公式法课件北师大版数学八年级下册

第四章

因式分解3公式法第1课时利用平方差公式因式分解

知识关联探究与应用 课堂小结与检测知识关联

问题1:我们在学习整式乘法时所学习的平方差公式用字母是如何表示的?

问题2:填空:(1)(x+5)(x-5)=

;

(2)(3x+y)(3x-y)=

;

(3)(3m+2n)(3m-2n)=

.

(a+b)(a-b)=a2-b2x2-259x2-y29m2-4n2

【探究】利用平方差公式分解因式探究与应用【情境问题】1:观察多项式(1)x2-25,(2)9x2-y2,它们有什么共同特征?尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴进行交流.

2:如果把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,你能发现有什么特点?共同特征：这两个多项式都是两数平方的差(1)x2-25=(x+5)(x-5),(2)9x2-y2=(3x+y)(3x-y)a2-b2=(a+b)(a-b),特点是将一个多项式转化成了两个因式的乘积的形式.

【探究】

利用平方差公式分解因式探究与应用归纳:

因式分解的平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).

公式特点:(1)公式左边:是一个多项式,含有两项,且这两项异号,并且能写成(

)2-(

)2的形式.(2)公式右边:是分解的结果,是乘积的形式,是两个底数的和乘两个底数的差.

这两个多项式能否化成(

)2-(

)2的形式?解:(1)解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).

探究与应用【应用】

例2把下列各式因式分解:(1)2x3-8x;(2)9(m+n)2-(m-n)2.解:(1)2x3-8x=2x(x2-4)=2×(x2-22)=2x(x+2)(x-2).(2)9(m+n)2-(m-n)2

=[3(m+n)]2-(m-n)2

=[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n).探究与应用总结当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后再进一步因式分解.探究与应用【拓展提升】

1.若x2-y2=44,x-y=11,求x+y的值.解：因为x2-y2=（x+y）（x-y），所以x+y=（x2-y2）÷（x-y）=44÷11=4；探究与应用【拓展提升】

解：由题意可得，剩余部分的面积为：a2-4×b2=a2-4b2当a=3.6，b=0.8时，a2-4b2=（a+2b）（a-2b）=（3.6+2×0.8）（3.6-2×0.8）=10.4，即剩余部分的面积是10.4cm2．2.如图,在边长为a的正方形纸片的四角,各剪去一个边长为b的小正方形(a>b),求剩余部分的面积.如果a=3.6,b=0.8呢?

达标测评1.下列各式:x2-y2,-x2-y2,(-x)2+(-y)2,-x2+y2,x4-y4,其中能用平方差公式分解因式的有 ()A.1个B.2个C.3个D.4个2.把代数式2x2-18分解因式,结果正确的是 (

)A.2(x2-9)

B.2(x-3)2C.2(x+3)(x-3) D.2(x+9)(x-9)3.在多项式①-m4-n4;②a2+b2;③-16x2+y2;④9(a-b)2-4;⑤-4a2+b2中,能用平方差公式分解因式的有

.(只填序号)

课堂小结与检测CC

③④⑤

达标测评4.将下列各多项式分解因式:(1)a3-16a;(2)9(x-y)2-4(x+y)2.课堂小结与检测=a(a2-16)

=a(a+4)（a-4）

=[3(x-y)]2-[2(x+y)]2

=[3(x-y)+2(x+y)][3(x-y)-2(x+y)]=(5x-y)(x-5y)

第四章

因式分解3公式法第2课时利用完全平方公式因式分解

知识关联探究与应用 课堂小结与检测知识关联

我们知道,因式分解是整式乘法的逆过程,逆用乘法公式,我们找到了因式分解的两种方法:提公因式法、运用平方差公式法.现在,大家自然会想,还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢?

你能用前面学过的方法把多项式x2+10x+25因式分解吗?

【探究】运用完全平方公式分解因式探究与应用想一想:

分别把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2反过来能得到怎样的式子?

a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2.

由因式分解与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式因式分解.

【探究】运用完全平方公式分解因式探究与应用议一议:

下列各式能用完全平方公式分解因式吗?如果能,把它分解出来;如果不能,请说明理由.(1)a2-4a+4;(2)x2+4xy+4y2;(3)4a2+2ab+b2;(4)a2-ab+b2;(5)x2-6x-9.解:(1)(2)能用完全公式,(3)(4)(5)不能用完全平方公式分解因式.(1)a2-4a+4=a2-2×a×2+22=(a-2)2.(2)x2+4xy+4y2=x2+2x·2y+(2y)2=(x+2y)2

【探究】

运用完全平方公式分解因式探究与应用完全平方式的特征:

1.必须是三项式(或可以看成三项的);2.有两个同号的平方项;3.有一个乘积项(等于平方项底数积的±2倍).

简记口诀:头平方,尾平方,乘积2倍在中央.【应用】

例1把下列各式因式分解:(1)x2+14x+49;(2)(m+n)2-6(m+n)+9.解:(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2.(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2×3(m+n)+32=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2.公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式.探究与应用【应用】

例2

(教材例4)把下列各式因式分解:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)-x2-4y2+4xy.=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.=-(x2+4y2-4xy)=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.探究与应用【概括新知】

根据因式分解与整式乘法的关系,利用乘法公式将某些多项式因式分解的方法统称公式法.利用完全平方公式因式分解的一般步骤:

1.一提:多项式各项有公因式时,应先提取公因式;首项负号提前后,括号里各项要注意变号;

2.二套:观察、分析和判断所给出的多项式是不是一个完全平方式,若是,则套用完全平方公式把它进行因式分解;

3.三查:检查是否分解彻底.探究与应用探究与应用【拓展提升】

1.当x取何值时,多项式x2+4x+9取得最小值?解：∵x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2）2+5≥5，∴当x=-2时，多项式有最小值．探究与应用【拓展提升】

∵x2+y2-4x-6y+13=0，∴x2-4x+4+y2-6y+9=0．∴（x-2）2+（y-3）2=0，∴x-2=0，y-3=0．∴x=2，y=3．设第三边是c,∴1<c<5,∵△ABC是等腰三角形，∴c=2或c=3，当c=2时，周长为：2+2+3=7，当c=3时，周长为：2+3+3=8．∴等腰三角形的周长为7或8．2.已知x,y是一个等腰三角形的两边长,且满足x2+y2-4x-6y+13=0,求这个等腰三角形的周长.

达标测评1.下列各式中能用完全平方公式因式分解的是 ()①x2-4x+4;②6x2+3x+1;③4x2-4x+1;④x2+4xy+2y2;⑤9x2-20xy+16y2.A.①②

B.①③

C.②③

D.①⑤2.若a+b=4,则a2+2ab+b2的值是 ()A.8 B.16 C.2 D.4课堂小结与检测BB

达标测评3.把下列各式因式分解:(1)16a4+24a2b2+9b4;(2)3am2+3an2-6amn;

(3)-a2-10a-25;