数学七年级下册（鲁教版五四制）：等可能事件的概率深度导学案

数学七年级下册（鲁教版五四制）：等可能事件的概率深度导学案

一、学习导航

（一）学习目标

1.知识与技能目标：准确理解等可能事件的定义，掌握概率计算的核心公式P（A）等于事件A包含的结果数m除以试验总结果数n，能够熟练运用直接列举法、列表法、树状图法计算简单等可能事件的概率，并能对游戏的公平性作出定量判断。【非常重要】【高频考点】

2.过程与方法目标：通过抛硬币、掷骰子、摸球等试验活动，经历从具体试验到抽象公式的建模过程；在小组合作中体会分类讨论、数形结合及模型思想；能够将现实情境转化为数学模型，提升数据分析能力和逻辑推理素养。【重要】【思想方法】

3.情感态度与价值观目标：在探究活动中养成严谨求实的科学态度，通过跨学科案例（如生物学遗传）感受数学作为工具学科的价值，增强用数学语言描述世界的意识，形成积极向上的合作学习品格。【一般】【素养渗透】

（二）学习重点与难点

4.学习重点：等可能事件概念的本质理解；概率计算公式的准确应用；用列表法和树状图法不重不漏地列举等可能结果。【非常重要】【高频考点】

5.学习难点：对“等可能性”条件的准确辨析；在两步及以上试验中，用树状图或列表完整呈现所有等可能结果；解决含“放回”与“不放回”差异的概率问题。【难点】【易错点】

（三）学习准备

教具准备：多媒体课件（含动画模拟转盘、骰子、摸球试验），透明袋、红黄蓝三色球、质地均匀的硬币和骰子、自制8等分转盘。学具准备：每人一枚硬币、每小组两枚骰子、一套彩球、导学案纸质文本。环境准备：小组围坐式布局，便于合作实验与交流。

二、教学实施过程

（一）温故知新，导入新课（约6分钟）

教师活动：课件展示生活情境——篮球运动员罚球命中率约80%，抛图钉钉尖朝上的频率约0.6，抛硬币正面朝上的频率约0.5。提问：“这些0.5、0.6、0.8是概率吗？它们与频率有什么关系？”学生回顾七年级上册频率知识，明确概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，可通过大量试验用频率估计概率。教师顺势追问：“抛一枚硬币，正面朝上的概率精确等于1/2，这个1/2是如何得出的？是试验出来的还是推理出来的？”引出“等可能”思想。学生独立思考后回答：因为硬币质地均匀，正面、反面出现的机会均等，所以概率就是1/2。教师点评并板书课题，明确本节课将系统研究这类“所有结果出现可能性相等”的概率计算问题。【一般】【复习铺垫】

学生活动：每人抛硬币一次，记录正反面，组内汇总全班数据，初步感受频率与概率的接近性，激活已有经验。

（二）自主探究，建构概念（约12分钟）

1.等可能事件定义的深度建构【非常重要】【核心概念】

教师活动：布置小组试验任务——同时抛掷两枚质地均匀的硬币，观察所有可能结果。要求各小组动手试验10次并记录，同时不依靠试验，从理论角度思考“可能出现哪几种结果”。学生活动：动手操作，理论列举，组内产生认知冲突——有小组认为结果为“两个正面、两个反面、一正一反”三种；有小组认为“一正一反”应区分为“第一枚正第二枚反”与“第一枚反第二枚正”两种。教师组织辩论，引导从“结果是否等可能”角度辨析。通过实物演示和坐标图（硬币1结果作行、硬币2结果作列）直观展示四种结果：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。学生亲自掷骰子验证，发现四种结果出现频率基本相等，从而确认四种结果才是等可能的结果。教师顺势提炼：一次试验中，若所有可能出现的结果有有限个，且每个结果出现的可能性相等，则称这些事件为等可能事件。板书关键词：有限性、等可能性。【重要】【定义理解】

2.概率计算公式的自主生成【非常重要】【高频考点】

教师活动：回扣掷一颗骰子情境——骰子六个面点数分别为1至6，质地均匀。提问：“掷出点数为3的概率是多少？为什么？”学生回答：1/6，因为共有6种等可能结果，点数为3只是其中1种。教师继续追问：“掷出奇数点的概率是多少？”学生：3/6即1/2，因为奇数点有1、3、5共3种结果。教师引导学生用符号抽象：若一次试验共有n种等可能结果，事件A包含其中的m种结果，则事件A的概率P（A）等于m除以n。学生小组内互述公式含义，每人举一个生活实例说明公式的应用。【重要】【公式形成】

3.概念辨析与巩固【难点】【易错点】

教师出示辨析题组，要求学生独立判断并说明理由：

（1）抛一枚图钉，钉尖朝上与钉帽朝上。（不是等可能，图钉重心不在几何中心，两结果可能性不相等）

（2）从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽一张，抽到红桃与抽到黑桃。（是等可能，红桃、黑桃各13张，总数相等）

（3）在1至10中随机取一个整数，取到质数与取到合数。（不是等可能，质数有2、3、5、7共4个，合数有4、6、8、9、10共5个，1既不是质数也不是合数，总结果10种但质数与合数结果数不同）

（4）袋中装有2个白球、3个红球，除颜色外完全相同，随机摸一球，摸到白球与摸到红球。（不是等可能，白球与红球个数不等，但每个球被摸到的机会相等，因此事件“摸到白球”与“摸到红球”不是等可能事件，但每个球是等可能的）——此辨析极为重要，教师精讲：等可能性是指每一个基本事件，而非我们关心的事件类别。学生记录笔记，强化对基本事件空间的理解。【非常重要】【思维提升】

（三）合作交流，深化理解（约15分钟）

1.规范求概率四步法【非常重要】【高频考点】

教师结合摸球问题示范：袋中3红2蓝共5个球，除颜色外完全相同，随机摸一球，求摸到红球的概率。步骤板书——

第一步：审，判断试验是否等可能，总结果数n等于5（5个球，每个球被摸到机会均等）。

第二步：找，事件A“摸到红球”包含的结果数m等于3（3个红球）。

第三步：算，P（A）等于m除以n等于3/5。

第四步：答，摸到红球的概率为3/5。

学生模仿练习：袋中4黄1绿，求摸到黄球的概率；抛一枚骰子，求点数大于4的概率。两名学生板演，集体批注，强化步骤规范。【重要】【技能训练】

2.等可能性的条件变式【难点】【易错陷阱】

教师呈现对比题组，小组讨论辨析——

题组A：从2男3女中随机选1人，选到男生的概率。总结果5人，男生2人，概率2/5。

题组B：从2男3女中随机选1人，选到班长的概率。若班长是特定某一人，则概率1/5；若问“选到的人是班长”这个事件，但班长只有1人，所以仍是1/5；但若条件改为“从2男3女中随机选1人，已知选到的是男生，则他是班长的概率”——此为条件概率，初中不要求，教师点明此处不作深究，但强调必须明确“总结果是什么，事件包含的结果是什么”。学生通过对比清晰意识到，概率计算的前提是明确试验及基本事件空间。【重要】【严谨性】

3.有限等可能模型的辨识【热点】

教师呈现多种情境，学生抢答是否为等可能试验，并说明理由：

（1）转动如图非等分转盘，指针指向各区域。（不是，各区域圆心角不等）

（2）十字路口红绿灯，遇到红灯与绿灯。（不是，红绿灯时长不等）

（3）盒中有10个形状相同的签，其中3个写“中”，7个写“谢”，随机抽一签。（是，每支签被抽中等可能，但事件“中”与“谢”不是等可能）

（4）从全班学号中随机抽一个，抽到男生学号与女生学号。（取决于男女生人数是否相等，通常不是等可能）

此环节节奏明快，强化建模意识，避免滥用等可能模型。

（四）典例剖析，巩固提升（约25分钟）

1.单一事件概率计算【重要】【高频考点】

例1：一个不透明袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外无差别，搅匀后随机摸出一个球。

（1）摸到黑球的概率；

（2）摸到白球的概率；

（3）摸到黑球或白球的概率；

（4）若往袋中再放入1个红球，求摸到白球的概率。

学生独立完成，教师巡视，收集典型错解：第（3）问部分学生误以为黑球或白球是两种结果，错误计算为2/6，实际黑球或白球包含了所有6个球，是必然事件，概率为1。教师通过集合图（韦恩图）演示，强化“事件包含结果”的计数方法。【非常重要】【易错警示】

变式：若第一次摸出一个球，记录颜色后放回，再摸第二次，则两次都摸到黑球的概率是多少？引出两步试验，自然过渡至列表法与树状图法。

2.列表法求概率【非常重要】【高频考点】【热点】

例2：同时掷两枚质地均匀的骰子，计算：

（1）两枚骰子点数相同；

（2）两枚骰子点数之和为7；

（3）至少有一枚骰子点数为2。

教师示范列表法：以第一枚骰子点数作行（1至6），第二枚骰子点数作列（1至6），交叉格记为（a，b），共36个等可能结果。学生独立列表并计算指定事件的m值。

（1）点数相同：（1，1）、（2，2）、…、（6，6）共6种，概率6/36等于1/6。

（2）点数之和7：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）共6种，概率6/36等于1/6。

（3）至少一枚2：正向列举较繁琐，引导学生用补集法——反面是“没有一枚是2”，即第一枚不为2且第二枚不为2，共5×5=25种，则至少一枚2有36-25=11种，概率11/36。渗透补集思想。【重要】【思想方法】

学生分组计算其他事件，如“点数积为偶数”“点数差为1”等，组间互测，熟练列表技巧。教师强调列表法适用于两步试验，且结果有序排列。

3.树状图法求概率【非常重要】【高频考点】【难点】

例3：袋中有一个红球、一个黄球、一个蓝球，除颜色外无差别。从中摸出一个球记下颜色，放回并搅匀，再摸出一个球，求两次都摸到红球的概率。

教师引导学生思考：两步试验，第一步有3种结果，第二步仍有3种结果，总结果3×3=9种。如何不重不漏列出？示范画树状图：第一层三个分支（红、黄、蓝），第二层每个分支下再各生三个分支，写出所有路径。学生模仿画图，并计算指定概率——只有（红，红）1种，概率1/9。

变式1：不放回试验——第一次摸出后不放回，再摸第二次。树状图第一层仍是三个分支，第二层每个分支下只剩两个分支（因已被摸走一个），总结果3×2=6种。两次都摸红概率为0（因为第一次红被摸走，第二次无红可摸）。【非常重要】【对比辨析】

变式2：三步试验——连续摸三次，放回。树状图共三层，3×3×3=27种，学生尝试画部分分支，体会树状图在步骤较多时的优势。教师总结：树状图可以清晰呈现随机试验的逐次过程，尤其适用于有顺序、分步骤的问题，且能自然区分“放回”与“不放回”。【重要】【策略建模】

4.综合应用：游戏公平性【热点】【应用意识】

例4：转盘游戏——转盘被等分为8个扇形，标有数字1至8。甲说：“指针指向奇数我赢，指向偶数你赢。”乙说：“指针指向质数我赢，指向合数你赢。”

问题1：甲设计的游戏公平吗？

学生计算：奇数有1、3、5、7共4个，偶数有2、4、6、8共4个，概率均为4/8=1/2，公平。

问题2：乙设计的游戏公平吗？

学生辨析：1至8中，质数有2、3、5、7共4个，合数有4、6、8共3个，1既不是质数也不是合数，因此指向质数概率4/8=1/2，指向合数概率3/8，两者不相等，游戏不公平。

问题3：你能修改规则使游戏公平吗？开放性问题，学生小组讨论，提出多种方案，如：指向质数甲赢，指向合数乙赢，但若指向1则重转；或调整为“指向大于4的数甲赢，指向小于等于4的数乙赢”等。教师点评，强调概率相等是公平的量化标准。【重要】【创造性思维】

（五）拓展延伸，联系生活（约12分钟）

1.跨学科视域：孟德尔遗传定律中的概率模型【热点】【跨学科】

教师播放微视频，简述孟德尔豌豆杂交实验：纯种高茎（DD）与纯种矮茎（dd）杂交，子一代全为高茎（Dd）；子一代自交，子二代出现高茎与矮茎，比例约3:1。教师将生物学语言转化为数学模型：子一代基因型均为Dd，形成配子时，等可能产生D或d，雌雄配子随机结合，子二代的基因型为DD、Dd、dD、dd，且四种结果等可能，概率各1/4。表现型：高茎（DD、Dd、dD）概率3/4，矮茎（dd）概率1/4。学生现场模拟：用两枚硬币，正面代表D，反面代表d，同时抛掷，记录“正正”“正反”“反正”“反反”，对应表现型，全班汇总数据，逼近3:1。此活动将数学概率与生命科学规律紧密联结，学生惊叹数学的普适性。【非常重要】【价值引领】

2.现实生活决策中的概率【一般】【应用】

情境：某商场抽奖活动，一个不透明箱中放10个球，4个红球、6个黄球，摸到红球奖10元，摸到黄球奖2元，每次摸球后放回。问：摸一次，获得奖金的期望值初中暂不学，但可引导学生计算获得10元的概率与获得2元的概率，从而判断活动对顾客是否合算。另一情境：天气预报说“明天下雨概率为30%”，学生讨论此概率的意义，是频率解释还是主观置信度，教师点拨概率是随机事件发生可能性的定量刻画，并非明天有30%的时间下雨。通过辩论澄清常见误解。【重要】【生活数学】

3.数学文化渗透【一般】

简要介绍概率论的起源——帕斯卡与费马关于赌金分配问题的通信，引出等可能思想的历史脉络，激发学生对数学文化的尊崇。

（六）课堂小结，反思提升（约5分钟）

1.知识结构化梳理：教师引导，学生总结，形成板书式网络——

核心概念：等可能事件（有限、等可能）

核心公式：P（A）等于m除以n

核心方法：直接列举、列表法（两步，有序）、树状图法（多步，放回与不放回）

核心思想：模型思想、数形结合、补集思想【非常重要】【总结】

2.错题反思：请学生分享本节课最易出错之处，预设高频错误有——

（1）误将“一正一反”当成一种结果；

（2）忽略“放回”与“不放回”对总结果数的影响；

（3）审题不清，把基本事件与复合事件混淆。

教师针对错点再次强调，并展示典型错例，用红笔批注。

3.自我评价：学生对照学习目标，在导学案上勾画达成度，组内互助答疑。

（七）当堂检测，反馈矫正（约5分钟）

1.从一副扑克牌（去掉大小王）中随机抽取一张，抽到方片的概率是（）。【重要】【基础】答案：13/52=1/4。

2.一个不透明的袋子里装有5个绿球、3个蓝球，搅匀后随机摸出一个，摸到蓝球的概率是（）。【重要】【基础】答案：3/8。

3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰好出现一个正面、一个反面的概率是（）。【非常重要】【高频考点】答案：2/4=1/2。

4.某校九年级一班有25名男生、20名女生，二班有30名男生、25名女生。从每个班各随机抽取一名学生，抽取的两名学生恰好都是男生的概率是多少？【重要】【综合】答案：一班抽男概率25/45=5/9，二班抽男概率30/55=6/11，因相互独立，总概率为（5/9）×（6/11）=30/99=10/33。（此处渗透乘法原理雏形，教师视学情点拨）

5.袋中有2个红球、1个白球，除颜色外无差别。从中随机摸出两个球（不放回），请用树状图或列表法求摸到