2027届新高考数学热点精准复习函数的对称性

2027届新高考数学热点精准复习函数的对称性1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.课标要求1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数的图象关于______对称,偶函数的图象关于______对称.(2)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为____________;若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)的图象的对称中心为____________.原点y轴x=a(a,0)2.若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a对称;若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点____________对称.3.两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于______对称;(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于______对称;(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称.(a,0)y轴x轴原点常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数,则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(

)(2)函数y＝f(x－1)是奇函数,则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称.(

)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0,则f(x)的图象关于y轴对称.(

)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x),则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(

)诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√××√(2)函数y＝f(x－1)是奇函数,则函数y＝f(x)的图象关于点(－1,0)对称.(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1),所以f(x＋2)＝－f(x),故f(x＋4)＝f(x),仅能得出周期为4,无法得出f(－x)＝f(x),故f(x)的图象不关于y轴对称.

B3.已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数,且f(4)＝2,则f(0)＝_________.

4法一由y＝f(x＋2)－3是奇函数,∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3,令x＝2,f(0)－3＝－f(4)＋3,得f(0)＝4.法二由y＝f(x＋2)－3是奇函数,得f(x)关于(2,3)对称,故f(0)＋f(4)＝6,即f(0)＝4.4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称,且当x∈[2,3]时,f(x)＝2x－1,则f(－1)＝____________.

5∵f(x)为偶函数,∴f(－1)＝f(1),由f(x)的图象关于x＝2对称,可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5,∴f(－1)＝5.

考点一自对称中的轴对称

感悟提升

训练1设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x＝2对称,已知x∈[－2,2]时,f(x)＝1－x2,求当x∈[－6,－2]时,f(x)的解析式.当x∈[2,6]时,设函数y＝f(x)图象上任一点P(x,y),点P(x,y)关于直线x＝2的对称点为Q(x1,y1),

即y＝－x2＋8x－15,x∈[2,6].即当x∈[2,6]时,函数f(x)＝－x2＋8x－15,x∈[2,6].又设x∈[－6,－2],则－x∈[2,6],∴f(－x)＝－(－x)2＋8(－x)－15＝－x2－8x－15.又f(x)是偶函数,∴f(－x)＝f(x),∴f(x)＝－x2－8x－15,即当x∈[－6,－2]时,f(x)＝－x2－8x－15,x∈[－6,－2].

考点二自对称中的中心对称

感悟提升

ABC

例3已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(

)A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称 D.关于点(3,0)对称A设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)),所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上,而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1对称,所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.考点三两函数的互对称感悟提升

训练3已知函数y＝f(x)与g(x)＝ln(－x－2)－x－2的图象关于点(－1,0)对称,则f(x)＝____________.

－lnx－x

教材母题(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道,函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y＝f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.(1)求函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心;(2)类比上述推广结论,写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.函数的对称性教考衔接(1)f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2,而g(x)＝f(x＋1)＋2＝x3－3x.满足g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x),即g(x)为奇函数,所以f(x)＝x3－3x2的图象关于点(1,－2)对称.即f(x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1,－2).(2)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.

B

D

B

3.(2026·合肥调研)已知函数f(x)＝ex＋e－x＋2,则(

)A.f(x)关于点(2,0)对称 B.f(x)关于点(－2,0)对称C.f(x)关于直线x＝1对称 D.f(x)关于直线x＝－1对称C对于A,f(x)＋f(4－x)＝ex＋e－x＋2＋e4－x＋ex－2≠0,A错;对于B,f(x)＋f(－4－x)＝ex＋e－x＋2＋e－4－x＋ex＋6≠0,B错;对于C,由f(x)－f(2－x)＝ex＋e－x＋2－(e2－x＋ex)＝0,所以f(x)关于直线x＝1对称,C正确;对于D,f(0)＝1＋e2≠f(－2)＝e－2＋e4,故D错.

A

5.下列函数中,其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(

)A.y＝log2(2＋x) B.y＝log2(2－x)C.y＝log2(4＋x) D.y＝log2(4－x)D设所求函数的图象上任意一点P(x,y),则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x,y),由题意知点Q在y＝log2x的图象上,可得y＝log2(4－x),即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x).

C

B

8.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),且满足f(x)－f(2－x)＝0,则下列说法正确的是(

)A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称 B.函数f(x)的图象关于直线x＝1对称C.函数f'(x)的图象关于直线x＝1对称 D.函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称BD由f(x)－f(2－x)＝0,可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.对f(x)－f(2－x)＝0求导,得f'(x)＋f'(2－x)＝0,则函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称,所以A,C错误,B,D正确.二、多选题9.(2025·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0,f(π)＝0,且对任意的x,y∈R,有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),则(

)A.f(0)＝1 B.f(x)是偶函数C.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期ABC对于A,根据题意,令x＝y,则由f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),可得f(2x)＋f(2x)＝2f(2x)f(0),又f(x)不恒等于0,则f(0)＝1,即A正确;对于B,令y＝－x,可得f(2x)＋f(－2x)＝2f(0)f(2x)＝2f(2x),所以f(2x)＝f(－2x),即对任意的x∈R满足f(x)＝f(－x),即f(x)是偶函数,所以B正确;对于C,令x＋y＝π,则由f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y),可得f(2π－2y)＋f(2y)＝2f(π)f(π－2y)＝0,即f(x)满足f(2π－x)＋f(x)＝0,因此可得f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,即C正确;对于D,由选项C知f(2π－x)＋f(x)＝0,由于f(x)是偶函数,所以满足f(x－2π)＋f(x)＝0,即f(x)＋f(x＋2π)＝0,可得f(x－2π)＝f(x＋2π),即f(x)＝f(x＋4π),所以4π是f(x)的一个周期,即D错误.

三、填空题(1,2)

-1

6

13.设f(x)是R上的奇函数,f(x＋2)＝－f(x),当0≤x≤1时,f(x)＝x.(1)求f(π)的值;由f(x＋2)＝－f(x),得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),所以f(