河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考试题数学（A）

河南省百师联盟高二上学期12月联考数学试卷（A卷）一、单选题1．已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（）A．2 B．4 C．8 D．802．已知点，若直线与互相垂直，则实数的值为（）A．8 B．10 C．6 D．43．在等差数列中，为其前项和．若，则（）A．205 B．410 C．230 D．4604．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）．若，则焦点的坐标为（）A． B． C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．6．已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．7．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为6，离心率为．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则（）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则C．若，则当时最小D．若，则10．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（

）A． B．C．数列是递减数列 D．11．已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（）A．B．C．棱的长为D．异面直线与所成角的余弦值为三、填空题12．在等比数列中，，则．13．已知点在双曲线的一条渐近线上,则双曲线的离心率为．14．设数列的前项和为，且，则的最小值为．四、解答题15．已知等差数列的公差，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：．16．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线；(2)已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围．17．已知数列满足．设，数列的前项和分别为．(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；(2)求和．18．已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点．(1)求圆的标准方程；(2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长；(3)直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值．19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）．(1)求证：平面．(2)当时，求证：平面．(3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

1．B根据数列的概念和通项公式进行验证即可.【详解】因为，所以．而，，所以4不是数列的项.故选：B．2．C根据给定点的坐标求出直线与斜率，利用直线与互相垂直其斜率乘积等于即可求得.【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率；因为，所以，即，解得.故选：C．3．A根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出.【详解】因为，所以，由等差数列的性质得，所以．故选：A．4．C方法一：根据抛物线的定义及直角三角形的性质得焦点到准线的距离为，即，从而求得焦点的坐标；方法二：过点作轴，利用直角三角形的性质可求出点的坐标，代入抛物线方程化简可求出，从而可求出焦点坐标.【详解】方法一：由抛物线的对称性，不妨设点在轴上方．设抛物线的准线与轴的交点为，则．过点作轴于点，作准线于点，则四边形是矩形.因为，所以．在Rt中，因为，所以.所以．因为焦点的坐标为，所以焦点的坐标为．方法二：过点作轴于点，在Rt中，因为，所以，.所以点的坐标为，代入抛物线方程得，整理得.因为，所以，所以焦点的坐标为．故选：C．5．A利用椭圆的定义以及，设，用表示出来，在中解三角形可把用表示出来，即得答案.【详解】设，则，由椭圆的定义，得．因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以．在中，，即．所以离心率．故选A．6．B根据圆的定义、直线与圆的位置关系进行求解即可.【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，记为圆．因为，所以，圆的半径．因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，即，化简得，解得，即实数的取值范围是．故选：B7．C由题意可得平面方程，然后得出法向量，最后用空间向量线面角公式计算.【详解】因为点在平面内，所以，解得，所以平面,由题意得平面的一个法向量为．因为，所以，设直线与平面所成的角为，则，故选：C8．D先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，根据韦达定理求出的值.【详解】由题意得，所以，所以，所以双曲线的方程为．因为，直线过点且倾斜角为，所以直线的方程为．与双曲线的方程联立，消去，整理得．解得，所以．故选：D．9．BCD对于A，根据等差数列基本量计算即可；对于B，由等差数列的性质可得即可；对于C，由等差数列的单调性，时，，当时，即可判断；对于D，由等差数列前项和性质，为等差数列即可求解．【详解】因为，所以，解得，故A错误．因为，所以，所以．故B正确．因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确．由等差数列的性质，得是公差为的等差数列，即是等差数列．因为，所以成等差数列，即，解得．故D正确．故选：BCD．10．ABD对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断．【详解】对于AB，由题意得且，，由得，由得，所以，化简得，解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确；对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误；对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以；法二：因为，所以，所以；故D正确．故选：ABD．11．ABD由题可得，根据空间向量线性运算法则可表示出，判断A；由数量积的定义及运算律可判断B；由余弦定理可求得，判断C；根据异面直线所成角的向量求法可求得异面直线与所成角的余弦值，判断D.【详解】因为是棱上靠近的三等分点，是的中点，所以．因为，所以．因为，所以，故A正确．因为菱形的边长为，所以．因为，所以，解得，故B正确．因为，所以．在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，所以，故C错误．因为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．故选：ABD．12．729先根据，求出等比数列的公比，再由求出.【详解】设等比数列的公比为．因为，所以，所以．所以故答案为：13．由点在双曲线的渐近线上，即可求得与的关系，代入离心率公式计算即得.【详解】因双曲线的渐近线方程为，由点在渐近线上，即，所以，所以离心率．故答案为：.14．根据题意得出数列是常数列，进而求出，再利用等差数列的前项和公式求出，最后利用基本不等式求最值.【详解】因为，所以，所以数列是常数列，因为，所以，所以，故数列为等差数列，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为．故答案为：15．(1)(2)证明见解析（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可；（2）运用裂项相消法进行计算证明即可.【详解】（1）由题意，得且，解得所以.（2）证明：由（1）得，因为，所以.则因为，所以，所以.16．(1)曲线的方程为，曲线是椭圆.(2).（1）利用条件，建立方程，化简，即可求曲线的轨迹方程；（2）利用向量运算转化，再利用坐标配方法求最值．【详解】（1）因为，所以由题意得.两边平方并化简，得，所以.所以曲线的方程为，曲线是椭圆.（2）由圆的方程知，圆的圆心为，半径为2.设，则，所以.因为是圆的直径，所以，所以.因为，所以.因为，所以，即的取值范围是.17．(1)证明见解析，(2)，（1）根据题意得，等式两边取倒数，得，再通过配凑即可求证；（2）分组求和法求，再利用错位相减法求.【详解】（1）由得，因为，所以，所以.等式两边取倒数，整理得，所以，即.因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以，即，所以.（2）由（1）可知.所以，两式作差，得.所以.18．(1)(2)没有最大值；有最小值，直线轴时，弦长最短，的方程为，最短弦长为(3)7【详解】（1）因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上，又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心，所以圆的标准方程为．（2）由直线的方程知，若直线的斜率存在，则；直线恒过定点，且此定点在圆内，如图所示，当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为轴，斜率，又直线的斜率，所以弦长没有最大值；当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为，此时圆心到直线的距离为1，所以最短弦长．（3）由（2）知，直线恒过点，如图所示，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为，由（2）知，，弦是圆的直径，所以，所以四边形的面积；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则直线的方程为，因为圆心到直线的距离，所以，同理得，所以四边形的面积，令，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，由，解得，即；因为，所以四边形面积的最大值为7．19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)存在，或.【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接.因为四边形是矩形