山西省晋中市5月高考适应训练考试数学试题

山西省晋中市2025年5月高考适应训练考试试卷数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集运算即可求解.【详解】因为集合，，所以．故选：B.2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数的四则运算及虚部概念即可求解.【详解】由，可得，故z的虚部为．故选：D3.已知圆C的一般方程为，则圆C的圆心坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一般方程得到标准方程即可求解.【详解】由，得，可知圆C的圆心坐标为．故选：C4.已知是公差为1的等差数列，是其前n项和，若，则（）A1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】借助等差数列的性质计算即可得.【详解】因为，所以，由等差数列的性质得，所以，所以．故选：A.5.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，则经过3次移动后，该质点位于1处的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】证明质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，求出服从的分布即可求解.【详解】依题意，质点从原点O出发，移动到1处时，向左移动了一次，向右移动了两次，记向左移动的次数为X，则，所以．故选：B.6.下列频率分布直方图中，平均数大于中位数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数一般用每组数据的中点值乘以频率再求和来计算，再对照各个选项的图形分析，即可求解.【详解】根据拖尾效应，对于选项A和B，根据频率分布直方图关于中线对称，所以平均数等于中位数，所以A和B错误；对于选项C，根据频率分布直方图左拖尾，易得平均数小于中位数，所以C错误；对于选项D，根据频率分布直方图右拖尾，易得平均数大于中位数，所以D正确．故选：D7.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可得，进而得的周期为4，然后结合条件可得.【详解】定义在上的奇函数满足，则，于是，即的周期为4，则．故选：C.8.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，若（O为坐标原点），则的离心率为（）A.3 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】由，确定为直角三角形，进而得到，再结合双曲线定义得到，再由勾股定理即可求解.【详解】设C的半焦距为，过点且与的一条渐近线平行的直线交于点，由，可知为直角三角形，因为所在直线与平行，为锐角，所以，即，又，联立解得：，又，则，所以，由双曲线的定义可得，则，在中，，即，化简得，所以的离心率．故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由向量的线性运算及向量数量积的定义，余弦二倍角公式逐个判断即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，如图，连接AC交OB于点M，可知M为AC的中点，所以，故B错误；对于C，在中，易知，且，所以，，由二倍角公式可得，故C正确；对于D，连接，则，所以，故D正确．故选：ACD10.已知数列的通项公式为，前项和为，则（）A.既有最小项，也有最大项 B.使的的值共有个C.满足的的值共有个 D.使取得最小值的的值为【答案】AD【解析】【分析】构造，由函数的单调性得的单调性，从而有，，即可判断A，C，D的正误；对于B，利用，直接求出的个数，即可求解.【详解】令，易知在，上单调递减，所以当时，，时，，又由，知，，对于A，由上述分析知数列有最小项，且有最大项，故A正确；对于B，由，知，又，所以或或或，所以使的的值共有个，故B错误；对于C，要使，又，所以，，中有个负数或个负数，所以或或，故满足的n的值共有个，故C错误；对于D，因为时，，时，，所以当时，取得最小值，故D正确．故选：AD.11.如图（1），在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，连接AF，CE，分别交BD于点M，N，将沿直线BD折起到的位置，如图（2），则下列说法正确的是（）A.在翻折的过程中，恒有平面PENB.若G为直线PN上一点，则点G到直线AM最短距离为C.当二面角的大小为时，D.当平面平面ABD时，三棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】结合相似三角形及勾股定理可得，，对于A，结合翻折的知识可得，结合可得平面PEN，进而判断即可；对于B，与A同理可得平面AMF，进而得到，，可得MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，进而求解判断即可；对于C，结合空间向量的线性运算可得，根据二面角的大小为可得，进而利用空间向量的数量积的运算律求解判断即可；对于D，分析可得BD的中点为三棱锥外接球的球心，进而求解判断即可.【详解】在长方形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，计算可得，，易知，又，所以，则，，所以，所以，同理可得．对于A，由上述过程可知在翻折的过程中，，而，因为，PN，平面PEN，所以平面PEN，故A正确；对于B，与A同理可得平面AMF，因为平面AMF，所以，由平面PEN，平面PEN，可得，所以MN为AM，PN的公垂线段，所以点G到直线AM的最短距离为MN，而，故B正确；对于C，因为，二面角的大小为，则，所以，所以，故C错误；对于D，因为和都是直角三角形，且BD为公共边，所以BD的中点为其所在三角形的外心，同时也是三棱锥外接球的球心，所以外接球半径，所以三棱锥外接球的表面积，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数，则曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】求导，令，求得，进而可求解.【详解】因为，所以，令，得，解得，所以，则，所以曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：13.的展开式中，常数项为________．【答案】10【解析】【分析】根据，求出的展开式的通项即可求解.【详解】因为，又的展开式的通项为，所以当时，所以的展开式中常数项为10．故答案为：.14.已知函数满足，且在上有且仅有一个极值点，则________．【答案】【解析】【分析】结合三角函数的图象与性质可得的最小正周期，即可得的值.【详解】设的最小正周期为T，结合三角函数的图象与性质可知，所以，即，解得．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：a，b，c成等差数列；（2）求B最大值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理的边角互化以及正弦的和差角公式代入计算，即可证明；（2）由余弦定理结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由，结合正弦定理可得，整理得，①因为，所以，②将②代入①，得，再由正弦定理得，故a，b，c成等差数列．【小问2详解】由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，由，可得，所以B的最大值为．16.如图，在四棱锥中，，，，E为棱PC的中点，且．（1）证明：平面PAD；（2）证明：平面PAD；（3）若，，且二面角的余弦值为，求AB的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）1【解析】【分析】（1）取PD的中点，可得，，则，再利用线面平行判定定理即可得证；（2）由可得，再利用线面垂直判定定理即可得证；（3）由题意计算可得，则可建立适当空间直角坐标系，再计算出平面与平面的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得解.【小问1详解】如图，取PD的中点，连接，，则，，又，，所以，且，所以四边形ABEF为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面PAD；【小问2详解】因为，，所以，又因为，，且、平面，所以平面；【小问3详解】由，，可知，所以．故PA，AB，AD两两垂直，所以可以A为坐标原点，建立如上图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，所以，，，设平面ABE的法向量为，则，即，令，得，，所以，设平面PBE的法向量为，则，即，令，得，，所以，设二面角的大小为（由题可知为锐角），则，解得，所以AB的长为1．17.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解.【小问1详解】函数的定义域为，又，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由对任意恒成立，得对任意恒成立，即对任意恒成立．令，则有，显然为增函数，可得，则，所以．由（1）可知，所以，故的取值范围为．18.某学校有三个学生餐厅，高一新生王同学在开学第一天随机选择一个餐厅就餐，若前一天在A餐厅就餐，则当天还在A餐厅就餐的概率为，若前一天在B餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为，若前一天在C餐厅就餐，则当天在A餐厅就餐的概率为．（1）求王同学第二天在A餐厅就餐的概率；（2）求王同学第n天在A餐厅就餐的概率；（3）以王同学在餐厅就餐的概率估计高一新生在餐厅就餐的概率，若餐厅当天就餐人数比前一天就餐人数增加的比例不超过，则称就餐人数趋于稳定，试判断A餐厅从第几天开始就餐人数趋于稳定．【答案】（1）（2）（3）A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定【解析】【分析】（1）第i天去餐厅就餐的概率分别为，，，．由全概率公式即可求解；（2）由，结合全概率公式得到，即可求解；（3）法一，由（2）求得，，，即可判断，法二：，求解即可.【小问1详解】记第i天去餐厅就餐的概率分别为，，，．由全概率公式可得，所以王同学第二天在A餐厅就䭆的概率为．【小问2详解】由题可知，当时，，所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以王同学第n天在A餐厅就餐的概率为．【小问3详解】方法一：由（2）的计算可知，，，，，，，，，所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定．方法二：，化简得，因为，所以，所以A餐厅从第5天开始就餐人数趋于稳定．19.已知椭圆的离心率为，为C上一点．（1）求C的方程．（2）过C右焦点F的直线l与C交于A，B两点，记（O为坐标原点）的面积为S，过线段AB的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线AN，BN的斜率分别为，．（ⅰ）求S的取值范围；（ⅱ）求证：为定值．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）由离心率及点在椭圆上列出