2026版高三数学讲义第二章　2.7　指数与指数函数

2．7指数与指数函数

1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．

2．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象经过的特殊点．

1．根式

(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根．

n

(2)式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．

nnna，a≥0，

(3)(a)n＝a.当n为奇数时，an＝a；当n为偶数时，an＝|a|＝

－a，a<0.

2．有理数指数幂

mn

正分数指数幂：an＝am

m11

负分数指数幂：－＝＝

概念anm，，∈*，

nma>0mnNn>1

ana

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意

义

ar·as＝ar＋s

运算

(ar)s＝arsa>0，b>0，r，s∈Q

性质

(ab)r＝arbr

3.指数函数的概念、图象与性质

(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义

域是R.

(2)图象与性质

项目y＝ax(a>0，且a≠1)

0<a<1a>1

图象

图象特征在x轴上方，过定点(0，1)

当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升

定义域R

值域(0，＋∞)

性单调性递减递增

质当x＝0时，y＝1

函数变

当x<0时，0<y<1；当x>0

化规律当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1

时，y>1

教材拓展

1．指数函数图象的画法

1

－1，

画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，a.

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数①y＝mx，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数m，b，c，d与1之

间的大小关系为c＞d＞1＞m＞b＞0.在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越

高，底数越大．

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝2x-1是指数函数．(×)

(2)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞).(×)

(3)2-3＞2-4.(√)

(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(×)

2．(人教A版必修第一册P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则

(C)

A．a＞b＞cB．a＞c＞b

C．c＞b＞aD．c＞a＞b

解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1

＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C.

3．(人教A版必修第一册P120T10改编)函数f(x)＝的单调递减区间为[1，

＋∞)．

解析：复合函数f(x)＝可以分为外部函数y＝0.7u与内部函数u＝x2－2x，因

为外部函数y＝0.7u在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所

以求f(x)的减区间，等价于求内部函数u＝x2－2x的增区间，易知u＝x2－2x的增区间为[1，

＋∞)，故f(x)的减区间为[1，＋∞).

55

4．已知a>0，b>0，则·a4÷b3＝1．

434433

55－＋－

解析：·a4÷b3＝··a5÷b5＝a55·b55＝a0·b0

＝1.

考点1指数幂的运算

【例1】计算：

33

(1)÷a-7a13(a>0)；

33

(2)－3－π0；

8

(3)(a>0，b>0).

11

【解】(1)原式＝÷＝(a3)3÷(a2)2＝a÷a＝1.

27131

3

3353

(2)原式＝－8－1＝－2－1＝－

22

－1＝0.

1

(3)原式＝＝·＝a-1＝.

a

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数的，先确定符号；底数是小数的，先化成分数；底数是带分数的，先化成

假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解

答．

1

【对点训练1】(1)已知a＋a-1＝7，则a2－＝(B)

A．5B．±5

C．3D．±3

11

－

解析：由＝a＋a-1－2＝5，可得a2－a2＝±5.故选B.

1133

(2)计算：(－64)3＋[(－3)4]4－(2－1)0＋3＝(C)

8

1311

A．－B．－

22

11

C．－D．

22

33

11331113

解析：(－64)3＋[(－3)4]4－(2－1)0＋3＝(－43)3＋(34)4－1＋23＝－4＋3－1＋

82

1

＝－.故选C.

2

考点2指数函数的图象及应用

bx

【例2】(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c与指数函数y＝a的图象可能是(A)

bx

bbb

【解析】因为y＝a为指数函数，所以>0，且≠1，所以－<0，因为二次函数y

aa2a

bb

＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－，所以B，D错误，由指数函数的图象可知0<<1，

2aa

1

1b－，0

所以－<－<0，所以二次函数图象顶点的横坐标在2内，所以C错误．故选A.

22a

(2)若关于x的不等式4ax-1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范

1

0，

围为2．

33

【解析】不等式4ax-1<3x－4等价于ax-1<x－1，令f(x)＝ax-1，g(x)＝x－1，当a>1时，

44

在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；

当0<a<1时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，

1

310，

如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2-1≤×2－1，a≤，故a的取值范围是2.

42

1．对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、

伸缩、对称变换得到．注意，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

【对点训练2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正

确的是(D)

A．a>1，b<0

B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0

D．0<a<1，b<0

解析：由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1.

方法一由f(x)＝ax－b的图象，得其与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x＝0，得y＝a－b，

则0<a－b<1，即0<a－b<a0，解得b<0.故选D.

方法二函数f(x)的图象可看作是由y＝ax(0<a<1)的图象向左平移得到的，则－b>0，即

b<0.故选D.

＋

xy11

(2)点M(x1，y1)在函数y＝e的图象上，当x1∈[0，1)时，可能等于(C)

x1－1

A．－1或－2B．－1或－3

C．－2或－3D．0

1

y＋1x

解析：表示点M(x1，y1)与点A(1，－1)确定的直线的斜率k，又M(x1，y1)是y＝e

x1－1

在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图，当M接近B(1，e)时，k→－∞，当M为(0，1)时，k

1＋1

＝＝－2，则k∈(－∞，－2]，只有C满足．故选C.

0－1

考点3指数函数的性质及应用

命题角度1比较指数式大小

【例3】(2024·四川成都模拟)设a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5，则(D)

A．a<c<bB．c<a<b

C．a<b<cD．b<a<c

【解析】因为指数函数y＝0.5x是单调减函数，所以0.51.1<0.50.4<0.50＝1，又幂函数y

＝x1.1在(0，＋∞)上是单调增函数，所以1＝11.1>0.51.1>0.41.1，又因为指数函数y＝1.1x是单调

增函数，所以1.10.5>1.10＝1，综上可得b<a<c.故选D.

命题角度2解指数方程或不等式

1x－1

【例4】(1)不等式≤4的解集为{x|－1≤x≤3}．

1

x－1

【解析】不等式≤4即2x2－4x－1≤22-2x，因为函数y＝2x为单调递增

函数，所以x2－4x－1≤2－2x，所以x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3，所以不等式≤

1

x－1

4的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．

163

xxx

【解析】由10x－6x－3x≥1，两边同除以10x，可得10＋10＋10≤1，令f(x)＝

163

xxx

10＋10＋10，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集

为[1，＋∞).

命题角度3指数函数性质的综合应用

2x

【例5】已知函数f(x)＝＋a.

1＋2x

(1)若f(x)是奇函数，求a的值；

(2)若f(x)≥0在x∈[－1，1]上恒成立，求a的取值范围．

2x20

【解】(1)因为f(x)＝＋a的定义域为R且是奇函数，所以f(0)＝0，即＋a＝

1＋2x1＋20

1

0，解得a＝－，

2

2x111

此时f(x)＝－＝－，

1＋2x221＋2x

2－x111

则f(－x)＝－＝－＝－f(x)，符合题意．

1＋2－x21＋2x2

(2)因为f(x)≥0在x∈[－1，1]上恒成立，所以f(x)min≥0.

1

，2

令t＝2x，因为x∈[－1，1]，所以t∈2，

1

t－1，2

所以y＝＋a＝＋1＋a，t∈2，

1＋t1＋t

1

－1，2

因为y＝＋1＋a在2上单调递增，

1＋t

－11111

所以ymin＝＋1＋a＝a＋，即f(x)min＝a＋，故a＋≥0，解得a≥－，

1

1＋3333

2

1

－，＋∞

所以a的取值范围是3.

1．比较指数式的大小的方法

(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．

(2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小．

2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．

3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构

成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，一般要借助“同增异减”这一性质分析判断．

易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类

讨论．

【对点训练3】(1)(多选)已知函数f(x)＝，则(ABD)

A.函数f(x)的定义域为R

B．函数f(x)的值域为(0，2]

C．函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增

D．f(2)>f(4)

解析：令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞).对于A，f(x)的定义域为R，故

1u

A正确；对于B，因为y＝2，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，

1u

2]，故B正确；对于C，因为u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝2

在[－1，＋∞)上单调递减，所以根据复合函数的单调性，得函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递

减，故C不正确；对于D，由于函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，则f(2)>f(4)，故D正

确．故选ABD.

(2)已知函数f(x)＝4x－m·2x+1－8.

①若m＝1，求不等式f(x)<0的解集；

②若x∈[0，2]，f(x)≥－12恒成立，求实数m的取值范围．

解：①xx+1xx+1x2×x

∀当m＝1时，可得f(x)＝4－2－8，即4－2－8<0，即(2)－22－8<0，整

理得(2x－4)(2x＋2)<0，

因为2x＋2>0，所以2x－4<0，解得x<2，所以不等式f(x)<0的解集为(－∞，2).

②令t＝2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]，可得4x－m·2x+1－8＝t2－2mt－8，

由f(x)≥－12，可得t2－2mt－8≥－12，

t2＋4

因为x∈[0，2]，f(x)≥－12恒成立，即t2－2mt＋4≥0对任意t∈[1，4]恒成立，即m≤

2t

对任意t∈∀[1，4]恒成立，

t2＋4t2t2t2

又因为＝＋≥2·＝2，当且仅当＝，即t＝2时取等号，

2t2t2t2t

所以m≤2，

即实数m的取值范围为(－∞，2].

课时作业12

1．(5分)如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝(D)

1

A．B．1

8

C．9D．8

1－3

1

解析：根据题意可得2a＝1a＝，－(b＋3)＝0b＝－3，则ab＝2＝8.故选D.

2

x2⇒＋x-2＋3⇒

2．(5分)若x＋x-1＝3，则＝(A)

x3＋x-3＋2

15

A．B．

213

45

C．D．

512

x2＋x-2＋3

解析：将x＋x-1＝3两边平方，得x2＋x-2＋2＝9，即x2＋x-2＝7，所以＝

x3＋x-3＋2

x2＋x-2＋37＋31

＝＝.故选A.

(x＋x-1)(x2＋x-2－1)＋23×(7－1)＋22

|x|

3．(5分)函数f(x)＝图象的大致形状是(A)

xex

1

，x>0，

ex

|x|1

解析：由题意f(x)＝＝1所以当x<0时，f(x)＝－单调递增，且f(x)<0，

xex－，x<0，ex

ex

11

当x>0时，f(x)＝单调递减，且f(x)>0，且当x从左边趋于0时，f(x)＝－趋于－1，当x从

exex

1

右边趋于0时，f(x)＝趋于1.故选A.

ex

334

4．(5分)已知a＝1.34，b＝1.64，c＝1.63，则(B)

A．b<a<cB．a<b<c

C．a<c<bD．b<c<a

3

解析：因为y＝x4在(0，＋∞)上为增函数，1.3<1.6，所以a<b，因为y＝1.6x在(0，＋∞)

34

上为增函数，<，所以b<c，所以a<b<c.故选B.

43

5．(5分)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，必成立的是

(D)

A．a<0，b<0，c<0

B．a<0，b<0，c>0

C．2－a<2c

D．ac<0

解析：由于函数f(x)＝|2x－1|在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上为增函数，由于a<b<c，

而f(a)>f(c)>f(b)，因此a<0，c>0，b无法确定正负，如图，

故ac<0，故A，B错误，D正确；由于a<0，则－a>0，故f(－a)－f(a)＝2－a－1－(1－2a)

＝2－a＋2a－2≥22－a·2a－2＝0，当且仅当a＝0时等号成立，又因为a不等于0，则等号无

法取到，因此f(－a)>f(a)，又f(a)>f(c)，所以f(－a)>f(c)，由于－a>0，c>0，f(x)＝|2x－1|在(0，

＋∞)上为增函数，因此－a>c，故2－a>2c，故C错误．故选D.

1x

6．(5分)已知f(x)＝x3＋πx－π＋e，若f(a)＋f(b)<2e，则(A)

A．a＋b<0B．a＋b>0

C．a－b<0D．a－b>e

1x1x1x

解析：设g(x)＝x3＋πx－π，x∈R，因为y＝π在R上单调递减，所以y＝－π在R

上单调递增，又y＝x3，y＝πx在R上单调递增，所以g(x)在R上单调递增，因为g(－x)＝(－

1－x1x

x)3＋π－x－π＝－x3＋π－πx＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，因为f(a)＝g(a)＋e，f(b)＝g(b)

＋e，所以f(a)＋f(b)＝g(a)＋g(b)＋2e<2e，所以g(a)<－g(b)＝g(－b)，又因为g(x)在R上单调

递增，所以a<－b，即a＋b<0.故选A.

7．(6分)(多选)已知a>0，b>0，则下列各式正确的是(ABD)

4

A．(π－3)4＝π－3

a3b2

B．＝1

ba6

m1

－

．n＝

Cam

an

21

－

D．4b3a3÷＝－6b

4a3b2

解析：由π－3>0，得(π－3)4＝π－3，A正确；＝＝

ba6

m121

00－3－3

·＝ab＝1，B正确；an＝n，C错误；4ba÷

am

＝·＝－6a0b1＝－6b，D正确．故选ABD.

2x

8．(6分)(多选)(2024·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是

2x-1＋1

(ABD)

A．函数f(x)单调递增

B．函数f(x)的值域为(0，2)

C．函数f(x)的图象关于(0，1)对称

D．函数f(x)的图象关于(1，1)对称

2x2x＋2－222

解析：f(x)＝＝＝2－，令t＝2x-1＋1，则函数y＝2－，t>1，又t

2x-1＋12x-1＋12x-1＋1t

2

＝2x-1＋1在R上单调递增，y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法

t

22

则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x-1＋1>1，所以0<<2，则0<2－<2，

2x-1＋12x-1＋1

22-x42

所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，

21-x＋12＋2x2x-1＋1

所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故C错误，D正确．故选ABD.

1

9．(5分)<的解集为(1，3)．

8

11

解析：由<得x2－4x<－3，解得1<x<3，即<的解集为(1，3).

88

－

10．(5分)设f(x)＝2x-1－2x-1，当x∈R时，f(x2＋2mx)＋f(2)＞0恒成立，则实数m的取

值范围是(－2，2)．

1x

11x

解析：由函数f(x)＝2x-1－2－x-1＝(2x－2－x)＝2－2，根据指数函数的图象与性质，

22

可得函数f(x)是R上的增函数．又f(－x)＝2－x-1－2x-1＝－(2x-1－2－x-1)＝－f(x)，所以函数f(x)

为奇函数．因为f(x2＋2mx)＋f(2)＞0，即f(x2＋2mx)＞－f(2)＝f(－2)，所以x2＋2mx＞－2，即

x2＋2mx＋2＞0在x∈R上恒成立，则Δ＝(2m)2－4×2＜0，即4m2＜8，解得－2＜m＜2，

所以实数m的取值范围是(－2，2).

11．(16分)已知f(x)＝(a2－2a－2)·ax＋b－8(a>0且a≠1)是指数函数．

(1)求a，b；

(2)求关于x的不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3的解集；

(3)求函数F(x)＝f(2x)－4f(x)－2在区间[0，3)上的值域．

a2－2a－2＝1，

解：(1)由指数函数定义，得

b－8＝0，

a>0且a≠1，

a＝3，

解得则f(x)＝3x，故a＝3，b＝8.

b＝8，

(2)不等式f(log0.5(x－a)＋b－2a)>3，即f(log0.5(x－3)＋2)>f(1)，

x

而函数f(x)＝3在R上递增，因此log0.5(x－3)＋2>1，

-1

即log0.5(x－3)>－1＝log0.50.5＝log0.52，则0<x－3<2，解得3<x<5，

所以原不等式的解集为(3，5).

(3)F(x)＝f(2x)－4f(x)－2＝32x－4·3x－2＝(3x)2－4·3x－2，

x∈[0，3)，令3x＝t，y＝F(x)，则t∈[1，27)，所以y＝t2－4t－2，t∈[1，27)，

由二次函数的性质可知，y＝t2－4t－2在[1，2)上单调递减，在(2，27)上单调递增，所以

ymin＝－6，

当t＝27时，y＝619，当t＝1时，y＝－5，619>－5，故函数F(x)在区间[0，3)上的值域

为[－6，619).

a·2x＋2

12．(17分)已知函数f(x)＝是奇函数．

2x－1

(1)求a的值；

(2)求解不等式f(x)≥4；

(3)当x∈(1，3)时，f(tx2)＋f(x－1)>0恒成立，求实数t的取值范围．

解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，

因为函数是奇函数，

a·2－x＋2a＋2·2x

f(－x)＝＝，

2－x－11－2x

所以f(－x)＝－f(x)，

a＋2·2xa·2x＋2

即＝，则a＝2.

1－2x1－2x

2·2x＋22x＋1

(2)f(x)＝≥4，即≥2，

2x－12x－1

x

整理得1<2≤3，则0<x≤log23，所以x∈(0，log23].

2·2x＋24

(3)f(x)＝＝2＋，所以f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．

2x－12x－1

由f(tx2)＋f(x－1)>0可得f(tx2)>－f(x－1)＝f(1－x)，

112

11－1

当t<0时，tx2<0，又x∈(1，3)，1－x<0，所以tx2<1－x，所以t<－＝x2－，所

x2x4

1

以t<－.

4

4

由f(x)＝2＋可知当x>0时，2x－1>0，所以f(x)>2；当x<0时，－1<2x－1<0，所以

2x－1

f(x)<－2.

当t>0时，tx2>0，则f(tx2)>2，而x∈(1，3)，1－x<0，则f(1－x)<－2，满足题意．

函数的定义域D＝{x|x≠0}，则t＝0时，tx2＝0∉D，不满足题意，舍去．

1

－∞，－

综上，t的取值范围为4∪(0，＋∞).

1x

，≥，

13．(5分)(2024·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝2x0则f(x)图象上关于原

－|x2＋2x|，x<0，

点对称的点有(C)

A．1对B．2对

C．3对D．4对

1x

解析：如图，作出f(x)的图象(实线)，再作出和函数y＝2，x≥0的图象关于原点对称

1x

的图象(虚线).因为和函数y＝2，x≥0的图象关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x<0的

图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对．故选C.

1

(a－1)x－，x≤1，

4

14．(5分)(2024·河北保定三模)已知f(x)＝a(a>1)的值域为D，

x＋－1，x>1

x

1，＋∞

D2，则a的取值范围是(D)

355

⊆，2，

A．2B．43

37

，2，2

C．2D．4

1

解析：①若1<a<2，当x≤1时，f(x)＝(a－1)x－在(－∞，1]上单调递减，此时

4

5

a－，＋∞a

f(x)∈4，当x>1时，f(x)＝x＋－1≥2a－1，当