2026版高三数学讲义第一章　1.1　集合

第一章集合、常用逻辑用语与不等式

1．1集合

1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．

2．会求两个集合的并集、交集与补集．

3．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合

间的基本关系和基本运算．

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

非负整数集正整有理

集合整数集实数集

(或自然数集)数集数集

*

符号NN(或N＋)ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元

素，就称集合A为集合B的子集，记作AB(或BA).

真子集：如果集合，但存在元素∈，且∉，就称集合是集合的真子集，

(2)AB⊆xB⊇xAAB

记作或

AB(BA).⊆

(3)相等：若AB，且BA，则A＝B.

⊆⊆

(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

(2)任何集合都是自身的子集．

3．集合的基本运算

表示

运算

集合语言图形语言记法

{x|x∈A，

并集A∪B

或x∈B}

{x|x∈A，

交集A∩B

且x∈B}

{x|x∈U，

补集∁UA

且x∉A}

教材拓展

1．若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非

空子集，(2n－2)个非空真子集．

2．若AB，BC，则AC.

．∩＝，∪＝

3AB⊆A⊆ABA⊆BABA.

．∁∩＝∁∪∁，∁∪＝∁∩∁

4U(AB)⇔(⊆UA)(UB)⇔U(A⊆B)(UA)(UB).

5．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).

1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(×)

(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)

(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(×)

(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)(A∪B).(√)

．人教版必修第一册改编已知全集＝∪＝∈≤≤，∩∁

2(AP14T6⊆)UAB{xN|0x10}A(UB)

＝{1，3，5，7}，则集合B＝{0，2，4，6，8，9，10}．

解析：因为U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A∩(∁UB)＝{1，3，5，

7}，∁UBA，所以∁UB＝{1，3，5，7}，故B＝∁U(∁UB)＝{0，2，4，6，8，9，10}．

．人教版必修第一册改编已知集合＝，，2，＝，＋，若∪

3(⊆AP35T9)A{13a}B{1a2}AB

＝A，则实数a＝2．

解析：因为A∪B＝A，所以BA，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，

，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当＋＝2时，＝－舍去或＝，此时

1}⊆a2aa1()a2

A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.

4．(人教A版必修第一册P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若BA，

则实数的取值范围为，＋∞．

a[2)⊆

解析：因为BA，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.

⊆

考点1集合的含义与表示

【例1】(1)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的元素只有一个，则实数a的值为(C)

9

A．B．0

8

9

C．或0D．无解

8

【解析】集合A中只有一个元素，即方程ax2－3x＋2＝0有一解或有两个相同的实数

2

解，当a＝0时，A＝{x|ax2－3x＋2＝0}＝{x|－3x＋2＝0}＝3，符合题意；当a≠0时，ax2

99

－3x＋2＝0有两个相同的实数解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝.综上可得a＝0或a＝.故选

88

C.

(2)已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若A＝B，则a＝(C)

A．－1或3B．0

C．3D．－3

【解析】∵A＝B，∴a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3，当a＝－1时，a2＝2a＋3＝1，

不满足集合中元素的互异性，舍去．当a＝3时，a2＝2a＋3＝9，此时A＝B＝{0，1，9}，满

足题意．综上，a＝3.故选C.

解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；

三是根据元素的特征(满足的限制条件)构造关系式解决相应问题．

x

z＝

【对点训练1】(1)设集合A＝{2，4}，B＝{1，2}，集合M＝z|y，x∈A，y∈B，

则M中所有元素之和为(C)

A．3B．5

C．7D．9

解析：当x＝2，y＝1时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝1；当x＝4，y＝1时，z＝4；当

x＝4，y＝2时，z＝2.所以M＝{1，2，4}，M中所有元素之和为7.故选C.

(2)已知集合A＝{a＋1，a2＋4a－9，2025}，若－4∈A，则实数a的值为(B)

A．－5B．1

C．5或－1D．－5或1

解析：∵A＝{a＋1，a2＋4a－9，2025}，且－4∈A，∴－4＝a＋1或－4＝a2＋4a－9，

若－4＝a2＋4a－9，则a＝－5或a＝1，当a＝－5时，a＋1＝－4，a2＋4a－9＝－4，此时不

满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，a＋1＝2，a2＋4a－9＝－4，此时A＝{2，

－4，2025}，符合题意．若a＋1＝－4，则a＝－5，此时不满足集合中元素的互异性，故舍

去．综上所述，实数a的值为1.故选B.

考点2集合的基本关系

x

【例2】(1)(2024·山西阳泉三模)设集合P＝{y|y＝e＋1}，M＝{x|y＝log2(x－2)}，则集

合M与集合P的关系是(C)

A．M＝PB．P∈M

C．MPD．PM

⊆⊆

x

【解析】函数y＝e＋1的值域为(1，＋∞)，函数y＝log2(x－2)的定义域为(2，＋∞)，

即P＝(1，＋∞)，M＝(2，＋∞)，所以有MP.故选C.

河北秦皇岛三模若集合＝≤，＝2－－≤，且，则的

(2)(2024·)A{x|⊆xa}B{x|x2x30}ABa

取值范围为

(D)⊆

A．[0，1]B．[0，3]

C．(－∞，1]D．(－∞，3]

【解析】由x2－2x－3≤0，即(x＋1)(x－3)≤0，解得－1≤x≤3，所以B＝{x|x2－2x－

3≤0}＝[－1，3]，当a<0时，A＝{x|x≤a}＝∅，符合AB，当a≥0时，由x≤a，解得0≤x≤a2，

a2≤3，

所以A＝{x|x≤a}＝{x|0≤x≤a2}，因为AB，所以⊆解得0≤a≤3.综上可得a的

a≥0，

取值范围为(－∞，3].故选D.⊆

1．空集是任何集合的子集，在涉及集合的基本关系问题中，如无特殊说明，必须考虑空

集的情况，否则易造成漏解．

2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进

而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

【对点训练2】(1)(2024·广东汕头三模)已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{－1，0，

1，2}，若MAN，则满足条件的集合A的个数为(D)

．．

A1⊆⊆B2

C．3D．4

解析：由题意可得M＝{x∈N|log2x≤1}＝{x∈N|0<x≤2}＝{1，2}，且N＝{－1，0，1，

2}，MAN，可知集合A必有1，2两个元素，可能有－1，0两个元素，所以满足条件的集

合的个数即为集合－，的子集个数，共有2＝个故选

A⊆⊆{10}24().D.

(2)(2024·广东深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}．已知集合A

＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(B)

A．2B．4

C．8D．16

解析：因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，所以A－(A－B)＝{3，5}，

有两个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4.故选B.

考点3集合的运算

命题角度1集合的运算

【例3】(1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝

(C)

A．{x|－1≤x<1}

B．{x|x>－3}

C．{x|－3<x<4}

D．{x|x<4}

【解析】集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝{x|－3<x<4}．故选C.

(2)(2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x∈A}，则∁A(A∩B)＝(D)

A．{1，4，9}B．{3，4，9}

C．{1，2，3}D．{2，3，5}

【解析】因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x∈A}＝{1，4，9，16，25，81}，所

以∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D.

命题角度2根据集合的运算求参数

【例4】(2024·福建宁德三模)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}．若A∩B

＝A，则m的取值范围是(D)

A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)

C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)

【解析】由A∩B＝A，得AB，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，则有

－m＋3≤－2，m≥5，

解得即m⊆≥5.故选D.

m＋3≥4，m≥1，

1．对于集合的运算问题，若所给集合是用描述法表示的，则需要将其具体化，如求出不

等式的解集，再结合数轴和Venn图进行集合之间的运算．

2．若所给集合中带有参数，在进行运算时要注意参数范围的边界值是否可以取到．

【对点训练3】(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，

3}，则A∩B＝(A)

A．{－1，0}B．{2，3}

C．{－3，－1，0}D．{－1，0，2}

解析：集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，(－3)3＝－27，(－1)3＝－1，

03＝0，23＝8，33＝27，则A∩B＝{－1，0}．故选A.

(2)(2024·湖南邵阳三模)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，如图

所示，则图中阴影部分表示的集合是(D)

A．{x|－1≤x≤6}

B．{x|x<－1}

C．{x|x>6}

D．{x|x<－1或x>6}

解析：因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤6}，所以题图

中阴影部分表示的集合∁U(A∪B)＝{x|x<－1或x>6}．故选D.

(3)(2024·广东佛山二模)已知集合A＝{x|x2－x≥0}，B＝{x|x<a}，且A∪B＝R，则实数a

的取值范围是(D)

A．a>0B．a≥0

C．a>1D．a≥1

解析：由x2－x≥0，可得x≥1或x≤0，即A＝{x|x≥1或x≤0}，由A∪B＝R，B＝{x|x<a}，

可得a≥1.故选D.

考点4集合的新定义问题

【例5】大数据时代，常需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现

象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，

编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元

素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B，

即A×B＝{(x，y)|x∈A且y∈B}．关于任意非空集合M，N，T，下列说法一定正确的是(D)

A．M×N＝N×M

B．(M×N)×T＝M×(N×T)

C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T)

D．M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)

【解析】对于A，若M＝{1}，N＝{1，2}，则M×N＝{(1，1)，(1，2)}，N×M＝{(1，

1)，(2，1)}，M×N≠N×M，A错误；对于B，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×N＝{(1，

2)}，(M×N)×T＝{((1，2)，3)}，而M×(N×T)＝{(1，(2，3))}，(M×N)×T≠M×(N×T)，

B错误；对于C，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×(N∪T)＝{(1，2)，(1，3)}，M×N＝

{(1，2)}，M×T＝{(1，3)}，M×(N∪T)＝(M×N)∪(M×T)，C错误；对于D，任取元素(x，

y)∈M×(N∩T)，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且y∈T，于是(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，

即(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，反之若任取元素(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，则(x，y)∈M×N且(x，

y)∈M×T，因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且y∈N∩T，所以(x，y)∈M×(N∩T)，即

M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)，D正确．故选D.

解决以集合为背景的新定义问题的关键

(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够

应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在．

(2)用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之

处用好集合的性质．

【对点训练4】(2024·浙江绍兴模拟)对于集合A，B，定义A\B＝{x|x∈A且x∉B}，则

对于集合A＝{x|x＝6n＋5，n∈N}，B＝{y|y＝3m＋7，m∈N}，C＝{x|x∈A________B且x<1

000}，以下说法正确的是(B)

A．若在横线上填入“∩”，则C的真子集有(212－1)个

B．若在横线上填入“∪”，则C中元素个数大于250

C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有(2153－2)个

D．若在横线上填入“∪∁N”，则∁NC中元素个数为13

解析：x＝6n＋5＝3(2n＋1)＋2，y＝3m＋7＝3(m＋2)＋1，集合A，B无公共元素，对于

5

A，集合C为空集，没有真子集，A错误；对于B，由6n＋5<1000得n<165，由3m＋7<1000

6

得m<331，因此C中元素个数为166＋331＝497，B正确；对于C，C中元素个数为166，非

166

空真子集个数为2－2，C错误；对于D，∁NC＝∁N[A∪(∁NB)]＝(∁NA)∩[∁N(∁NB)]＝(∁NA)∩B，

而B∁NA，因此∁NC中元素个数为331，D错误．故选B.

⊆

【例】已知关于x的不等式ax－1＞0的解集为M，若2∈M且1∉M，则实数a的取值

1

，1

范围是2．

1

【解析】因为2∈M，所以2适合不等式，即2a－1＞0，解得a＞.因为1∉M，所以1

2

1

，1

不适合不等式，即a－1≤0，解得a≤1.综上，a∈2.

本题难度低，计算量小，但是考查形式与常见的集合考查形式不一样，学生很容易陷入

思维定式，不能深刻理解本题为对元素与集合关系的考查，导致无法作答，复习过程中应从

各种角度加强对基础概念的理解．

课时作业1

2

1．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x－5x＋4<0}，则∁U(A∪B)

＝(C)

A．{0，1，3，4}B．{1，2，3}

C．{0，4}D．{0}

解析：因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}，又集合U＝

{0，1，2，3，4}，所以∁U(A∪B)＝{0，4}．故选C.

2．（5分）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1∉A}，则集合B中所有元

素之和为(C)

A．0B．1

C．－1D．2

解析：根据条件分别令m2－1＝－1，0，1，解得m＝0，±1，±2，又m－1∉A，所以m

＝－1，±2，B＝{－1，2，－2}，所以集合B中所有元素之和是－1.故选C.

1

3．（5分）（2024·安徽安庆二模）若集合P＝{x|－2≤x<m－m2，x∈Z}，当m＝时，集

2

合P的非空真子集个数为(C)

A．8B．7

C．6D．4

1

1x|－2≤x<，x∈Z

解析：根据题意，当m＝时，集合P＝4＝{－2，－1，0}，集合P

2

中有3个元素，所以集合P的非空真子集个数为23－2＝6.故选C.

4．（5分）已知集合A＝{1，－1}，B＝{1，0，－1}，则集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}中

元素的个数为(D)

A．2B．3

C．4D．5

解析：当a＝1时，b＝1，0，－1，则a－b＝0，1，2；当a＝－1时，b＝1，0，－1，

则a－b＝－2，－1，0.所以集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}＝{－2，－1，0，1，2}，所以元素

的个数为5.故选D.

5．（5分）（2024·广东广州三模）已知集合A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|3<x<5}，则{x|4≤x<5}

＝(D)

A．A∩(∁RB)B．∁R(A∩B)

C．(∁RA)∪BD．(∁RA)∩B

解析：由题得A＝{x|－3<x<4}，B＝{x|3<x<5}，A∩B＝{x|3<x<4}，∁RA＝{x|x≥4或x≤

－3}，∁RB＝{x|x≥5或x≤3}，所以A∩(∁RB)＝{x|－3<x≤3}，故A错误；∁R(A∩B)＝{x|x≥4

或x≤3}，故B错误；(∁RA)∪B＝{x|x≤－3或x>3}，故C错误；(∁RA)∩B＝{x|4≤x<5}，故

D正确．故选D.

6．（5分）（2024·河北邢台二模）已知集合A＝{－7，－3，－1，2}，B＝{x|a<x<a＋3}，

若A∩B中有2个元素，则实数a的取值范围是(A)

A．(－4，－3)B．[－4，－3]

C．(－4，0]D．[－7，－3)

解析：一方面，若A∩B中有2个元素x，y(x<y)，则由x，y∈B＝(a，a＋3)知y－x<a＋

3－a＝3.由x，y∈A＝{－7，－3，－1，2}，结合0<y－x<3，知x，y只可能分别是－3，－1.

所以a<－3，－1<a＋3，得－4<a<－3.另一方面，若－4<a<－3，则a<－3<－1<a＋3，所以

A∩B有2个元素－3，－1.综上，a的取值范围是(－4，－3).故选A.

7．（6分）（多选）已知非空集合M，N，P均为R的真子集，且MNP，则

(CD)

A．M∪P＝MB．N(P∩M)

C．∁RP∁RND．M∩(∁RN)＝∅

解析：由题意知MNP，对于A，可知M∪P＝P，故A错误；对于B，因为P∩M

＝M，所以P∩M为N的真子集，故B错误；对于C，可知∁RP为∁RN的真子集，故C正确；

对于D，因为∁RN为∁RM的真子集，且M∩(∁RM)＝∅，所以M∩(∁RN)＝∅，故D正确．故选

CD.

8．（6分）（多选）（2024·云南曲靖二模）已知集合S，T，定义ST＝{xy|x∈S，y∈T}，则

下列命题正确的是(BD)

A．若S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，则ST与TS的全部元素之和等于3874

R

B．若S＝{2021}，R表示实数集，R＋表示正实数集，则S＝R＋

C．若S＝{2024}，R表示实数集，则RS＝R

S

D．若S＝{2049}，R＋表示正实数集，函数f(x)＝log2024x，x∈(R＋)，则2049属于函数

f(x)的值域

解析：对于A，因为S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，根据所给定义可得TS＝{0，1}，

ST＝{1，1921，1949}，则ST与TS的全部元素之和等于3872，故A错误；对于B，SR＝{y|y

xS20242024

＝2021，x∈R}＝R＋，故B正确；对于C，R＝{y|y＝x，x∈R}，表示幂函数y＝x(x∈R)

的值域，可知幂函数y＝x2024(x∈R)的值域为[0，＋∞），即RS＝[0，＋∞），故C错误；对

S204920492049

于D，因为x∈(R＋)＝{x|x＝t，t>0}，当t＝2024时，则x＝2024，可得f(2024)

2049

＝log20242024＝2049，故D正确．故选BD.

9．（5分）（2024·江西九江三模）若集合A＝{x|log3(x－1)<1}，B＝{x|1≤x<2}，则A∩(∁RB)

＝{x|2≤x<4}．

解析：∵log3(x－1)<1，∴0<x－1<3，1<x<4，∴A＝{x|1<x<4}．又∁RB＝{x|x<1或x≥2}，

故A∩(∁RB)＝{x|2≤x<4}．

10．（5分）（2024·山东日照二模）设m∈R，i为虚数单位．若集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，

B＝{0，1，2}，且AB，则m＝1．

解析：由集合＝，＋－，＝，，，因为，所以当＋－

A⊆{12m(m1)i}B{012}AB2m(m1)i

2m＝0，2m＝2，

＝0时，方程组无解；当2m＋(m－1)i＝2时，⊆解得m＝1.综上可

m－1＝0，m－1＝0，

得，实数m的值为1.

3

－1≤x≤

11．（16分）已知集合A＝{x|a－1<x<a＋1}，B＝x|2.

(1)当a＝2时，求A∪B和A∩B；

(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．

3

x|－1≤x≤

解：(1)当a＝2时，A＝{x|1<x<3}，而B＝2，

3

x|1<x≤

所以A∪B＝{x|－1≤x<3}，A∩B＝2.

a－1≥－1，

1

(2)由A∪B＝B，得AB，显然A≠∅，于是3解得0≤a≤，

a＋1≤，2

2

⊆

1

0，

所以实数a的取值范围是2.

12．（16分）已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|(x－3)(x－5)<0}．

(1)求A∪B，∁R(A∩B)；

(2)定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，求A－B.

解：(1)A＝{x|x≥2}，B＝{x|3<x<5}，

所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3<x<5}，

所以∁R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}．

(2)因为M－N＝{x|x∈M且x∉N}，A＝{x|x≥2}，B＝{x|3<x<5}，

A－B就是求属于集合A但又不属于集合B的元素构成的集合，所以A－B＝{x|2≤x≤3

或x≥5}．

13．（5分）（2024·四川成都二模）如图，已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|x<1}，则阴影

部分表示的集合为(B)

A．(1，2)B．[1，2）

C．(0，1]D．（0，1)