2027届新高考数学热点精准复习平面向量的数量积及其应用

2027届新高考数学热点精准复习平面向量的数量积及其应用1.理解平面向量数量积的含义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.课标要求

|a||b|cosθ|a||b|cosθ

3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法三步曲:(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.常用结论与微点提醒1.有关向量夹角的两个结论已知非零向量a，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0;若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0;若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.常用结论与微点提醒2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2;(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2;(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

(1)两个向量夹角的范围是[0，π].诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(

)(4)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.(

)(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos<a，b>＝|a||c|·cos<a，c>，所以向量b和c不一定相等.×√2.(人教A必修二P35例11改编)设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，设a，b的夹角为θ，则cosθ＝____________.

3.(苏教必修二P47T12改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝____________.

4.(北师大必修二P113练习T2(2)改编)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，则(2a－b)·(a＋3b)＝____________.

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B考点一数量积的计算如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，设AB＝2a，则A(0，0)，B(2a，0)，C(2a，2a)，D(0，2a)，P(2a，a)，Q(a，2a)，

-15

感悟提升计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义:a·b＝|a||b|cos<a，b>;(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2;(3)利用基底法求数量积;(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.

B

0

角度1

夹角与垂直例2(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(

)A.-2 B.-1 C.1

D.2D考点二数量积的应用法一因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.法二因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D.

D

感悟提升

BD

(2)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为____________.

(3)(2024·新高考Ⅱ卷改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝____________.

考点三平面向量的新定义问题

感悟提升平面向量背景下的新定义问题，通常基于平面向量的方向性和大小，引入新的运算规则或概念.解题时，首先要准确理解新定义的本质，

明确其涉及的向量运算和性质.接着，将新定义应用到具体的题目情境中，通过向量的加法、减法、数乘、数量积等运算，推导出所需的结论.最终，通过综合应用平面向量的基础知识和新定义，解决这类复杂而有趣的数学问题.

ABD

B

B由|a－b|＝2得a2－2a·b＋b2＝4，∵|a|＝|b|＝2，∴4－2a·b＋4＝4，即a·b＝2.

C

C

C

D由题意，∠BAD＝60°，建立平面直角坐标系如图，

A

二、多选题8.(2026·重庆诊断)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(

)A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c)C.a·b≤|a||b| D.|a－b|≤|a|＋|b|ACD根据数量积的分配律可知A正确;B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确;C中，根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos<a，b>≤|a||b|，故C正确;D中，|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.9.(2026·成都诊断)八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中|OA|＝1，则下列结论正确的为(

)ACD

三、填空题10.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式:W＝F·S(其中W是功，F是力，S是位移).一物体在力F1＝(2，4)和F2＝(－5，3)的作用下，由点A(1，0)移动到点B(2，4)，在这个过程中这两个力的合力对物体的所做的功等于____________.

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11.(2026·北京昌平区模拟)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则a·b＝____________;(2a＋b)·c＝_______________.

0-5如图，建立平面直角坐标系，则a＝(1，－1)，b＝(1，1)，c＝(－1，2)，所以a·b＝1－1＝0，2a＋b＝(2，－2)＋(1，1)＝(3，－1)，(2a＋b)·c＝－3－2＝－5.

对于①，若<a，b>＝90°，则|a＋b|＝|a－b|