)已知函数/(x)=hu+x-lTn〃，〃cN'，记/(x)的零点为4.

⑴求q：

⑵求数列｛%｝中的最小项：

n2(

⑶证明：自7>4(471—1)

【解析】(1)当〃=1时，/(x)=hx+x-l,定义域为(0,+8),

/⑴=1+[>()在(0,+巧上恒成立，

所以/(x)=hu+x-l在(0,+8)上单调递增,

又"1)=0,所以/(x)有唯一零点1,

即4=1;

(2)由/("的零点为凡,

得%+In%=ln〃+1,=>%+Inq-i=In(〃+1)+1,

两式相减得：一①+In^-hH=ln—>0,

+1n

即。川+1吟”>凡+1忆，

,

令g(x)=x+\nx,则g(x)=l+->0在(0,+e)上恒成立,

X

所以g(“在(0，+8)上单调递增，

所以由%।+In%>a„+g,得到g(%)>g(见).

所以—>为，所以数列｛可｝是递增数歹U,

所以数列｛%｝中的最小项是《二1：

(3)^-h(x)=x-\-\nx,则/(力=二1,

当x«o,i)时,/r(x)<o,力(x)在(0,1)上单调递减,

当XW(l,+8)时，/f(x)>o,〃(x)在(1,+8)上单调递增，

所以A(x)NA(l)=0,当且仅当x=l时,等号成立,即x-121nx.

因为lnqt+an-1-ln/7=0,所以ln〃=\nan+an-\>2\natl,

所以"〈咨,

=4(J?+1—Jli),

所以