6.1平面向量的概念（基础练）解析版

第六章平面向量及其应用6.1平面向量的概念(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．下列说法中正确的个数是()①身高是一个向量；②∠AOB的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量．A．0B．1C．2D．3【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误．④正确．故选：B【答案】B2．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤【答案】D【解析】由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③、⑤正确，④不正确，故选：D．3．下列说法中错误的是（）A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等【答案】B【解析】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0,故A与C都是对的；设方向相反的两个非零向量为和，满足，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；对于D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.故选：B.4．设e1，e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A．e1＝e2 B．e1∥e2C．|e1|＝|e2| D．以上都不对【答案】C【解析】单位向量的模都等于1个单位，故选:C．5.如图，在正方形中，下列命题中正确的是A． B． C． D．【答案】【解析】正方形中，向量、方向不同，不是相等向量，错误；向量、大小相等，方向相反，不是相等向量，错误；向量与的方向不同，不是相等向量，错误；，模长相等，正确．故选：．二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．下列说法正确的选项为（）A.零向量没有方向；B.向量的模一定是正数；C.与非零向量共线的单位向量不唯一D.长度为0的向量都是零向量；【答案】B【解析】零向量的方向是任意的，故A错；向量的模是非负数，故B错；与非零向量共线的单位向量不唯一，分别是，故C正确.由定义知D正确故选：CD.7．下列说法不正确的是（）A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B．向量与平行，则与的方向相同或相反C．向量与向量是平行向量D．单位向量都相等【答案】ABD【解析】对于选项A,有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在平行直线上，不一定在同一直线上，故A错误.对于选项B,由于零向量与任一向量平行，因此，若，中有一个为零向量时，其方向是不确定的.故B错误.对于选项C,由于向量与向量方向相反，所以二者是平行向量，故C正确.对于选项D,单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同.故D错误.故选：ABD8．下列命题中B不正确的有（）A.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；B.单位向量都相等；C.任一向量与它的相反向量不相等；D.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．【答案】BCD【解析】对于A，若向向量与是共线向量，则，或A,，，在同条直线上，故A错误；对于B，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故B错误；对于C，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故C错误；对于D，比如共线的向量与(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故D错误.故选：BCD．三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．【答案】④⑥【解析】由向量的相关概念可知④⑥正确．故答案为:④⑥10．如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）【答案】，，【解析】解：由题可得：与相等的向量是：，，；故答案为：，，.11．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有_______________【答案】向量，，．【解析】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故答案为:向量，，．四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）12．在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.【答案】A地至B，C两地的位移分别用表示；A地至B，C两地的实际距离分别为.【解析】A地至B，C两地的位移分别用表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：，所以A地至B实际距离为：，A地至C地的实际距离为：.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．【解】由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))的长度相等且方向相同，所以与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量为eq\o(DC,\s\up6(→))和eq\o(ED,\s\up6(→)).13．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与相等的向量共有几个；（2）与方向相同且模为的向量共有几个；【答案】（1）5；（2）2.【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，则，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个，如图1；（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.14．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量.【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）【解析】画出图形，如图所示．（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量为，，，，，，.（3）与共线的向量为，，.A级必备知识基础练1.[探究点一]有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是()A.1 B.2C.3 D.42.[探究点三]给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是()A.①② B.②C.②③ D.③④3.[探究点三]如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量PQ相等的向量是 ()A.PR与QR C.RA与CR 4.[探究点二]若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形ABCD的形状为(A.正方形 B.矩形C.菱形 D.等腰梯形5.(多选题)[探究点三]下列说法正确的是()A.若|AB|=|AD|且BA=CD,则四边形B.在平行四边形ABCD中,一定有ABC.若a=b,b=c,则a=cD.若a∥b,b∥c,则a∥c6.(多选题)[探究点一]下列说法正确的是()A.向量不能比较大小,但向量的模能比较大小B.|a|与|b|是否相等与a与b的方向无关C.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上7.[探究点二]在四边形ABCD中,AB=DC,且AB,AD是单位向量,则四边形8.[探究点三]如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与AB相等的向量共有几个?(2)与AB平行且模为2的向量共有几个?(3)与AB方向相同且模为32的向量共有几个?B级关键能力提升练9.已知a为单位向量,下列说法正确的是()A.a的长度为一个单位长度B.a与0不平行C.与a共线的单位向量只有一个(不包括a本身)D.a与0不是平行向量10.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是()A.与AB相等的向量只有一个(不包括AB本身)B.与AB的模相等的向量有9个(不包括AB本身)C.BD的模为DA模的3倍D.CB与11.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是.(填序号)

12.已知|AB|=1,|AC|=2,若∠ABC=90°,则|BC|=.

13.已知在四边形ABCD中,BC=AD且|AB|=|BD|=|BC|=2,则该四边形内切圆的面积是14.已知在四边形ABCD中,AB=DC,且|AB|=|AC|,tanD=3,判断四边形ABCD15.中国象棋中规定:马走“日”字,如图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量AA1与AA2C级学科素养创新练16.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是()A.|AB|=|EF|B.AB与C.BD与D.CD17.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且|AC|=5.(1)画出所有的向量AC;(2)求|BC|的最大值与最小值.参考答案1.C因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.B①起点相同,方向相同,但大小不一定相同,所以两个非零向量的终点不一定相同,故错误;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同,故正确;③两个平行的非零向量的方向相同或相反,故错误;④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,有向线段所在的直线可能平行,故错误.故选B.3.B向量相等要求模相等,方向相同,因此AR与RC都是和PQ4.C由BA=CD知,AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为|AB|=|AD|,所以四边形ABCD5.ABC对于A,由BA=CD,知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形,又因为|AB|=|AD|,所以四边形ABCD为菱形,故A正确;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平行且相等,AB,DC的方向相同,所以AB=DC,故B正确;对于C,由向量相等的定义知,当a=b,b=c时,有a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立,故6.AB对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小,向量的模可以比较大小,故选项A正确;对于B,|a|与|b|分别表示向量a与b的大小,与a,b的方向无关,故选项B正确;对于C,当b=0时,向量a与c可以是任意向量,都满足a∥b,b∥c,故选项C不正确;对于D,若向量AB与向量CD是共线向量,表示AB与CD的有向线段可能不在同一条直线上,得不出A,B,C,D四点在一条直线上,故选项D不正确.故选7.菱形由AB=DC可知四边形ABCD又AB,AD是单位向量,所以|AB|=|AD|=1,所以四边形ABCD8.解(1)与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB本身).(2)与向量AB平行且模为2的向量共有24个.(3)与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个.9.A∵已知a为单位向量,∴a的长度为一个单位长度,故A正确;a与0平行,故B错误;与a共线的单位向量有无数个,故C错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D错误.10.ABCA项,由相等向量的定义知,与AB相等的向量只有DC,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与AB的模相等的向量除AB外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=32DA,所以BD=3DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以CB与DA共线,故11.①③④若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.12.3由勾股定理可知,|BC|=|AC|2-|AB|13.3π4由BC=AD知四边形ABCD为平行四边形.由|AB|=|BD|=|BC|知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形,故∠ABC=120°,菱形ABCD的内切圆圆心O在对角线BD的中点处,令其半径为r,则r=12|BD|sin60°=32,所以该内切圆的面积S=πr2=π