小学六年级数学下册：成数问题多步应用深度探究与建模教案

小学六年级数学下册：成数问题多步应用深度探究与建模教案

一、教学背景与设计理念

（一）课程定位与内容解析

本节课“成数问题多步应用”是小学数学百分数应用单元的深化与拓展，属于数与代数领域的核心内容。成数作为百分数在生活中（特别是农业、商业、统计等领域）的另一种表现形式，其本质是“十分之几”或“百分之几十”。多步应用则意味着问题情境不再局限于单一、直接的成数计算，而是需要学生综合运用加减乘除四则运算，经历分析数量关系、构建解题模型、选择策略解决问题的全过程。

【重要】本节课内容建立在学生已经系统掌握百分数意义、百分数与分数小数的互化、以及“求一个数的百分之几是多少”、“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”等基本百分数应用题基础之上。通过引入成数概念并融合多步问题，旨在打破学生对应用题的刻板印象，培养其在复杂信息中提取关键数学要素、厘清数量之间内在逻辑联系的能力，这不仅是小学阶段解决问题能力的综合体现，更是为初中学习方程、函数等抽象数学模型奠定坚实的思维基础。

【核心】本节课的核心价值不在于单纯教授“几成”的计算法则，而在于引导学生经历“现实情境数学化”的过程，将生活中的成数语言转化为数学问题，再通过建模与求解回归到对现实问题的解释与预测，从而深刻体会数学的应用价值与工具理性。

（二）学情分析

六年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已具备一定的百分数运算能力和分析简单数量关系的经验，但面对信息量较大、步骤较多、结构相对复杂的成数问题时，往往会出现以下困难：一是信息筛选与整合能力不足，容易被冗余信息干扰；二是对成数背后所对应的“单位1”的识别与转换容易出错，尤其是在“增加”、“减少”、“降价”、“提价”等动态情境中，对变化前后基准量的把握是思维难点；三是缺乏系统规划解题步骤的意识，习惯于“一步一算”，难以形成整体性的解题策略框架。

因此，本课的教学设计必须立足于学生的最近发展区，通过精心设计的问题链和探究活动，引导他们主动拆解复杂问题，化多为少，化繁为简，在对比与反思中逐步构建起解决多步成数问题的思维模型。

（三）设计理念

本教案秉持“以生为本，素养导向”的设计理念，深度融合新课标关于“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”的核心要求。强调“问题驱动”与“模型意识”的培养，将学习过程设计为学生主动建构意义、发展高阶思维的探究旅程。

1.情境真实性：创设源自真实生活的、具有连续性和挑战性的成数问题情境，激发学生内在的学习动机和探究欲望。

2.思维可视化：鼓励学生通过画图、列表、写数量关系式等方式，将内隐的思维过程外显化，便于交流、反思与修正，从而实现思维的深度加工。

3.建模结构化：不满足于个别问题的解答，而是引导学生从不同的问题中抽象出共性的数学模型（如：标准量×（1±成数）），体会模型的普适性，并能够灵活迁移运用。

4.评价多元化：将过程性评价与结果性评价相结合，关注学生在探究过程中的思维参与度、合作交流能力以及模型建构的深刻程度。

二、教学目标

（一）知识与技能目标

1.【基础】进一步理解成数的意义，熟练掌握成数与百分数、分数之间的互化。

2.【重要】能够准确分析多步成数应用题中的数量关系，正确判断每一步计算中作为基准的“单位1”。

3.能够有条理地、连贯地列式解答三步或三步以内的成数应用题，并掌握用不同的方法（如算术法和初步的方程思想）进行检验。

（二）过程与方法目标

1.通过自主探究与合作交流，经历从复杂情境中提取数学信息、提出数学问题、分析数量关系、确定解题步骤、建立数学模型的全过程。

2.学习并运用画线段图、列表格等策略分析问题，培养几何直观和逻辑推理能力。

3.在对比、归纳中，初步建立“求比一个数多（或少）百分之几的数是多少”及其逆问题的多步应用模型。

（三）情感态度与价值观目标

1.感受数学与生活的紧密联系，体会成数在日常经济生活中的广泛应用，增强数学应用意识。

2.在解决具有挑战性的问题过程中，培养克服困难的意志品质和合作学习的团队精神。

3.通过严谨的分析和推理，感悟数学的严谨性与确定性，形成实事求是、一丝不苟的科学态度。

三、教学重难点

（一）教学重点

1.正确理解成数含义，准确找到多步问题中每一步的“单位1”。

2.掌握分析多步成数应用题数量关系的方法，能够清晰、有条理地列式解答。

（二）教学难点

1.【难点】在“单位1”发生变化的连续成数问题中，厘清数量之间的动态关系，正确转换基准量。

2.能够根据具体问题，灵活选择算术解法或方程解法，并对自己解决问题的过程进行反思与优化。

四、教学准备

多媒体课件（包含动态线段图演示、成数生活实例视频）、学习任务单（设计有层次的问题串）、彩色粉笔、学生作图工具（直尺、铅笔）。

五、教学实施过程

（一）唤醒经验，情境导入——链接生活，引出成数

1.教师活动：播放一段关于乡村振兴的新闻短视频，内容涉及某地粮食连续多年丰收，报道中提及“今年某村小麦产量比去年增产二成五”。视频结束后，教师提问：“同学们，新闻里说‘增产二成五’，这里的‘二成五’是什么意思？它和我们学过的什么知识有关？”引导学生回顾成数的定义（表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”），并明确成数可以转化为百分数（二成五=25%）。【基础】

2.学生活动：回忆旧知，自由发言，阐述对成数的已有理解，并尝试将成数转化为百分数。

3.设计意图：从真实、热点的新闻引入，既复习了旧知，又让学生感受到数学在解决国家大事、社会发展中的作用，激发学习兴趣。同时，自然地为本课学习奠定概念基础。

4.教师追问：“看到‘增产二成五’，你能联想到哪些数学信息？比如，把谁看作单位‘1’？今年的产量是去年的百分之几？”引导学生深入思考成数背后的“单位1”以及隐含的百分数关系（今年产量是去年的1+25%=125%）。【重要】

（二）自主探究，建构模型——层层递进，攻克多步

本环节为核心环节，分为三个层次递进的探究活动，全部围绕一个核心情境展开。

核心情境：绿源生态农场，主要种植有机水稻。2023年，在技术员的指导下，农场进行了品种改良和技术革新。

探究活动一：基础模型构建——求比一个数多（少）百分之几的数是多少（两步）

1.出示例1（基础层）：【非常重要】

农场原有20亩实验田种植传统品种。2023年，新品种的种植面积比传统品种的实验田面积增加了三成。新品种的种植面积是多少亩？

2.学生独立探究：

a.审题：找出已知条件和问题。明确“单位1”是“传统品种的实验田面积”（20亩），“增加了三成”即增加了30%。

b.分析数量关系：鼓励学生尝试画线段图。传统品种线段为“单位1”，新品种线段比它长出一段，长的部分对应传统品种的30%。【关键能力】

c.列式解答：学生可能会出现两种思路。

思路一（分步）：先求增加的亩数：20×30%=6（亩）；再求新品种亩数：20+6=26（亩）。

思路二（综合）：先求新品种面积是传统品种的百分之几：1+30%=130%；再求新品种亩数：20×130%=26（亩）。

d.展示交流：请两种思路的学生分别上台展示自己的线段图和算式，讲解思考过程。

3.教师精讲与建模：

a.对比两种方法，引导学生发现它们本质上都是围绕“单位1”进行运算。第一种方法先求部分量，再求总量；第二种方法先求对应分率，再直接求总量。

b.板书核心关系式：【高频考点】比较量=标准量（单位1）×（1±成数）

c.强调：解决此类问题的关键是找到标准量（单位1），并确定比较量对应的百分率。

探究活动二：模型变式——已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数（两步逆运算）

1.出示例2（提升层）：【非常重要】【高频考点】

2023年，农场用新稻谷进行加工，每百千克稻谷可出米65千克，出米率保持不变。由于采用了新设备，2023年全年农场实际产出优质大米195吨，比原计划用传统设备生产的大米产量增加了三成。请问，农场原计划生产大米多少吨？

2.问题解析与思维引导：

a.教师引导学生分析：“比原计划增加了三成”，这里谁是单位“1”？（原计划产量）。“增加了三成”意味着实际产量是原计划的百分之几？（1+30%=130%）。

b.关键辨析：题目给出的是“实际产量195吨”，求“原计划产量”。这与例1有何不同？（例1是已知单位1，求比较量；此题是已知比较量，求单位1。）

c.小组合作探究：学生以4人小组为单位，讨论并尝试解决问题，鼓励用不同方法。

3.小组汇报与解法碰撞：

a.算术法：大部分学生会想到用除法。列式：195÷(1+30%)=195÷1.3=150（吨）。请学生讲解每一步的含义：1+30%求的是实际产量占原计划的百分率；195吨对应的正是这个百分率，所以用除法求出单位“1”。

b.方程法：可能会有学生提出用方程。解：设原计划生产大米x吨。根据关系式：实际产量=原计划产量×(1+30%)，列出方程：x×(1+30%)=195。解方程得x=150。【重要，体现方法多样性】

4.教师总结与模型深化：

a.对比两种方法，方程法是将未知量设为x，直接顺向思考，更符合题意的数量关系；算术法需要逆向思考，对思维要求更高。两种方法本质相通，但方程法是解决复杂问题的重要工具。

b.再次回归核心关系式，并强调其变形：【教学瓶颈与难点】标准量（单位1）=比较量÷（1±成数）

c.引导学生反思：无论是求比较量还是求标准量，核心都是牢牢抓住那个“1±成数”所代表的对应百分率，并找到与之对应的数量。

探究活动三：复杂模型建构——连续成数变化与信息整合（三步或三步以上）

1.出示例3（挑战层）：【核心】【高阶思维培养】

农场将产出的新米按品质分为一等米和二等米。一等米的售价为每千克12元。为了促销，农场决定先降价一成出售，销售一周后，市场反响热烈，农场又将价格在降价后的基础上提价一成五。请问，经过这两次价格调整后，一等米的最终售价是比原价高了还是低了？相差多少元？

2.审题与策略引导：

a.这道题信息量增大，步骤增多，且涉及连续的、基准量变化的百分数应用，是本课的最大挑战点。

b.教师引导学生用“关键词标记法”梳理过程：“原价12元”→“降价一成”（单位1是原价）→“降价后价格”→“提价一成五”（单位1是降价后价格）→“最终售价”。

c.【关键能力】强调画“分层线段图”的重要性。第一层线段表示原价12元；在线段下方，画出降价一成后的线段，表示原价的90%；再基于降价后的线段，画出提价一成五后的线段，表示降价后价格的115%。通过图示，直观展示两个单位1的不同。

3.深度探究与模型应用：

a.学生尝试独立或同桌合作完成。教师巡视，收集典型的正确和错误案例。

b.预设学生错误：常见错误是12×(1-10%+15%)=12×105%=12.6元。这种错误根源在于混淆了两个不同的单位1，错误地将增减幅度进行了简单的加减。

c.展示辨析：将正确解法与错误解法同时展示在大屏幕上。

正确解法：第一步（降价后）：12×(1-10%)=12×0.9=10.8（元）

第二步（提价后）：10.8×(1+15%)=10.8×1.15=12.42（元）

与原价比较：12.42元>12元，所以最终售价提高了，提高了0.42元。

错误解法：12×(1-10%+15%)=12×1.05=12.6（元）

d.组织全班讨论：为什么不能这样简单地加减？引导学生从“单位1”的角度进行辩论。降价10%和提价15%所对应的基础（单位1）不同，降价的基础是原价，而提价的基础是已经降低后的价格，所以这两个变化幅度不能直接相加减。

4.教师精讲与模型升华：

a.【非常重要】总结规律：解决连续成数变化问题，必须步步为营，每一步都要严格找准当前的“单位1”。

b.板书一般模型：最终量=初始量×(1±第一次变化率)×(1±第二次变化率)。

c.拓展思维：如果先提价一成五，再降价一成，结果会怎样？让学生快速估算或计算，得出结论，体会变化顺序对最终结果的影响，深化对乘法交换律在非百分数加减时不适用的理解（因为基准不同）。

（三）巩固练习，内化模型——分层设计，学以致用

练习设计遵循由易到难、由模仿到创造的原则，全部围绕农场情境展开。

1.【基础性练习】（面向全体，巩固核心公式）

绿源农场2023年水稻总产量为180吨，2024年计划比2023年再增产二成。计划2024年水稻总产量是多少吨？

（本题直接应用模型：180×(1+20%)=216吨。目的在于让所有学生都能模仿例题，熟练基本公式。）

2.【综合性练习】（面向大多数，强调信息筛选与分析）

农场把加工大米的副产品——米糠，也充分利用起来。2023年米糠的总收入为5.4万元，比2022年米糠收入增加了二成五。请问2022年米糠收入是多少万元？

（本题需要学生从“比2022年增加了二成五”判断出2022年是单位1，且是未知的。需用除法或方程解答：5.4÷(1+25%)=4.32万元。训练学生在不同情境中识别模型。）

3.【拓展性练习】（面向学有余力，挑战高阶思维）【热点】

农场计划将一批一等米和二等米混合销售。一等米每千克12元，二等米每千克8元。如果按一比四的质量比混合成“家庭实惠装”大米。

（1）这种“家庭实惠装”大米每千克的成本价（按原价混合计算）是多少？

（2）农场希望这批混合米的利润率达到二成，那么每千克的售价应定为多少元？

（本题第一问是加权平均数计算，第二问则是在新单位1（成本价）基础上求“比成本价多二成”的比较量。问题（1）:(12×1+8×4)÷5=44÷5=8.8元；问题（2）:8.8×(1+20%)=10.56元。本题不仅综合性强，还引入了“利润率”的概念，为学生后续学习打下基础，极具挑战性和现实意义。）

（四）课堂总结，反思升华——梳理脉络，提炼思想

1.学生自我小结：请学生回顾本节课的学习历程，谈谈自己的收获、困惑和新的发现。可以从知识、方法、策略等不同角度进行总结。

2.教师引领提升：

a.【核心】知识层面：成数的本质就是百分数，解决成数问题的钥匙是“找准单位1”。

b.方法层面：面对复杂的多步问题，我们可以运用“化多为少”的策略，通过画图、列表等辅助手段，将问题拆解成一个个我们已经掌握的简单问题（一步或两步问题）。每解决一步，就为下一步创造了新的条件。

c.思想层面：今天我们经历了“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的完整过程，这就是数学建模思想的雏形。希望同学们能带着这种思想，去发现和解决生活中更多的数学问题。

（五）布置作业，延续探究

1.【必做题】：完成课本练习册相关习题，要求每题必须写出数量关系式或画出草图，再列式计算。

2.【选做题】：寻找生活中的一处用到“成数”的例子（如商场的折扣促销“打几折”与成数的关系，国家统计局发布的经济数据等），将其改编成一道多步应用题，并尝试解答。下节课进行分享交流。

六、教学评价与反思设计

（一）过程性评价

本节课的评价贯穿始终，主要依据以下几个方面：

1.课堂参与度：观察学生在情境导入和探究环节的发言积极性、思维活跃度。

2.合作探究能力：在小组活动中，观察学生能否有效沟通、倾听他人意见、共同解决问题。

3.思维