高三二轮高效复习讲义数学专题突破函数与导数教考衔接2切线放缩

教考衔接2切线放缩▶对应学生用书P26[教材溯源](人教A版选择性必修二P104T18)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)，当m≤2时，求证：f(x)＞0.证明：第一步：放缩当m≤2时，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，故只要证明ex－ln(x＋2)＞0即可.第二步：构造只要证ex≥x＋1，x＋1≥ln(x＋2)(两等号不同时成立).令g(x)＝ex－x－1，则g'(x)＝ex－1，当x＜0时，g'(x)＜0，当x＞0时，g'(x)＞0，则g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.所以g(x)≥g(0)＝0，即ex≥x＋1，当且仅当x＝0时，等号成立.第三步：同构(替换)在ex≥x＋1中，以ln(x＋2)代替x，则有eln(x＋2)≥ln(x＋2)＋1，即x＋2≥ln(x＋2)＋1，即x＋1≥ln(x＋2)，当且仅当ln(x＋2)＝0，即x＝－1时，等号成立.第四步：传递综上，ex≥x＋1，x＋1≥ln(x＋2)(两等号不同时成立)，所以ex＞ln(x＋2)≥ln(x＋m)，即f(x)＞0.[真题示例](2022·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝xeax－ex.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x＞0时，f(x)＜－1，求a的取值范围；(3)设n∈N，证明：112+1＋122+2＋…＋1n2解：(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)ex，则f'(x)＝xex，当x＜0时，f'(x)＜0，当x＞0时，f'(x)＞0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.(2)设h(x)＝xeax－ex＋1，则h(0)＝0，又h'(x)＝(1＋ax)eax－ex，设g(x)＝(1＋ax)eax－ex，则g'(x)＝2a＋a2xe若a＞12，则g'(0)＝2a－1＞0因为g'x为连续不间断函数，故存在x0∈0，＋∞，使得∀x∈0，x0，故gx在0，x0为增函数，故gx＞g0故hx在0，x0为增函数，故hx＞h0＝0若0＜a≤12，则h'x＝1+axeax－ex＝eax＋下证：对任意x＞0，总有ln1+x＜x成立证明：设Sx＝ln1+x－x故S'x＝11+x－1＝-x故Sx在0，＋故Sx＜S0＝0，即ln1+x＜x成立由上述不等式得eax＋ln1+ax－ex＜eax＋ax－ex＝e2ax－故h'x≤0总成立，即hx在0，＋所以hx＜h0＝0，满足题意.若a≤0，则h'x＝eax－ex＋axeax＜1－1＋0＝0，所以hx在0，＋所以hx＜h0＝0，满足题意.综上，a≤12(3)取a＝12，则∀x＞0，总有xe12x－ex＋1令t＝e12x，则t＞1，t2＝ex，x＝2ln故2tlnt＜t2－1，即2lnt＜t－1t对任意的t＞1恒成立所以对任意的n∈N，有2lnn+1n＜n+1整理得ln(n＋1)－lnn＜1n故112+1＋122+2＋…＋1n2+n＞ln2－ln1＋ln3－ln2＋…＋ln(n＋1)－ln故不等式成立.[方法点评](1)思维导图(2)图形表示[预测训练]已知函数f(x)＝ln1+x，g(x)＝ax2＋x(1)当x＞－1时，f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围；(2)已知n∈N，证明：sin1n+1＋sin1n+2＋…＋sin12解：(1)令hx＝lnx+1－xx则h'x＝1x+1－1＝－当－1＜x＜0时，h'x＞0，则函数hx在－1，当x＞0时，h'x＜0，则函数hx在0，＋所以hxmax＝h0＝0，即lnx+1所以当a≥0时，lnx＋1≤x≤ax2＋x，即f(x)≤g(x当a＜0时，取x0＝－1a＞0由于ln1＋x0＞ln1而ax02＋x0＝a·－1a2－1a＝0，得lnx0故fx0＞gx0，综上所述，a≥0.(2)证明：当a＝0时，由(1)可得ln(x＋1)≤x，则lnx≤x－1，可得ln1x≤1x－1，即－lnx≤1x－1，即lnx≥1令1t＝1－1x，所以x＝所以lntt-1≥1t，即lnt－lnt－1≥1所以1n+k≤lnn＋k－lnn＋k－1，k∈{0，令g(x)＝x－sinxx＞0，则g'x＝1－cosx≥0，且g'x所以函数g(x)在0，＋故g(x)＞g0＝0，则sinx＜xx＞所以sin1n+k＜1