重庆市沙坪坝区2025-2026学年高一数学下学期3月月考试题含解析

考试说明：1．考试时间：120分钟2．试题总分：150分

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一项符合题目要求.

1.e1，e2是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是（）

Ae和eeB.e2e和e2e

.1121221

C.和D.和

e12e24e22e1e1e2e1e2

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平面向量的基底的定义逐项判断即得.

【详解】对于A，由向量加法法则知，，及对应的有向线段可围成一个三角形，则和

e1e2e1e2e1e1e2

不共线，可作基底，A不是；

12

对于B，在e2e和2ee中，，则e2e和e2e不共线，可作基底，B不是；

1212211221

对于C，，和共线，不可作基底，C是；

4e22e12(e12e2)e12e24e22e1

对于D，和是以，为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量，不共线，可作基底，D

e1e2e1e2e1e2

不是.

故选：C

2.已知b2，a在b方向上的投影向量为2b，则ab的值为（）

A.7B.8C.9D.6

【答案】B

【解析】

abab

b2b2

【详解】因为a在b方向上的投影向量为2b，所以2，所以2，

bb

2

又b2，所以ab2b2228.

3.已知向量AB2,1，ACm,4，且ABACABAC，则AC（）

A.23B.4C.25D.26

【答案】C

【解析】

22

【详解】因为ABACABAC，所以ABACABAC，

2222

所以AB2ABACACAB2ABACAC，所以4ABAC0，

所以ABAC0，又因为AB2,1，ACm,4，所以2m40，

解得m2，所以AC2,4，所以AC224225.

4.在ABC中，BC2，AC13，AB6，则A（）

A.45B.60C.120D.135

【答案】A

【解析】

AB2AC2BC2

【分析】由余弦定理cosA直接计算求解即可.

2ABAC

222

AB2AC2BC261322

【详解】由题意得cosA，

2ABAC26132

又0A180，所以A45.

故选：A

5.圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根

直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳

光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定

为夏至.如图是根据六安市（北纬32°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知六安市冬至正午太阳高度角

（即ABC）约为34.57，夏至正午太阳高度角（即ADC）约为81.43，圭面上冬至线和夏至线之间

1153

的距离（即BD的长）为7米，则表高（即AC的长）约为（）（已知tan34.57，tan81.43）

168

A3.26米B.4.73米C.5.37米D.6.31米

.

【答案】C

【解析】

【分析】利用表高表示出冬至和夏至时圭面上的影长CB和CD，根据两者之差BD=7米列出方程，解出表

高。

ACh8h

CD

【详解】设表高ACh，在RtACD中，ADC81.43，tan81.435353，

8

ACh16h

CB

在RtACB中，ABC34.57，tan34.571111，

16

16h8h583

已知冬至线和夏至线之间的距离BDCBCD7米，所以7，解得h75.37，

1153760

因此，表高AC约为5.37米，

故选：C.

1

6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosBcosCbccosA，若sinB，

3

b

则（）

a

3421

A.2B.2C.D.

8332

【答案】A

【解析】

π

【分析】由正弦定理边角互化及两角和差公式可得sinABsinB，从而A2B，再由B0,得

3

到cosB的值，最后由正弦定理及二倍角公式可求得结果.

【详解】acosBcosCbccosA，由正弦定理得sinAcosBcosCsinBsinCcosA，

sinAcosBsinAcosCcosAsinBcosAsinC，

sinAcosBcosAsinBsinAcosCcosAsinC，即sinABsinAC，

π

sinABsinBABBA2B，AB3Bπ，B0,，

3

2

1122bsinBsinB132

sinB，cosB1，.

333asinA2sinBcosB2cosB8

故选：A.

a2b2c2ABAC

7.ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若S且BC0，则ABC

ABC

4ABAC

的形状是（）

A.顶角为120°的等腰三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.无法确定

【答案】C

【解析】

ABAC

【分析】由()BC0推导得BAC的平分线垂直于边BC，进而得bc，再由给定面积导

|AB||AC|

出BAC90得解.

ABAC

【详解】如图所示，在边AB、AC上分别取点D、E，使AD、AE，

|AB||AC|

以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，则AFADAE，显然|AD||AE|1，

ABAC

因此平行四边形ADFE为菱形，AF平分BAC，而()BC0，

|AB||AC|

所以AFBC0，即AFBC，于是得ABC是等腰三角形，即bc，

1

令直线AF交BC于点O，则O是BC边的中点，SaAO，

ABC2

a2b2c2111

而Sa2，因此AOaBC，从而得BAC90，

ABC4422

综上，ABC是等腰直角三角形.

8.在ABC中，点P满足BP3PC，过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N，若

AMAB，ANAC(0,0)，则的最小值为（）

2335

A.1B.1C.D.

2222

【答案】B

【解析】

13

【分析】根据平面向量的线性运算法则，及M,P,N三点共线，推得1.利用基本不等式中“1”

44

的妙用，求得的最小值.

13

【详解】BP3PC，即APAB3ACAP，APABAC，

44

11

，ANAC0,0，ABAM，ACAN，

AMAB

1313

APAMAN，M,P,N三点共线，则1.

4444

13333

1211，

4444442

13

1

4431333

当且仅当，即,时，等号成立，因此，的最小值为1.

3

442

44

故选：B.

二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目

要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a，b，c，下列说法错误的是（）

A.若ab0，则a0或b0B.若a∥b，b∥c，则a∥c

C.若abababD.若abac且a0，则bc

【答案】ABD

【解析】

【详解】若ab0，则abcosa,b0，所以a0或b0或ab，故A错误；

当b0时，a可为任意非零向量，c也可为任意非零向量，此时a与c不一定平行，故B错误；

由abab，可得abcosa,bab，

若a0或b0，则可得a∥b；

当a0且b0，可得cosa,b1，

所以a,b0或a,bπ，故a∥b，故C正确；

若abac，可得abc0，所以abccosa,bc0，

又a0，所以bc0或cosa,bc0，所以bc或abc，故D错误.

10.ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为ABC的面积，ABAC23S，且a2，下

列选项正确的是（）

π

A.A

3

B.若b3，则ABC有两解

b323

C.若ABC为锐角三角形，则取值范围是,

c23

D.若D为BC边上的中点，则AD的最大值为23

【答案】BCD

【解析】

【详解】因为ABAC23S，

13

所以bccosA23bcsinA，所以tanA，

23

π

又0Aπ，所以A，故A错误；

6

3

若b3，则bsinAab3，三角形有两解，故B正确；

2

ππππ

若ABC为锐角三角形，则0C，且AC，解得C，

2232

πππ

sinCsincosCcossinC

所以bsinBsinAC

666

csinCsinCsinCsinC

13

，

2tanC2

ππ13323

又C，所以tanC3，所以,，

322tanC223

b323

所以取值范围是,，故C正确；

c23

1

若D为边BC上的中点，则ADABAC，

2

212211

所以ADAB2ABACACc22cbcosAb2c23cbb2，

444

又a2c2b22cbcosAc2b23bc4，所以c2b23bc4，

由基本不等式得4c2b23bc2bc3bc23bc，

4

所以bc423，当且仅当bc26时等号成立，

23

213

所以ADc2b23cb1bc743，所以AD23，

42

当且仅当bc26时等号成立，故D正确．

11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三

角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是ABC内一点，△BMC，

，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有

AMCAMBSASBSCSAMASBMBScMC0

（）

A.若SA:SB:SC1:1:1，则M为ABC的重心

B.若M为ABC的内心，则BCMAACMBABMC0

C.若M为ABC的垂心，3MA4MB5MC0，则tanBAC:tanABC:tanBCA3:4:5

D.若，，M为的外心，则

BAC45ABC60ABCSA:SB:SC3:2:1

【答案】ABC

【解析】

2

【分析】对于A，取BC中点D，连接MD,AM，由题意可得2MDMA，即有AMAD，同理可

3

22

得CMCE，BMBF，即可判断；对于B，设内切圆的半径为r，由三角形的面积公式可得

33

111

BCrMAACrMBABrMC0，整理即可判断；对于C，由题意可得S:S:S3:4:5，

222ABC

ADBF

再由三角形的面积公式可得4，3，设MDx,MFy，可得3x22y2，进而可得

MDMF

435

tanABC，tanBAC，tanBCA，即可判断；对于D，设ABC的外接圆半径为R，

555

123212

根据题意及三角形的面积公式可得SAR，SR，SCR，即可判断.

2B44

【详解】A选项，因为SA:SB:SC1:1:1，所以MAMBMC0，

取BC的中点D，则MBMC2MD，所以2MDMA，

故A,M,D三点共线，且MA2MD，

同理，取AB中点E，AC中点F，可得B,M,F三点共线，C,M,E三点共线，

所以M为ABC的重心，A正确；

B选项，若M为ABC的内心，可设内切圆半径为r，

111

则SBCr，SACr，SABr，

A2B2C2

111

所以BCrMAACrMBABrMC0，

222

即BCMAACMBABMC0，B正确；

C选项，若M为ABC的垂心，3MA4MB5MC0，

则SA:SB:SC3:4:5，

如图，AD⊥BC，CE⊥AB，BF⊥AC，相交于点M，

又，

SABCSASBSC

S31

A，即AM:MD3:1，

SABC124

S41

B，即MF:BM1:2，

SABC123

S5

C，即ME:MC5:7，

SABC12

设MDm，MFn，ME5t，则AM3m，BM2n，MC7t，

nm

因为CADCBF，sinCAD,sinCBF，

3m2n

nm6

所以，即mn，

3m2n3

m5t10570

同理可得，即mt，故nt，

7t3m32

62

n630

m36，则sinBMD1，

cosBMD66

2n2n6

3030

故BDBMsinBMD2nn，

63

1052

t105421

m3105，则sinCMD1，

cosCMD2121

7t7t21

421421

故CDMCsinCMD7tt，

213

ADAD

tanABC,tanBCA，

BDCD

421

t

ADCDCD421t421t4

故tanABC:tanBCA3，

BDADBD3030n705

n30t

32

3

同理可得tanBAC:tanABC，

4

故tanBAC:tanABC:tanBCA3:4:5，C正确；

D选项，若BAC45，ABC60，M为ABC的外心，

则ACB75，

设ABC的外接圆半径为R，故BMC2BAC90,AMC2ABC120，

AMB2ACB150，

121212321212

故SARsin90R，SRsin120R，SCRsin150R，

22B2424

所以，D错误.

SA:SB:SC2:3:1

故选：ABC

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设向量a、b满足a1，b2，且a、b的夹角为60°，若向量a2b与向量tab的夹角为钝

角，则实数t的取值范围是________．

11

【答案】7,,

22

【解析】

【详解】向量a、b满足a1，b2，且a、b的夹角为60°，

1

故ababcos60121.

2

因为向量a2b与向量tab的夹角为钝角，

所以a2btab0且向量a2b与向量tab不共线（反向），

所以t2t12220且112t，

1

解之得：t7且t，

2

11

故实数t的取值范围为7,,.

22

13.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB3,CD2,AD3,BAD90.若P为线段AB上

一动点，则的最大值为______.

CPDP

【答案】6

【解析】

【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到CPDP(x1)22，再求二次

函数的最大值即可．

【详解】以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(3,0)，C(2,3)，D(0,3)，

设P(x,0)，其中0x3，

则CP(x2,3)，DP(x,3)，

CPDPx(x2)3x22x3(x1)22，

当x3时，CPDP有最大值6．

故答案为：6.

14.已知平面向量a，b，c满足：abc2，ac3，bc4，则abc___________，

且ab的取值范围为___________.

【答案】①.5②.3,7

【解析】

【分析】第一空：直接根据模的计算公式即可求解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解.

【详解】第一空：因为c2，ac3，bc4，

2222

所以a2acc9，b2bcc16

2222

abcabcabc2ab2ac2bc

22222

a2accb2bcc2abc9165；

第二空：对于两个向量u,v，有uvuvuv，

222222

进一步有u2uvvu2uvvu2uvv，

所以uvuvuv，

注意到c2，abc5，

从而ababcc3，等号成立当且仅当abc,c反向，

ababcc7，等号成立当且仅当abc,c同向，

所以ab的取值范围为3,7.

故答案为：5；3,7.

【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合ab2，得到xy2，其中

x6coscos8coscos12coscos，y6sinsin8sinsin12sinsin，由此即可顺利得

解.

四、解答题：共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知向量a3,1,bx,2

（1）若aab，求ab；

1

（2）若c，1，c//b，求3abb2c

2

【答案】（1）52；

（2）20.

【解析】

【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求出x，然后求出ab的坐标，由向量模的坐标表示可得；

（2）利用向量平行的坐标表示求出x，再由向量线性坐标运算和数量积的坐标表示可得.

【小问1详解】

因为a3,1,bx,2，所以abx3,3，

因为aab，所以aab3x3130，解得x4，

22

则ab7,1，所以ab7152.

【小问2详解】

11

若c，1，c//b，则x21，

22

1

则3ab33,11,28,1,b2c1,22,12,4，

2

所以3abb2c821420

cbsinAsinB

16.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．

absinC

（1）求角A；

（2）若a13，ABC的面积为33，求ABC的周长．

π

【答案】（1）A；

3

（2）713.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.

（2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出bc即可.

【小问1详解】

cbsinAsinBcbab

在ABC中，由及正弦定理，得，

absinCabc

b2c2a21

整理得b2c2a2bc，由余弦定理得cosA，而0Aπ，

2bc2

π

所以A.

3

【小问2详解】

13

由ABC的面积为33，得bcsinAbc33，解得bc12，

24

由（1）得13a2b2c2bc(bc)23bc(bc)236，解得bc7，

所以ABC的周长为abc713.

17.某城市公园计划将园内三角形区域ABC（如图）．建造为多功能区，其中AB140米，AC150米，

3

cosA．

5

（1）求BC的长度；

（2）公园拟在AB边上设置休息点D与A，B不重合．，同时将AD，CD，BD修建为三种不同功能的

AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记ADC，三段AI智慧步道的造价

总和记为S（单位：万元）．

①将S表示为的函数；

②若S不超过48万元，求的最大值．只需写出结论．

【答案】（1）130m；

1cos

（2）①S241，其中(B,A)；②.

sin2

【解析】

【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；

150sin(A)150sinA

（2）①利用正弦定理分别求出AD，CD，从而得到BD表达式，再写出S的

sinsin

表达式，最后求出范围即可；

π

②根据S48解得0,，再结合B,πA即可得到的最大值.

2

【小问1详解】

在三角形ABC中，

由余弦定理BC2AB2AC22ABACcosA，

3

代入，得到BC215021402215014016900，

5

解得BC130m．

【小问2详解】

AB2BC2AC214021302150255

①cosB，则B0,π,cosB

2ABBC21401301313

3

因为A0,π,cosA，

5

4

所以sinA1cos2A，

5

ADACCD

在三角形ACD中，由正弦定理，

sin(A)sinsinA

150sin(A)150sinA

所以AD，CD，

sinsin

150sin(A)

又BDABAD140，

sin

sinAsin(A)1cos

所以S0.1AD0.2CD0.3BD4230241，其中

sinsinsin

B,πA．

1cos1cos1cossin

②若S48，即24148，即1，即0

sinsinsin

π

因为sin0，因此只需1cossin0，化简得2sin1，

4

π2ππ5π

则sin，当0,π，则,，

42444

ππ3ππ

则,，解得0,，

4442

35

再考虑到B,πA，其中A0,π,cosA，B0,π,cosB，

513

π

故的最大值为．

2

18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b3且3a3csinB3bcosC．

（1）求B；

（2）若ABC为锐角三角形，求2ac的取值范围．

（3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值．

π

【答案】（1）

3

（2）0,3

3

（3）

2

【解析】

【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解；

（2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可；

3ac

（3）由余弦定理及基本不等式求出ac范围，再由三角形面积公式得出BD，再利用基本不等式求

ac

解即可.

【小问1详解】

由正弦定理可得：3sinA3sinCsinB3sinBcosC，

因为sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，

所以3sinBcosCcosBsinC3sinCsinB3sinBcosC，

即3cosBsinC3sinBsinC，

3

由sinC0可得3cosB3sinB，即tanB3，

3

π

由0Bπ，可得B.

3

【小问2详解】

acb33

2

因为π，

sinAsinCsinBsin3

32

2π

所以2ac4sinA2sinC4sinA2sinA

3

31

4sinA3cosAsinA3sinA3cosA23sinAcosA

22

π

23sinA，

6

π

A

2ππ

由三角形为锐角三角形可知，，解得A，

2ππ62

CA

32

πππ3

所以A0,，sinA0,，

6362

π

所以2ac23sinA0,3.

6

【小问3详解】

如图，

由余弦定理，b2a2c22accosBa2c2ac2acacac，

即ac3，当且仅当ac时，等号成立，

1π1π1π

又ScBDsinaBDsinacsin，

ABC262623

化简可得，BDac3ac，

3ac3ac333

所以BDac3，当且仅当ac时等号成立.

ac2ac222

3

故BD长度的最大值为.

2

19.对于给定正整数n，称有序实数组x1,x2,,xn为一个n维向量，记作ax1,x2,,xn．特别地，称

n

0,0,,0为零向量，记作00,0,,0．记集合Ra|x1,x2,,xn,xjR,j1,2,,n．设

，n，若对任意，都有，则称等于，记作

a1,a2,,anb1,b2,,bnRj1,2,,najbj

．对kR，按如下方式定义n维向量的数乘和加法：kaka1,ka2,,kan，