2026北师大七年级下册数学全等三角形动点问题专题训练

2026北师大七年级下册数学全等三角形动点问题专题训练引言全等三角形是平面几何的入门与基石，而动点问题则是这一基石上富有挑战性的延伸。它不仅考察我们对全等三角形判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）的熟练掌握，更要求我们具备动态思维、空间想象以及从变化中寻找不变量的能力。在北师大版七年级下册的学习中，这类问题常常作为综合题出现，既是难点也是区分度的体现。本专题将带你深入探究全等三角形中的动点问题，通过方法梳理与实例剖析，帮助你掌握解决此类问题的关键思路与技巧。一、解题核心思路与方法面对动点问题，同学们往往会因图形的“动”而感到困惑。其实，解决动点问题的核心在于“动中求静，以静制动”。具体来说，我们可以遵循以下步骤：1.仔细审题，明确运动要素：*确定动点的起点、运动方向、速度（或速度关系）、运动范围（是否有终点或边界限制）。*关注图形中其他几何元素的性质（如线段相等、角相等、平行、垂直等），这些往往是构建全等条件的关键。2.化动为静，设元表示：*选择一个合适的时间参数（通常设为`t`，表示运动时间）。*用含`t`的代数式表示出动点在某一时刻的位置，以及相关线段的长度、角的度数等。这是将动态问题转化为静态代数问题的桥梁。3.明确目标，构建全等条件：*根据题目要求，明确在什么情况下会出现全等三角形？是哪两个三角形可能全等？*回顾全等三角形的判定定理（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），结合已知条件和用`t`表示的量，分析需要满足哪些等量关系才能使目标三角形全等。4.列方程求解，检验反思：*根据全等条件列出关于`t`的方程（或方程组）。*解方程，得到`t`的值。*关键：将求出的`t`值代回原题，检验动点的位置是否符合运动范围，所得到的三角形是否确实全等，以及是否存在多解情况。二、专题训练与例题精讲（一）直线上的动点与全等例题1：如图，在数轴上，点`A`表示的数为`-2`，点`B`表示的数为`6`。点`P`从点`A`出发，以每秒`1`个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时点`Q`从点`B`出发，以每秒`2`个单位长度的速度沿数轴负方向运动。设运动时间为`t`秒（`t≥0`）。（1）用含`t`的代数式表示：`t`秒后，点`P`表示的数为________，点`Q`表示的数为________，线段`PQ`的长度为________（直接写出结果，用含`t`的代数式表示）。（2）在点`P`和点`Q`的运动过程中，是否存在某一时刻`t`，使得`AP=BQ`？若存在，求出`t`的值；若不存在，说明理由。（3）在点`P`和点`Q`的运动过程中，是否存在某一时刻`t`，使得以`O`（原点）、`P`、`Q`为顶点的三角形与某个特定三角形全等？（本题可根据教学进度，设定一个简单的特定三角形，如与`△AOB`全等，其中`O`为原点，`A`、`B`为已知点）思路分析：本题是数轴背景下的动点问题，本质是直线上的动点。第（1）问直接考察用代数式表示动点位置和线段长度。第（2）问是简单的等量关系建立。第（3）问则引入全等，需要明确全等的对应关系。详解：（1）点`P`从`-2`出发，速度为每秒`1`个单位长度向正方向运动，`t`秒后，点`P`表示的数为`-2+t`。点`Q`从`6`出发，速度为每秒`2`个单位长度向负方向运动，`t`秒后，点`Q`表示的数为`6-2t`。线段`PQ`的长度为两点表示的数之差的绝对值，即`|(-2+t)-(6-2t)|=|3t-8|`。（2）`AP`的长度为点`P`运动的路程，即`1×t=t`。`BQ`的长度为点`Q`运动的路程，即`2×t=2t`。若`AP=BQ`，则`t=2t`，解得`t=0`。此时点`P`与点`A`重合，点`Q`与点`B`重合，符合题意。故存在时刻`t=0`，使得`AP=BQ`。（3）（此处假设特定三角形为`△OAB`，其中`OA=2`，`OB=6`，`∠AOB=90°`）要使`△OPQ`与`△OAB`全等，由于`∠POQ`也为`90°`（在数轴上，原点与两点构成的角通常为平角或直角，此处`P`、`Q`分别在原点两侧运动时，`∠POQ`为`180°`，需注意。若`P`、`Q`在同侧，则`∠POQ`为`0°`，故此处可能题目设定或需更细致分析，为简化，假设`P`在原点左侧，`Q`在原点右侧，形成`∠POQ=180°`不合，故可能需要调整特定三角形或运动方向。此例重点在于方法演示，具体可根据实际教学设定调整。）反思：此问设置需更严谨，七年级下册学生主要掌握基本判定。可改为：在`P`、`Q`运动过程中，是否存在某时刻，使得`△OAP`与`△OBQ`全等？`OA=2`，`OB=6`，`∠AOP=∠BOQ=90°`。若`△OAP≌△OBQ`（SAS），则`OA=OB`（不成立），`AP=BQ`且`OA=OB`（不成立）。若`△OAP≌△QBO`（SAS），则`OA=QB`，`AP=BO`。即`2=2t`且`t=6`。`2=2t`得`t=1`；`t=6`时`2t=12≠2`。矛盾，故不存在。（此为示例，具体解题时需根据准确图形和条件进行。）解题反思：直线上的动点问题，关键在于用`t`表示坐标和线段长度，注意绝对值的应用。涉及全等时，务必明确对应顶点和对应边、对应角。（二）三角形边上的动点与全等例题2：如图，在`△ABC`中，`AB=AC=10cm`，`BC=8cm`，点`D`为`AB`的中点。点`P`在线段`BC`上以每秒`3cm`的速度由点`B`向点`C`运动，同时点`Q`在线段`CA`上由点`C`向点`A`运动。设点`P`的运动时间为`t`秒。（1）求`BD`的长度。（2）若点`Q`的运动速度与点`P`相同，当`t`为何值时，`△BPD`与`△CQP`全等？（3）若点`Q`的运动速度与点`P`不同，当点`Q`的运动速度为多少时，能够使`△BPD`与`△CQP`全等？思路分析：本题是典型的三角形边上的双动点问题。第（1）问简单热身。第（2）问速度相同，第（3）问速度不同，均考察全等三角形的判定（SAS或AAS/ASA）。需要根据对应关系列方程求解。详解：（1）∵`AB=10cm`，点`D`为`AB`的中点，∴`BD=AD=5cm`。（2）∵点`P`、`Q`速度相同，均为`3cm/s`，运动时间为`t`秒，∴`BP=3tcm`，`CQ=3tcm`。∵`BC=8cm`，∴`PC=BC-BP=(8-3t)cm`。在`△ABC`中，`AB=AC`，∴`∠B=∠C`。要使`△BPD`与`△CQP`全等，已知`∠B=∠C`，则有两种可能：①`BD=CP`且`BP=CQ`②`BD=CQ`且`BP=CP`对于①：`BD=CP`即`5=8-3t`，解得`t=1`。此时`BP=3×1=3cm`，`CQ=3×1=3cm`，`BP=CQ`成立。∴`t=1`时，`△BPD≌△CQP`（SAS）。对于②：`BD=CQ`即`5=3t`，解得`t=5/3`。此时`BP=3×(5/3)=5cm`，`CP=8-5=3cm`，`BP≠CP`，故不成立。综上，当`t=1`秒时，`△BPD`与`△CQP`全等。（3）∵点`Q`的运动速度与点`P`不同，∴`BP≠CQ`。由（2）知`∠B=∠C`，要使`△BPD≌△CQP`，只能是第二种情况：`BD=CQ`且`BP=CP`。设点`Q`的运动速度为`vcm/s`，则`CQ=vtcm`。`BP=CP`，即`3t=8-3t`，解得`t=4/3`秒。`BD=CQ`，即`5=v×(4/3)`，解得`v=15/4`。∴当点`Q`的运动速度为`15/4cm/s`时，`△BPD≌△CQP`。解题反思：本题充分体现了“分类讨论”思想在全等三角形动点问题中的重要性。当对应关系不明确时，需要考虑不同的对应边组合，避免漏解。同时，速度不同则对应边不可能相等，从而缩小了讨论范围。（三）含角平分线或垂直平分线背景的动点例题3：如图，在`Rt△ABC`中，`∠C=90°`，`AC=BC=6cm`，`AD`平分`∠BAC`交`BC`于点`D`。点`P`从点`A`出发，沿`AB`方向向点`B`匀速运动，速度为`1cm/s`；同时点`Q`从点`D`出发，沿`DA`方向向点`A`匀速运动，速度为`1cm/s`。设运动时间为`t`秒（`0<t<6√2`，确保`P`不超过`B`）。（1）求`AD`的长度（可保留根号）。（2）在`P`、`Q`运动过程中，线段`AQ`与`AP`是否相等？请说明理由。（3）当`t`为何值时，`△APQ`与`△ACD`全等？思路分析：本题背景是等腰直角三角形和角平分线，增加了几何性质的应用。第（3）问需结合角平分线性质和全等判定（AAS或ASA）来分析。详解：（1）∵`∠C=90°`，`AC=BC=6cm`，∴`∠BAC=∠B=45°`，`AB=√(AC²+BC²)=6√2cm`。∵`AD`平分`∠BAC`，∴`∠CAD=∠BAD=22.5°`。在`Rt△ACD`中，`sin∠CAD=CD/AD`，`cos∠CAD=AC/AD`。或利用角平分线性质：`CD/DB=AC/AB`（角平分线分线段成比例定理，七年级下册可能未学，可改用面积法或作垂线）。方法：过`D`作`DE⊥AB`于`E`，则`CD=DE`，`AE=AC=6cm`。设`CD=DE=x`，则`DB=6-x`，`BE=AB-AE=6√2-6`。在`Rt△BDE`中，`∠B=45°`，∴`DE=BE`，即`x=6√2-6`。∴`CD=6√2-6`，`AD=√(AC²+CD²)`（计算略，或在`Rt△ACD`中，`AD=AC/cos22.5°`，此为拓展）。（为简化，此处可直接给出`AD=6/cos22.5°`或根据学生掌握情况调整题目数据，或第（3）问侧重角度和边的对应关系）（2）`AP=1×t=tcm`。`AD`的长度在（1）中可求出（设为定值`m`cm），则`AQ=AD-DQ=(m-t)cm`。若`AQ=AP`，则`m-t=t`，`t=m/2`。故当`t=m/2`时，`AQ=AP`。具体数值取决于`AD`的计算结果。（3）`△ACD`中，`∠C=90°`，`AC=6cm`，`∠CAD=22.5°`。`△APQ`中，`∠PAQ=∠CAD=22.5°`（公共角或等量代换）。要使`△APQ≌△ACD`，已知`∠PAQ=∠CAD`，则可能：①`∠AQP=∠C=90°`，`AQ=AC`②`∠APQ=∠C=90°`，`AP=AC`对于①：`AQ=AC=6cm`，即`m-t=6`，`t=m-6`。`∠AQP=90°`，则`PQ⊥AD`。在`△APQ`中，可利用三角函数求出`AP`，进而求出`t`，并检验是否与`t=m-6`一致。对于②：`AP=AC=6cm`，即`t=6`。`∠APQ=90°`，则`PQ⊥AB`。在`△APQ`中，可求出`AQ`，看是否等于`AD-DQ=m-t`。（具体计算需依赖`AD`的值，此处重点展示分析过程）解题反思：在复杂背景下，要善于利用已知的几何性质（如等腰直角三角形、角平分线）