新大材料力学讲义

第一章绪论§1.1材料力学的任务§1.2变形固体的基本假设§1.3外力及其分类§1.4内力、截面法和应力的概念§1.5变形与应变§1.6杆件变形的基本形式§1.1材料力学的任务材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状态和破坏准则，以解决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提供依据。材料的力学性能：如材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸率、断面收缩率、弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极限等各种设计指标。它们都需要用实验测定。构件的承载能力：强度、刚度、稳定性。构件：机械或设备，建筑物或结构物的每一组成部分。强度：构件抵抗破坏（断裂或塑性变形）的能力。所有的机械或结构物在运行或使用中，其构件都将受到一定的力作用，通常称为构件承受一定的载荷，但是对于构件所承受的载荷都有一定的限制，不允许过大，如果过大，构件就会发生断裂或产生塑性变形而使构件不能正常工作，称为失效或破坏，严重者将发生工程事故。如飞机坠毁、轮船沉没、锅炉爆炸、曲轴断裂、桥梁折断、房屋坍塌、水闸被冲垮，轻者毁坏机械设备、停工停产、重者造成工程事故，人身伤亡，甚至带来严重灾难。工程中的事故屡见不鲜，有些触目惊心，惨不忍睹……因此必须研究受载构件抵抗破坏的能力——强度，进行强度计算，以保证构件有足够的强度。刚度——构件抵抗变形的能力。当构件受载时，其形状和尺寸都要发生变化，称为变形。工程中要求构件的变形不允许过大，如果过大构件就不能正常工作。如机床的齿轮轴，变形过大就会造成齿轮啮合不良，轴与轴承产生不均匀磨损，降低加工精度，产生噪音；再如吊车大梁变形过大，会使跑车出现爬坡，引起振动；铁路桥梁变形过大，会引起火车脱轨，翻车……因此必须研究构件抵抗变形的能力——刚度，进行刚度计算，以保证构件有足够的刚度。稳定性——构件保持原来平衡形态的能力。如细长的活塞杆或者连杆，当诸如此类的细长杆子受压时，工程中要求它们始终保持直线的平衡形态。可是若受力过大，压力达到某一数值时，压杆将由直线平衡形态变成曲线平衡形态，这种现象称之为压杆的失稳。又如受均匀外压力的薄壁圆筒，当外压力达到某一数值时，它由原来的圆筒形的平衡变成椭圆形的平衡，此为薄圆筒的失稳。失稳往往是突然发生而造成严重的工程事故，如19世纪末，瑞士的孟希太因大桥，20世纪初加拿大的魁北克大桥都由于桥架受压弦杆失稳而突然使大桥坍塌。……因此必须研究构件保持原来形态能力——稳定性，进行稳定性计算，以保持构件有足够的稳定性。§1.2变形固体的基本假设刚体——假定受力时不发生变形的物体。适用于理论力学研究物体的外部效应——平衡和运动。变形固体——在外力作用下发生变形的物体。变形固体的实际组成及其性质是很复杂的，为了分析和简化计算将其抽象为理想模型，作如下基本假设：1)连续性假设：认为组成固体的物质不留空隙地充满了固体的体积。（某些力学量可作为点的坐标的函数）2)均匀性假设：认为固体内到处有相同的力学性能。3)各向同性假设：认为无论沿任何方向固体的力学性能都是相同的。各向同性材料：如钢、铜、玻璃等。各向异性材料：如材料、胶合板，某些人工合成材料、复合材料等。§1.3外力及其分类载荷——作用于构件上的主动力体积力——连续分布在物体内各点的力面积力——作用于物体表面上的力面分布力——连续分布于物体表面某一面积上的力线分布力——沿着物体某一轴线上分布的力集中力——若作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴线长度静载荷——若载荷从零开始缓慢增加到某值后保持不变或变化很小动载荷——随时间而变化的载荷冲击载荷——由于物体运动状态瞬时发生突然变化而引起的载荷交变载荷——随时间而发生周期性变化的载荷§1.4内力、截面法和应力的概念内力（附加内力）物体因受外力而变形，其内部各部分之间相对位置将发生改变而引起的相互作用就是内力。当物体不受外力作用时，内部各质点之间存在着相互作用力，此为内力。但材料力学中所指的内力是与外力和变形有关的内力。即随着外力的作用而产生，随着外力的增加而增大，当达到一定数值时会引起构件破坏的内力，此力称为附加内力。为简便起见，今后统称为内力。截面法为进行强度、刚度计算必须由已知的外力确定未知的内力，而内力为作用力和反作用力，对整体而言不出现，为此必须采用截面法，将内力暴露。截面法三步骤：切：欲求某一截面上的内力，即用一假想平面将物体分为两部分代：两部分之间的相互作用用力代替平：建立其中任一部分的平衡条件，求未知内力注：内力为连续分布力，用平衡方程，求其分布内力的合力上述步骤可以叙述为：一截为二，去一留一，平衡求力 图1-1试求图示悬臂梁截面上的内力解：截面法切代平平衡条件：求得：(剪力、弯矩)应力因内力为分布力系，为研究内力在截面上的分布规律，引入内力集度的概念——上的平均集度，称为平均应力——应力单位：§1.5变形与应变变形——物体受力后形状和尺寸的改变1.线应变（简称应变）假设：固体受到约束无刚体位移，只有变形位移，若有刚体位移，应从总位移中扣除。————2.切应变（角应变）原来相互正交的棱边的直角夹角的改变量称为切应变（角应变）——§1.6杆件变形的基本形式基本变形轴向拉伸或压缩剪切扭转弯曲组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。

第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料拉伸时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能§2.7失效、安全因数和强度计算§2.8轴向拉伸或压缩时的变形§2.9轴向拉伸或压缩的应变能§2.10拉伸、压缩超静定问题§2.11温度应力和装配应力§2.12应力集中的概念§2.13剪切和挤压的实用计算§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例1．实例（1）液压传动中的活塞杆（2）内燃机的连杆（3）汽缸的联接螺栓（4）起吊重物用的钢索（5）千斤顶的螺杆（6）桁架的杆件2．概念及简图当杆件在其两端受到等值、反向、作用线与杆轴重合的一对力（F，F）作用时杆件将沿轴线方向发生伸长或缩短变形，此类变形称为拉伸或压缩。§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1．内力（1）截面法暴露内力。因为外力与轴线重合，故分布内力系的合力作用线必然与轴线重合，若设为，称为轴力。（2）轴力符号规定：拉为正，压为负。（3）平衡方程2.多力杆的轴力与轴力图例2.1试作图示杆的轴力图解：1-12-23-3例2.2试作图示杆的轴力图解：A-A1-12-23-33．应力内力分布规律的研究F=F=注：正应力符号规定与轴力相同,拉为正,压为负。4．轴向拉（压）渐变杆近似计算5．圣维南原理（静力等效或局部效应）实验证实：作用于弹性体某一局部区域上的外力系，可以用它的静力等效力系来代替，这种代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，而对较远处（距离略大于外力分布区域）其影响即可不计，这就是圣维南原理。圣维南原理的实用价值：它给简化计算带来方便。例如：图示杆件由于采用不同连接(铆接、焊接、铰接)而使杆件在连接处，传递力的方式就各不同，而使局部区域内的应力分布也各不相同，而且非常复杂。但是用静力等效力系替代后，若得到相同的计算简图(如右图示)，则应力计算就可采用相同的公式：6．正应力公式应用条件（1）外力（或其合力）通过横截面形心且沿杆件轴线作用。（2）适用于弹性及性范围。（3）适用于角°横截面连续变化的直杆。*（4）在外力作用点附近或杆件横截面突然变化处，应力分布不均匀，不能用此公式，稍远一些的横截面上仍然应用。例1．图示结构中AC、CD为刚性杆，①、②两杆的截面直径分别为：d1=10mm,d2=20mm,试求两杆内的应力。 解：①受力分析及受力图②由图（b）：kN③由图（c）：kN FN2=20kN kN④求应力(N/mm2)＝127MPaMPa§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力1．横截面上的正应力2．斜截面上的应力 讨论（1）、均为的函数，随斜截面的方向而变化。（2）当°时，、横截面上。当°时，、当°时，平行于轴线纵截面。§2.4材料拉伸时的力学性能材料在外力作用下表现出变形及破坏的特性。材料的宏观力学性能主要依靠实验方法测定。如材料的比例极限，弹性极限，屈服极限，延伸率，断面收缩率ψ，弹性模量E，横向变形因数（泊松比）μ等。常温、静载下拉伸试验是确立材料力学性能的最基本试验。试验设备：万能材料试验机。标准试件以低碳钢（含碳量低于0.3%的碳素钢）为例介绍拉伸试验。一、低碳钢（Q235）拉伸时的力学性能（1）夹持试件（2）油压缓慢加载使试件受拉（3）记录F~ΔL测试数值（4）直至拉断，观察力与变形的全过程（5）绘制F~ΔL拉伸曲线（自动绘图）（6）清除尺寸影响作σ~ε曲线，根据曲线特征大致分为四个阶段研究材料力学性能。1．弹性阶段（Ob）此阶段的变形为弹性变形2．屈服阶段（bc）屈服现象：当应力超过b点后，应力先是下降后是微小波动，曲线出现接近水平线小锯齿形线段。即应力不再增加，但应变显著增加，此现象称为屈服。*观察测力度盘指针停走或后退。*观察试件表面可见大致与轴线成45°方向上有细线，称为滑移线。因为45°方向上剪应力最大。材料内部晶格沿45°方向滑动。*σs——屈服极限。（下屈服点）*屈服阶段主要产生塑性变形。*屈服极限为重要的强度指标。3．强化阶段（ce）*材料抵抗变形的能力又继续增加，即随着试件继续变形，外力也必须增大，此现象称为材料强化。*σb——强度极限，发生断裂时的应力4．局部变形阶段（颈缩）（ef）试件局部范围横向尺寸急剧缩小，称为颈缩。5．延伸率和断面收缩率试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形保留下来。延伸率：（塑性应变）l——原标距l1——拉断后标距长度塑性指标：δ>5%——塑性材料，钢、铜、铝δ<5%——脆性材料，铸铁、玻璃、陶瓷断面收缩率：ψA——试件原截面面积A1——拉断后颈缩处断面面积6．卸载定律及冷作硬化试件若拉到强化阶段，如d点卸载，则沿（dd′）直线变化，短期内再加载，仍然沿（dd′）直线上升，说明比例极限提高，而延伸率降低，这种现象称为冷作硬化现象。缺陷：由于初加工，冷作硬化，使零件变硬变脆，给机加工带来困难，为便于加工，需退火消除冷硬层。二、其他塑性材料拉伸时的力学性能其他塑性材料：中碳钢、高碳钢、合金钢、铝合金、青铜、黄铜。讨论①有明显的四个阶段Q345（16Mn）,Q235钢；无屈服阶段：黄铜（H62）；无屈服，无颈缩：高碳钢(T10A)②名义屈服极限σ0.2（对无屈服阶段的材料）通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为名义屈服应力，作为屈服指标。③对各种碳素钢的比较表明：随着含碳量的增加，屈服极限，强度极限提高，但延伸率降低，说明强度提高，塑性降低，如合金钢，工具钢等。④强度又高，塑性又好的材料，始终是材料科学研究的方向。如南京长江大桥，采用16Mn钢比采用A3钢节约成本15％，解放牌汽车降低40％，寿命提高20％。20MPa大气压的大型尿素合成塔为高压容器采用18MnMoNb合金钢比采用碳钢节约60％。三、铸钢拉伸时的力学性能⑴较低应力下被拉断⑵无明显直线段，无屈服，无颈缩⑶延伸率低属脆性材料，<5%⑷弹性模量E随应力的大小而变化。因此以~ε曲线开始部分的割线斜率作为弹性模量，称为割线弹性模量，近似认为材料服从胡克定律σ=Eε⑸σb——强度极限为唯一强度指标⑹抗压不抗拉，不宜作抗拉件§2.5材料压缩时的力学性能低碳钢的压缩（1）压缩时的E、σs与拉伸时相同，但得不到σb。（2）抗拉抗压强度相同。二．铸铁的压缩（1）破坏断面与轴线成45°～55°角，说明铸铁不抗剪。（2）抗压强度比抗拉强度高4~5倍（3）铸铁坚硬、耐磨，易浇铸成型，有良好的吸振能力，故宜用作机身，机座，轴承座及缸体等受压物件。§2.7失效、安全因数和强度计算一．失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。①脆性断裂 ①塑性变形②弹性变形过大 ②冲断（冲击、撞击）③疲劳 ③失稳④蠕变（高温） ④腐蚀（等等）二．破坏准则：就强度而言塑性材料：σ=σs脆性材料：σ=σb强度条件：σ≤[σ] σ——工作应力 [σ]——许用应力 （塑性材料） （脆性材料）三．安全因数：（1）ns、nb称为安全因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的构件：ns=1.2~2.5 nb=2.0~3.5（2）确定安全因数应考虑的主要因素（P32）①材料素质（均匀程度、质地好坏、塑性、脆性）②载荷情况（静载、动载，估计准确度）③简化过程，计算方法精确度④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。⑤设备机动性、自重的要求。⑥其它尚无考虑的因素。综合考虑后确定。四．强度条件 ①强度校核：强度计算 ②设计截面： ③确定许用载荷：例2.7.1已知F=130kNα=30°AC为钢杆：d=30mm [σ]s=160MPaBC为铝杆：d=40mm [σ]a=60MPa试校核结构的强度。解：（1）求各杆轴力FNAC，FNBCkN（2）求各杆应力N/mm2N/mm2MPa∴安全例2.7.2图示托架，已知：F=60kN，α=30°AC为圆钢杆[σ]s=160MPaBC为方木杆[σ]w=4MPa试求钢杆直径d，木杆截面边长b解：（1）求各杆轴力（2）设计截面AC杆： mmBC杆： mm例2.7.3滑轮结构已知AB为圆钢杆d=20mm，[σ]s=160MPaBC为方木杆a=60mm，[σ]w=12MPa试求此结构的许用载荷W解：（1）求各杆的轴力与W的关系 （2）分别按各杆强度条件确定WAB杆： ∴kNBC杆： ∴kN取[W]=21.6kN§2.8轴向拉伸或压缩时的变形1．轴向变形胡克定律：∴(胡克定律的另一种形式)EA——杆件抗拉（或抗压）刚度2．横向变形 试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数。 μ——横向变形因数（泊松比）为材料常数（弹性常数）∴με3．渐变杆轴力变化时变形计算微段伸长：杆件伸长：例1除梯杆、求总变形已知：A1=400mm2 l1=200mmA2=800mm2 l2=200mmE=200GPa 解：（1）求各段轴力并作轴力图（2）求各段变形及总变形mmmmmm例2求节点A的位移已知：F=10kNα=45°AB为钢杆E1=200GPaA1=100mm2l1=1000mmAC为松木杆E2=10GPaA2=4000mm2l2=707mm解：（1）求轴力kN(拉)kN(压)（2）轴向变形mmmm（3）A点位移mmmm∴mm∴mm例3结构如图CD为刚杆AB杆为钢杆，d=30mm，a=1m，E=210GPa（1）试验测得标距S=20mm内的伸长变形ΔS=14.3×10-3mm，试求F力为若干。（2）若AB杆的材料[σ]=160MPa，试求许用载荷[F]，及此时D点的位移D解：（1）求AB杆的轴力FN∵∴kN求载荷FkN（2）求[F]kNkN（3）求δD∵∴mm§2.9轴向拉伸或压缩的应变能1．变形能（应变能）固体受外功作用而变形，在变形过程中，外力所作的功转变为储存于固体内的能量，固体在外力作用下，因变形而储存能量称为变形能或应变能。变形能有弹性变形能与塑性变形能。当外力逐渐减小，变形逐渐减小，固体会释放出部分能量而作功，这部分能量为弹性变形能。2．轴向拉（压）时的应变能线弹性应变能：（三角形面积）Vε胡克定律，则3．应变能密度（比能）力（σ）位移单元体内应变能：dV——单元体的体积单位体积内的应变能：结论：Vε为应力—应变曲线（σ-ε）下的面积线弹性应变能密度：由胡克定律：σ=Eε，则注：vε的单位为J/m3以比例极限σp代入上式可求出的应变能密度，称为回弹模量，它可以度量线弹性范围内材料吸收能量的能力。例1利用功能原理求A点的垂直位移δ已知：F=10kNα=45°杆（1）为钢杆E1=200GPa，A1=100mm2，l1=1000mm杆（2）为木杆E2=10GPa，A2=4000mm2，l2=707mm解：（1）求轴力kNkN（2）求位移（视作弹性杆系）Vε=W1.18mm（3）此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。能量法求位移见下册13章。§2.10拉伸、压缩超静定问题超静定问题图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即E1A1=E2A2，F、α、l、E3、A3已知，试求三杆内力FN1、FN2、FN3。解：（1）静力平衡方程（a） 利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超静定问题。此问题称一次静不定问题，未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次数。超静定问题解法（1）建立足够的补充方程（a）静力学方面——平衡方程（b）几何学方面——变形协调条件（c）物理学方面——物理条件（b）（c）补充方程。（2）变形协调条件 （b）（3）物理条件 （c）式（c）代入式（b）∵l3=l l1=l/cosα，故 （d）式（d）为补充方程。联解式（a）与式（d）得例1已知AB为刚性杆，F、a、L已知。①②③杆抗拉压刚度相等。求：FN1、FN2、FN3解：一次静不定问题（1）平衡方程： （a） （2）变形协调条件 （b） （3）物理条件 （c） 注意：受力图与变形图必须保持一致 式（c）代入式（b）得补充方程 （d）联解式（a）与式（d）得§2.11温度应力和装配应力一．温度应力温度变化将引起物体的膨胀或收缩。当温度变化时，静定结构可以自由变形，将不会在构件内引起内力。但对超静定结构，其变形及部分或全部受到约束，往往引起内力。这种由于温度变化而引起构件的应力称为热应力或温度应力。*（温度均匀变化；温度非均匀变化）例1已知高压蒸汽管道al、E、l、A、ΔT，求温度应力al一线膨胀系数。解：（1）平衡方程： （a）（2）变形条件： （b）（3）物理条件： （c）式（c）代入式（b） （d）联解（a）（d）得：应力： 二．装配应力静定结构，由于构件制造的微小误差，在装配时会引起结构几何形状的微小改变，而不会引起内力。但超静定结构，由于加工的微小误差，在装配时，将在结构内引起应力，这种应力称为装配应力。例2已知δ为很小量，A1=A2，l1=l2，E1=E2，E3，A3，l，α，求：σ1σ2,σ3解：（1）平衡方程（a）（2）变形协调条件 （b）（3）物理条件： （c）式（c）代入式（b）得补充方程 （d）联解式（a）式（d）得应力例3钢杆①②③A=200mm2，l=1000mm，E=210GPa，δ=0.8mm，AC为刚性杆，求：装配后的FN1、FN2、FN3解：装配后的变形如图示（1）平衡方程 （a）（2）变形协调条件 （b）（3）物理条件： （c）式（c）代入式（b）得补充方程 （d）联解式（a）式（d）得 FN1=5.33kN FN2=10.66kN FN3=5.33kN§2.12应力集中的概念1．概念等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。由于实际需要，有些零件必须有切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在这些部位上截面尺寸发生突然变化。实验结果和理论分析表明，在零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。2．应力集中——由于杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。3．理论应力集中因数σmax——最大应力σ——平均应力试验结果表明：截面尺寸改变得越急剧、角越尖，孔越小，应力集中的程度就越严重。因此，零件应尽量避免带尖角的孔和槽，对阶梯轴的过渡圆弧，半径应尽量大一些。4．材料对应力集中敏感性讨论§2.13剪切和挤压的实用计算剪切的实用计算（1）连接件：铆钉、销钉、螺栓、键等都是受剪构件。剪切：当在杆件某一截面处，在杆件两侧受到等值，反向、作用线平行且相距很近一对力作用时，将使杆件两部分沿这一截面（剪切面）发生相对错动的变形，这种变形称为剪切。（2）切应力假定切应力在剪切面上均匀分布，则（3）强度条件强度计算：①校核②设计截面③确定许用载荷挤压的实用计算（1）挤压：在外力作用下，在连接件和被连接件之间，必须在接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。（2）挤压应力F——挤压力Abs——挤压面面积假定挤压应力在挤压面上均匀分布。（3）挤压面面积：①挤压面为平面，面积为平面面积②挤压面为圆柱面，取直径面面积，所得平均应力与最大挤压应力大致接近。（4）强度条件：例1已知材料的剪切许用应力[τ]和拉伸的许用应力[σ]之间关系约为：[τ]=0.6[σ]，试求螺钉直径d和钉头高度h的合理比值。解：（1）拉伸强度条件为（2）剪切强度条件为FS=F故：例2车床的传动光杆装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销即被剪断，已知安全销的材料为30#钢，剪切极限应力τu=360MPa，光杆可传递的最大力偶矩为Me=120N.m·，试求安全销的最大直径dmax。解：与冲床工作原理相同，属剪切删除强度计算的反向题Me=FSD (D=φ)剪断条件为：即：故：mmmm

第三章扭转§3.1扭转的概念和实例§3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图§3.3纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力§3.5圆轴扭转时的变形§3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形§3.7非圆截面杆扭转的概念§3.1扭转的概念和实例1．实例如：车床的光杆反应釜的搅拌轴汽车转向轴2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。§3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图1．Me、m、P之间的关系Me——外力偶矩（N∙m）n——转速（r/min）P——功率（kW）（1kW=1000N∙m/s）（马力）（1马力=735.5W）每秒钟内完成的功力或2．扭矩和扭矩图（1）截面法、平衡方程ΣMx=0 T-Me=0 T=Me（2）扭矩符号规定：为无论用部分I或部分II求出的同一截面上的扭矩不但数值相同且符号相同、扭矩用右手螺旋定则确定正负号。（3）扭矩图例1主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮输出功率PB=PC=15kW，PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图.解：（1）（2）求TΣMx=0T1+MeB=0 T1=-MeB=-477 T2-MeA+MeB=0 T2=1115N T3-MeD=0 T3=Med=63T例2主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比较均匀。这与主动轮放在从动轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。如左图a：Tmax=50N·m右图b：Tmax=25N·m二者比较图b安置合理。§3.3纯剪切在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二者关系的研究非常重要。1．薄壁圆筒扭转时的切应力连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆筒的扭转。（1）观察变形及分析变形前纵线与圆周线形成方格。变形后方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截面，故横截面上的切应力与半径正交。对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。（2）力矩平衡ΣMx=02．切应力互等定理取出单元体如左图ΣFx=0 τ′=τ′ΣMz=0 τ′=τ在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。3．切应变剪切胡克定律上述单元体，属于纯剪切状态胡克定律：试验表明，当切应力不超过比例极限时，切应力与切应变成正比。τ=GγG——比例常数，材料的切变模量。单位GPa4．三个弹性常数之间的关系对各向同性材料5．剪切应变能对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为τdydz。由于剪切变形，右侧面向下错动位移为rdx。若切应力有一个增量dτ，切应变的相应增量为dγ，右侧面向下位移增量为dγdx。剪力τdydz在位移dγdx上完成的功力τdydz·dγdx。在切应力从零开始逐渐增加的过程中（如达到可，则相应的切应变达到r1）右侧面上的剪力τdydz总共完成的功力。单元体内储存的剪切应变能力式中：dv=dxdydz，则剪切应变能密度为vε=τ－r曲线下的面积。（τdγ为阴影条面积）当切应力不超过剪切比例极限的情况下。τ与γ的关系为斜直线（为线弹性情况）剪切胡克定律：τ=Gγ，则§3.4圆轴扭转时的应力1．应力分布规律：几何学方面物理学方面静力学方面（1）变形几何关系①观察试验（在小变形前提下）a.圆周线大小、形状及相邻二圆周线之间的距离保持不变，仅绕轴线相对转过一个角度。b.在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度，变形前表面的矩形方格，变形后错动成菱形。②平面假设：圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。③结论：横截面上只有切应力而无正应力。④取dx一段轴讨论： （a）讨论：a.为扭转角φ沿轴线x的变化率对给定截面上的各点而言，（即x相同）它是常量。b.横截面上任意点的切应变γP与该点到圆心的距离P成正比。（任意半径圆周处的切应变均相等）。（2）物理关系①剪切胡克定律 （b）②结论a.距圆心等距的圆周上各点处的切应力均相等。τP与半径垂直（即各点处的圆周切线方向）。b.切应力沿半径直线分布。（3）静力关系①内力为分布力系的合力令（截面对圆心O的板惯性矩） 于是： （c）式（c）代入式（b）得 （d）②讨论 （e）引入 （抗扭截面系数）则 （f）2．IP、Wt计算公式（1）实心圆截面 dA=ρdθdρ（2）空心圆截面式中 α=d/D3．强度条件（1）强度计算①校核②设计截面 ③确定许用载荷Tmax≤[τ]Wt（2）讨论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt不是常量，τmax并不一定发生在扭矩为Tmax的截面上，这要综合考虑T和Wt寻求最大值。4．强度计算举例Example1图示传动轴GivenMe1=895N·m Me2=538N·m Me3=2866N·mMe4=1075N·mMe5=358N·m [τ]=20MPaFind设计阶梯轴各段的直径DProcedure：（序号）solution（1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图（2）求各段轴的直径D∵∴ D23≥71.5mmD34≥71.5mmD45≥45mmExample2图示传动轴外力偶矩某度为mGivenM=500N·m/m D=30mm l=1000mm FindτmaxsolutionΣMx=0T(x)=mx扭矩沿轴线线性变化当x=0时，T=0当x=l时，Tmax=ml=500N·m∴Mpa§3.5圆轴扭转时的变形1．扭转角φ的计算讨论：（1）若两截面之间T=const，GIP=const，则GIP——圆轴的抗扭刚度（2）阶梯轴2．刚度条件消除轴的长度l的影响（rad/m） ：单位长度的扭转角等直圆轴：刚度条件（rad/m）按照设计规范和习惯许用值的单位为，可从相应手册中查到。（º）/m3．刚度计算 ①刚度校核 ②设计截面： ③确定许用载荷Tmax注意：由刚度条件 G——切变模量或 式中需用牛顿米代入因为单位为（º）/mExample1图示钢轴GivenMe1=800N·m Me2=1200N·m Me3=400N·m l1=0.3m l2=0.7m G=82GPa[τ]=50MPa =0.25(º)/mFindDsolution（1）求扭矩，作出扭矩图（2）强度条件Tmax=800N·m（m）（3）刚度条件（m）取：D=70mm注意：用牛顿米统一单位方便，不易出错。§3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形1．实例（1）车辆轮轴弹簧：缓冲减振（2）凸轮机构的压紧弹簧，内燃机的气阀弹簧（控制机械运动）。（3）弹簧秤（4）美国世贸中心大厦为“筒中筒”结构，110层双子楼主楼417m，次楼415mm。为了抵御大西洋的狂风，顶部风压为4kPa，允许位移90cm，实测fmax=28cm，内外筒之间用桁架承担楼面载荷，在第7层一107层桁架下面放置减震器，吸收风力作用下大楼的变形能减震。2．密螺弹簧的两个条件（1）螺旋角α<5°（密圈）（2）d<<D（小曲率杆）近似认为簧丝横截面与弹簧轴线位于同一平面内略去曲率影响，采用直杆扭转公式.3．弹簧丝横截面上的应力ΣFy=0 FS=FΣM0=0 内侧A点：若则<<1与1相比可省略。这相当于只考虑扭转，不计剪切。 （近似公式）考虑到切应力的非均匀分布及曲率的影响对上式修正。式中 ——曲度系数 弹簧指数4．簧丝的强度条件5．弹簧的变形（1）试验表明：在弹性范围内，静载压力F与λ成正比（线弹性关系）。当外力从零增加到最终值时，它作的功等于斜直线下的面积即：（2）簧丝的扭转的应变能簧丝横截面上距圆心为处的切应力扭转单位体积内的应变能（应变能密度）弹簧的应变能为V——弹簧体积dA——簧丝横截面的微分面积dS_——沿簧丝轴的微分长度，n为有效圈数)根据功能原理，即W=Vε式中：是弹簧圈的平均半径。引入记号：则：C越大，则λ越小，所示C代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。C的单位为N/m或F=Cλ6．弹簧变形的简单推导方法Example1安全气阀阀盘的直径Do=60mm当蒸汽压力p=0.8MPa时，阀门行程为h=10mm，弹簧材料为60Mn钢，[τ]=400MPa，G=80GPa，簧圈平均直径D=50mm。Find：簧丝直径d和弹簧圈数nSolution：（1）弹簧受压力：(N)（2）簧丝直径d：由于曲度系数k未知，故应用试算法。先用近似公式估算。由公式(mm)考虑到修正，取d=9.8mm，然后校核：代入修正公式求故取d=9.8mm（3）弹簧圈数：由§3.7非圆截面杆扭转的概念一、实例①农业机械中有时采用方轴为传动轴②车床上的光杆有时采用方截面③曲轴的曲柄为矩形截面，承受扭矩二、非圆截面杆扭转与圆轴扭转的差别观察试验：非圆截面杆扭转变形后，截面周线为空间曲线，即截面发生翘曲成为曲面，圆轴扭转时的假设已不适用。三、非圆截面杆扭转的分类四、矩形截面杆扭转时的应力与变形1.切应力①切应力分布规律及切力流②最大切应力 （长边中点） （短边中点）2.变形相对扭转角GIt=Ghb3——杆件的抗扭刚度3.系数：以上式中α、、均是与h/b比值有关的系数，列入表3.2中（见P96）。4.狭长矩形当时，截面成狭长矩形，这时 （长边中点）式中δ为短边长度。

第四章弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例§4.2受弯杆件的简化§4.3剪力和弯矩§4.4剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4.6静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例1．实例2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁4．对称弯曲：§4.2受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。l称为梁的跨度§4.3剪力和弯矩（1）求反力：（2）求内力（截面法）一般来说截面上有剪力FS和弯矩M（为平衡） （a） （b）（3）讨论一般说，在梁的截面上都有剪力FS和弯矩M，从式（a）式（b）可以看出，在数值上，剪力FS等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线（y轴）上投影的代数和；弯矩M等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：同理，取截面右侧部分为研究对象：（4）剪力FS和弯矩M符号规定无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力FS和弯矩M，不但数值相同，而且符号也一致，符号规定如左图示。Example1试求图示梁D截面的FS、MSolution：（1）求反力（2）求剪力和弯矩（设正法）将截面上的剪力FS和弯距M，按符号规定设为正的方向。（负号说明剪力FS所设方向与实际方向相反，截面上产生负剪力）。（正号说所设方向与实际方向一致，截面上产生正弯矩）。Exemple2试求图示梁1-1，2-2截面上的剪力和弯矩Solution：①求反力：②求剪力和弯矩，1-1截面

2-2截面 （负号说明剪力方向与实际方向相反，在截面上剪力为负值）Example3试求图示梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩Solution①求反力：（负号说明，所设反力方向与实际方向相反）②求剪力和弯矩1-1截面：设FS1，M12-2截面：设FS2，M2（设正法）（所设方向与实际方向相反，为负弯矩）Example4试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩Solution：根据前面剪力和弯矩的求代数和的规则来求剪力和弯矩。1-1截面：2-2截面：Example5试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩Solution：（取右侧）1-1截面：2-2截面：§4.4剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图1．一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，剪力和弯矩为截面位置坐标x的函数。上面函数表达式称为剪力方程和弯矩方程，根据剪力方程和弯矩方程，可以描出剪力和弯矩随截面位置变化规律的图线称为剪力图和弯矩图。2．列剪力方程和弯矩方程规则（1）截面左侧向上的外力都在剪力代数和式中取正号，向下的外力都取负号。（左上取正，右下为负）（2）截面左侧向上的外力对截面形心产生的力矩都在弯矩代数和式中取正号。向下的外力对截面形心所在产生的力矩都在和式中取负号。（3）截面左侧顺时针转的外力偶矩，在力矩总和式中取正号，负之取负号（顺正、逆负）（1）截面右侧梁上向下的外力在剪力代数和式中取正号，向上的外力取负号。（2）截面左侧梁上向上的外力在弯矩代数和式中取正号，向下的外力之力矩取负号。（3）截面右侧梁上逆时针外力偶矩在弯矩代数和式中取正号，顺取负号。Example1试作梁的梁剪力图和弯矩图Solution①求反力②列方程③绘图F(x)为x的一次函数斜直线，确定一点。当x=0时， 当x=l时， M（x）为x的二次函数，是一抛物线，定数点当x=0时， M（x）=0当时， 当时， 当时， 当x=l时， M（x）=0④ Example2镗刀杆的计算简图，试作FS、M图Solution：①可以求反力，也可以不求反力②列方程FS(x)=F (0<x<l)M(x)=-F(l-x) (0<x≤l)③绘图FS(x)为常数，为水平线M(x)为x的一次函数，斜直线，定二点当x=0时 M(x)=-Fl当x=l时 M(x)=0④FSmax=F Example3齿轮轴计算简图，作FS、M图Solution①求反力②列FS、M方程，集中力F作用，分段列方程(AC) (0<x1<a) (0≤x1≤a)(CB) (0<x2<l) (0≤x2≤l)③绘图（AC） 常数为水平线M1（x1）为x1的一次函数，斜直线，定=点 当x1=0时，M1（x1）=0 当x1=a时，M1（x1）=（CB） 为水平M2（x2）为x的一次函数，斜直线，定=点 当x2=a时，M2（x2）= 当x2=l时，M2（x2）=0④Example4试作FS、M图Solution①求反力②列方程，分段列方程（AC） (0<x1≤a) (0≤x1<a)（CB） (a≤x2<l) (a<x2≤l)③绘图 常数、水平线M1（x1）为x一次函数，斜直线 当x1=0时，M1（x1）=0 当x1=a时，M1（x1）=M2（x2）为x的一次函数，斜直线 当x2=a时，M2（x2）= 当x2=l时，M2（x2）=0§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系1．引言（1）分段列方程十分麻烦。（2）q(x)、FS(x)、M(x)之间存在普遍的导数关系。（3）利用《导数关系》直接由载荷判定FS、M图形，绘制FS、M图。（4）检验FS、M图正确与否很方便。2．证明q(x)、FS(x)、M(x)间的关系证：（1）取坐标系如图，x以向右为正。（2）取微段（微段上不能受集中力与集中力偶，只受分布载荷）。（3）微段上的载荷集度q(x)视为均布，且规定q(x)↑为正eq\o\ac(○,+)，q(x)↓为负eq\o\ac(○,－)。（4）微段两侧横截面上的FS(x)，M(x)均设为正方向。（5）讨论微段平衡略去高阶微量3.利用导数关系绘制Fs、M图或者检验q图Fs图M图q=0(一段)水平线（一段）斜直线（或水平线）q<0↓水平线斜直线二次抛物线上凸q>0↑水平线斜直线二次抛物线下凸↓q=q(x)斜直线二次抛物线三次抛物线FS=0（一段）水平线FS=0（一点）有极值集中力作用截面突变集中力偶作用截面突变4．作Fs、M图程序procedure⑴一判：判断Fs、M图线形状⑵二算：算出控制截面Fs、M数值⑶三连线5．Example试用导数关系作图示外伸梁的Fs、M图Solution①求反力FA=3kN FB=7kN②判断曲线形状，二算三连线③确定E截面位置3-qx=0§4.6静定刚度及平面曲杆的弯曲内力1．静定刚架（1）举例：某些机器的机身或者机架的轴线是由几段直线组成的折线，如液压机机身、钻床确床架、轧钢机机架等。（2）刚节点：为上述的机架的每两部分在连接处夹角不变，即两部分在连接处不能有相对转动，这样连接称为刚节点。（3）刚架：各部分由刚节点连接的框架结构称为刚架。（4）静定刚架：外力和内力均可由平衡方程确定的刚架称为静定刚架。（5）超静定刚架：外力或内力不能由静力平衡方程全部确定下来的刚架，称为超静定刚架。（6）刚架的内力一般有轴力FN、剪力FS和弯矩M。（7）静定刚架弯矩图的绘制。弯矩图约定画在杆件受压一侧，即受压弯曲后的凹侧。受压受拉直接制定。Example1钻床床架计算简图，试作M图Solution①求反力②列方程（AC）M1(x1)=Fx1 （0≤x1≤a）（CB）M2(x2)=Fa （0≤x2≤2a）③作图Example2试作图示刚架的弯矩图Solution①求反力②作弯矩图2．平面曲杆（平面曲梁）（1）平面曲杆：某些构件为活塞环、链环、拱等一般杆件都有一个纵对称面，其轴线为一平面曲线称为平面曲杆。（2）平面弯曲：当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形。（3）内力一般有弯矩M，轴力FN，剪力FS（4）内力符号的规定①轴力FN拉为正、压为负。②对考虑的一段曲杆内任一点，FS产生顺时针力矩为正、反之FS为负。③弯矩M使曲率增大为正、反之为负。Example5试作图示曲杆的弯矩图Solution①列方程②作弯矩图

第五章弯曲应力§5.1纯弯曲§5.2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力§5.4弯曲切应力§5.6提高弯曲强度的措施§5.1纯弯曲1.2．观察变形以矩形截面梁为例（1）变形前的直线、变形后成为曲线、，变形前的，变形后仍为直线、，然而却相对转过了一个角度，且仍与、曲线相垂直。（2）平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。（3）设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。（4）中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139note：可以证明，中性轴为形心主轴。§5.2纯弯曲时的正应力1．正应力分布规律：①变形几何关系②物理关系③静力关系（1）变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为y轴，中性轴为z轴，距中性层为y的任一纤维的线应变。 （a）（2）物理关系因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 （b）此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。（3）静力关系横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力系可能简化为三个内力分量：横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。由于内外力必须满足平衡方程，故：① （c）式（b）代入式（c） ∵ ∴ 结论：Z轴（中性轴）通过形心。② （d）式（b）代入式（d）结论：y轴为对称轴，上式自然满足③ （e）式（b）代入式（e） （f）∵ ∴式（f）可写成 （g）式中为梁轴线变形后的曲率，EIZ称为梁的抗弯刚度。2．纯弯曲时梁的正应力计算公式由式（g）和式（b）中消去得讨论：（1）导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。（2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。（3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需用y坐标的正负来判定。§5-3横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲讨论：公式的适用条件（1）平面弯曲（2）纯弯曲或l/h≥5的横力弯曲（σ，τ）（3）应力小于比例极限。2．最大正应力引入记号： W——抗弯截面系数（m3）讨论：（1）等直梁而言σmax发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax。（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数WZ两个因素。3．强度条件（1）对抗拉抗压强度相同的材料，只要即可（2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：4．强度计算（1）强度校核（2）设计截面尺寸：（3）确定许用载荷：Example1空气泵操作杆，右端受力F1=8.5kN，1-1、2-2截面相同，均为h/b=3的矩形，若[σ]=50MPa，试选用1-1、2-2截面尺寸。Solution①求F2kN②求截面弯矩M1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN·mM2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m故：kN·m③设计截面mm3∵ mm3mm∴ h=125mm§5.4弯曲切应力切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。1．矩形截面梁（1）切应力的分布规律当h>b时，按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。（2）切应力沿截面高度的变化规律①从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用。②截面上的σ和τ的分布如图③研究微块的平衡 （a）式中：为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。 （b）考虑到微块顶面上相切的内力系的合力 （c）（d）式（a）、（b）、（c）代入式（d） （e） （d）∵ ∴ （f）由切应力互等定理，横截面上pq线处切应力为 （g）这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。④讨论：a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b.矩形截面如图or ∴说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。c. 当时，τ=0 当y=0时，d.考虑到2．工字形截面梁（1）计算表明：截面上剪力FS的95～97%由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用（τ方向与FS一致，设宽度均布），采用矩形截面方法可得：式中：以y=0，代入上式得∵b0<<b∴τmax≈τmin于是近似认为（2）翼缘中切应力分布比较复杂，且数量很小，无实际意义，不予讨论。（3）工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大，所以工字梁的最大特点是，用翼缘承担大部分弯矩，腹板承担大部分剪力。3．圆形及圆环形截面梁（1）——阴影面积对中性轴的静矩b——为弦AB的长度在中性轴上 b=2R（2）圆环形截面4．弯曲切应力的强度校核（1）强度条件最大切应力发生于中性轴处，故——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩（2）细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。（3）只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：①梁的跨度较短。②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。§5.6提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的主要因素。由梁的强度条件：合理安排梁的受力情况，降低Mmax。采用合理截面形状，提高WZ1．合理安排梁的受力情况，降低Mmax（1）合理布置梁的支座（2）合理布置载荷①载荷置于合理位置②将集中力分为较小的集中力③将集中力分为分布力2．梁的合理截面，提高WZ由强度条件得可见WZ越大，梁承受的弯矩就越大。矩形截面梁竖放：，由A=bh，用来衡量截面形状的合理性和经济性。平放：，由A=bh显然：因为h>b，故K1>K2，所以，矩形截面梁竖放比平放要好。（2）截面合理性，经济性用比值来评价，引入，K值越大截面越合理。3．等强度梁的设计（1）等截面梁是按最大弯矩设计（2）等强度梁是按变截面设计等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力σmax都相等，且等于许用应力[σ]。4．举例Example图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为矩形。设h=const，而b=b(x)Solution（1）即： ∴ （2）讨论①b(x)为x一次函数，直线变化当②当x=0时，b=0。这显然不能满足剪切条件。必须根据截面上中性轴处的最大切应力来论最小的宽度bmin。③根据即： 故： （3）叠板弹簧梁的构成将厚度为h的钢，切割成bmin的钢板条，当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图示。（4）鱼腹梁的设计设： 即：又： 故： 鱼腹梁形成。

第六章弯曲变形§6.1工程中的弯曲变形问题§6.2挠曲线的微分方程§6.3用积分法求弯曲变形§6.4用叠加法求弯曲变形§6.5简单超静定梁§6.6提高弯曲刚度的一些措施§6.1工程中的弯曲变形问题实例①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。2.研究变形目的①建立刚度条件，解决刚度问题②建立变形协调条件，解决超静定问题③为振动计算奠定基础。§6.2挠曲线的微分方程1.概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。①挠曲线：在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。②挠度：梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。③挠曲线的方程式：w=f(x)④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。⑥挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。挠曲线的曲率表示式：①纯弯曲：②横力弯曲：细长梁，忽略Fs影响。3.挠曲线的曲率表达式①纯弯曲：（a）②横力弯曲：对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响（b）③高等数学中对曲率的定义及表达式于是式（a）转化为（c）在我们选定的坐标系内，若弯矩M为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量对应的也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成（d） 注意到代入式（d）及：（e）此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f(x)是一非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是（f）式（e）中，于是式（e）可写成（g）此式为挠曲线的近似微分方程。§6.3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程对等直梁而言，EI为常量，于是上式可写成积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程式中C、D为积分常数，可由边界条件及连续条件确定。2.边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界条件。3.连续条件：挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的挠度和转角这就是连续条件。4.刚度条件：Example1.EI=constFind.wmax、θmaxSolution.①列弯矩方程：(0≤x＜l)②列微分方程及积分③求积分常数边界条件：当x=l时，=θ=0，w=0④转角方程及挠度方程：⑤求θA,wA将x=0代入以上二式Example2.内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方程，wmax、θmax。Solution①求反力：②列弯矩方程：（AC）(0≤x1≤a)（CB）(a≤x2≤l)③列微分方程及积分（AC）（CB）④求积分常数边界条件：当x1=0时，w1=0当x2=l时，w2=0连续条件：当x1=x2=a时，w11=w12，w1=w2 D1=D2=0⑤转角方程及挠度方程（AC）（CB）⑥最大挠度wmax，最大转角θmax当x1=0时，当x2=l时，若a＞b，则,θmax＞θB若a＜b，则最大挠度wmax当时,w为极值,所以应首先确定为零的截面位置。若在式（a）中，令x1=a，可求的若a＞b，则θC为正值。可见从截面A到截面C转角由负变正，改变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，θ=0的截面必然在（AC）段。令式（a）等于零：x0即为挠度为最大值的截面横坐标。以x0代入式（b）的最大挠度当F作用于中点时，即，最大挠度发生在中点。极端情况，当F无限接近右支座时，b2<<l2，b2可以省略，于是可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度，因此，在式（b）中令求出跨度中点挠度为：即是在极端情况下，b→0时⑦误差分析：用代替wmax所引起的误差⑧结论可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。§6.4用叠加法求弯曲变形1.积分法①优点：可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截面的转角和挠度是最基本的方法。②缺点：积分法比较麻烦。叠加法①在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律），挠度与转角均与载荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形，这就是弯曲变形的叠加法。②为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。P188-1Example1Given：Find：θA,θB,wCSolution：查表P190Example2.Find:：θA,θB,wC,wDSolution：查表P189-190Example3.Find:：θA,θB,wC,wDSolution：查表P188-189Example4.Find：θA,wASolution：查表P188 以代替以上二式中的F，以x代替a，然后积分

第七章应力和应变分析强度理论§7.1应力状态概述§7.2二向和三向应力状态实例§7.3二向应力状态分析——解析法§7.4二向应力状态分析——图解法§7.5三向应力状态*§7.6位移与应变分量*§7.7平面应变状态分析§7.8广义胡克定律§7.9复杂应力状态的应变能密度§7.10强度理论概述§7.11四种常用强度理论§7.12莫尔强度理论§7.1应力状态概述1.应力状态的概念（1）一点的应力状态：研究表明，构件内不同位置的点，一般情况下具有不同的应力，所以点的应力是该点坐标的函数。然而就一点来论，不同方位截面上的应力也不同，截面上的应力又随截面方位的不同而变化，是截面方位角x的函数。因此，所谓“一点的应力状态”就是指过一点各个方位截面上的“应力情况”。（2）单元体为了表示一点应力状态,一般是围绕该点取出一个三个方向尺寸均为无穷小的正六面体，简称为单元体。由于单元体是无限小的，因此可以认为:①单元体各面上应力是均匀的②单元体相互平行的截面上应力相同，且同等于该点的平行面上的应力。（3）主应力、主平面、主单元体在物件内任一点总可以取出一个特殊的单元体，其3个相互垂直的面上都无切应力，这种切应力为零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。这样特殊的单元体称为主单元体，主单元体上3个主应力按代数值大小排列为（4）应力状态分类§7.2二向和三向应力状态实例单向应力状态：轴面拉伸或压缩，横力弯曲梁横截面上、下边缘点处。2.二向应力状态：薄壁压力容显然：3.三向应力状态：车轮与轨道接触点的应力状态高压容器器壁内点的应力状态§7.3二向应力状态分析——解析法已知：（应力符号规定：拉为正压为负；切应力顺为正，逆为负），求：①研究三棱柱单元的平衡利用简化后得出②求极值（a）若时，能使，则所确定的截面上，正应力即为最大值或最小值。以代入式（a），关令其等于零，得到由此得出：解之得：确定相互垂直的两个平面，对应截面上出现正应的极大值和极小值。注意到（b）结论：在切应力为零的平面上正应力极大值和极小值，即最大正应力和最小正应力，就是主应力。所在的平面为主平面。为了方便起见，利用三角恒等式由讨论知与总取相反符号，代入式得：讨论：③最大切应力和最小切应力（c）若时，能使，则在所决定的斜截面上，切应力为最大或最小值。以代入式（c），且令其等于零得解出确定二个相互垂直平面。利用代入式得：④最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的关系。故有即最大切应力和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45°Example1.图示为从悬臂梁中，E、F两点取出的两个单元体。Given：（E）（F）Find：试分别确定，E、F两点的主平面的位置及主应力。Solution：（1）E点①主平面位置：②最大应力最小应力③主应力：（2）F点①主平面位置②最大应力和最小应力③主应力Example2.图示为从悬臂梁中，E点取出的单元体。Given：（E）Find：E点主平面位置及主应力Solution：①②③§7.4二向应力状态分析——图解法1.确定上式改写为等号两边平方，二式相加，简化消去参数，得此为圆的方程，若以为横坐标，为纵坐标作圆，则圆心坐标为圆的半径为：2.应力圆的作法，用应力圆确定，得主应力①画坐标系。②取适当比例尺确定D、两点③连接④以C为圆心，以为半径作圆，即为应力圆⑤得半径，偏转2角，（同方向保持一致）得E点，由E点对应的横纵坐标即为⑥为主应力。3.证明证：故：4.证明证：故：5．证明：证：证：故：或：Example1试用解析法及图解法求图示应力状态指定截面上的应力Given：Solution：（1）解析法：（2）图解法：Example2试用解析法、图解法求指定截面上的应力。(图中单位:Mpa)Given：Solution:（1）解析法：（2）图解法：Example4试用图解法求主应力及主平面、GivenSolution:§7.5三向应力状态本节只用图解法简单讨论三个主应力已知时任意斜截面上的应力情况主应力：σ1>σ2>σ3主切应力：最大切应力可以证明任意斜载面上的应力与阴影部分内的一点的坐标相对应.Example1.试作三向应力圆，并求Given：Example2.试作三向应力图，并求Solution：将单向应力状态，二向应力状态，要作三向应力状态的特殊情况。§7.7平面应变状态分析1.概述（1）平面应变状态：即受力构件表面一点处的应变情况。（2）测试原理：一般最大应变往往发生在受力构件的表面。通常用应变仪测出受力构件表面一点处三个方向的线应变值，然后确定该点处的最大线应变和最小应变及其方程。公式推导：（1）选定坐标系为xoy，如图示（2）设0点处，为已知。规定伸长为正，切应变以xoy直角增大为正。（3）求任意方向，方向（规定逆时针方向为正）的线应变和切应变（即直角的改变量）。（4）叠加法：求方向的线应变和切应变①由于而引起ds的长度改变,②方向（即方向）的线应变③求的切应变即方向的直角改坐标轴偏转的角度故：以代替式（c）中的，求得坐标轴偏转角度：故：或：结论（1）已知可求得任意方向的（2）已知求得（3）主应变和主应变方向比较上述公式，可见故：应变圆应变的实际测量①用解析法或图解法求一点处的主应变时，首先必须已知，然而用应变仪直接测量时，可以测试，但不易测量。所以，一般是先测出任选三个方向的线应变。②然后利用一般公式，将代入得出：联解三式，求出于是再求出主应变的方向与数值③④由式求出，当时与二、四相限的角度相对应。6.直角应变花（45°应变花）测量为了简化计算，三个应变选定三个特殊方向测得：，代入一般公式求得：故讨论：若与二、四相限的角度相对应。见P257、7.21题等角应变花测量一般公式： eq\o\ac(○,a)测定值：代入式（a）得： eq\o\ac(○,b) eq\o\ac(○,c) eq\o\ac(○,d)eq\o\ac(○,d)-eq\o\ac(○,c)得： eq\o\ac(○,e)eq\o\ac(○,c)+eq\o\ac(○,d)得： eq\o\ac(○,f)主应变方向 eq\o\ac(○,g)由式eq\o\ac(○,b)-eq\o\ac(○,f)得 eq\o\ac(○,h) 将eq\o\ac(○,e)式，eq\o\ac(○,h)式代入式eq\o\ac(○,g)得： eq\o\ac(○,i)由eq\o\ac(○,b)+eq\o\ac(○,f)故： eq\o\ac(○,j)于是由主应变公式：穿过二、四相限见P258，7.22题Example1.用直角应变花测得一点的三个方向的线应变Find：主应变及其方向Solution：①②③故过二、四相限。Example2.若已测得等角应变花三个方向的线试求主应变及其方向Solution：即： （负一、三） 穿过一、三相限，与相对应。§7.8广义胡克定律1．拉（压）胡克定律σ=E或横向变形：剪切胡克定律或2．普遍情况，可以看作三组单向应力和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在小变形，线弹性范围内，线应变只与正应力有关而与切应力无关。切应变只与切应力有关，而与正应力无关。（1）叠加法：广义胡克定律（2） （3）若σ3=0化为二向应力状态，三向应变（4） （5） 注意：（1）应用公式要考虑应力的符号，按规定拉应力代入正值，压应力代入负值；（2）的正负号代表伸长线应变或者缩短线应变。3．体积胡克定律（1） V=dxdydz变形后：展开后略去含有高阶微量的的各项，得（2）体积应变代入：