工程信号与系统（第2版）课件 第七章z变换分析2

第七章离散系统z变换分析7.1z变换基本理论Z7.1z变换定义及收敛域Z7.2常用序列的z变换Z7.3z变换的性质-线性、移序、反折Z7.4z变换的性质-z域尺度特性、微分Z7.5z变换的性质-时域卷积Z7.6z变换的性质-部分和Z7.7z变换的性质-初值和终值定理Z7.8逆z变换方法：幂级数和部分分式展开Z7.9

z变换的计算机仿真求解Z7.10z变换与拉普拉斯变换的关系7.2离散时间系统的z变换分析法Z7.11差分方程的变换解Z7.12系统函数H(z)

Z7.13系统函数与系统特性Z7.14离散系统稳定性判据7.3信号流图与系统模拟Z7.15离散系统的方框图Z7.16离散系统的信号流图和梅森公式Z7.17离散系统的模拟7.4频率响应特性Z7.18系统对正弦序列的响应Z7.19LTI离散系统的频率响应Z7.20计算机仿真绘制零极点图

Z7.21应用案例：处理连续时间信号的离散时间系统*7.5数字滤波器设计及分析Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统Z7.23数字滤波器的分类Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器Z7.26窗函数法设计FIR滤波器Z7.27应用案例：计算机仿真设计低通滤波器Z7.28应用案例：简化物种增值模型Z7.29应用案例：连续时间信号的离散处理模型Z7.30应用案例：语音合成模型第七章离散系统z变换分析7.3信号流图与系统模拟知识点Z7.15离散系统的方框图主要内容：离散系统的方框图基本要求：掌握框图和差分方程的关系Z7.15

离散系统的方框图1.简单的方框图表示：2.系统的级联：7.3信号流图与系统模拟7.3信号流图与系统模拟3.系统的并联：4.用基本运算器表示系统：7.3信号流图与系统模拟7.3信号流图与系统模拟例

LTI离散系统的框图，列出其差分方程。解：设左边延迟器输入为X(z)，如图X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=F(z)–a1z-1X(z)–a0z-2X(z)→

Y(z)=b0z-2X(z)+b1z-1X(z)→

差分方程y(k)+a1y(k-1)+a0y(k-2)=b1f(k-1)+b0f(k-2)7.3信号流图与系统模拟知识点Z7.16离散系统的信号流图与梅森公式主要内容：系统的z域流图基本要求：掌握系统的z域流图和梅森公式Z7.16

离散系统的信号流图与梅森公式1.框图与信号流图对应关系：7.3信号流图与系统模拟2.信号流图规则：同连续系统信号流图规则7.3信号流图与系统模拟3.由框图到信号流图方法：选输入、输出、加法器输出、单位延迟器输出为变量，用点表示；传递函数在箭头处标注。例1

LTI离散系统的框图如下，画出系统的信号流图。7.3信号流图与系统模拟4.梅森公式：流图行列式（特征行列式）：除去第i条开路后剩余流图的行列式；：第i条开路的开路传输函数；m：从F(z)到的开路数。7.3信号流图与系统模拟7.3信号流图与系统模拟例2由离散系统的信号流图，写出其系统函数H(z)。解：流图的环传输函数

：两个不接触环的环传输函数：7.3信号流图与系统模拟计算流图的特征行列式：流图的开路传输函数Pi

及Δi

:由梅森公式求H(z):

7.3信号流图与系统模拟知识点Z7.17离散系统的模拟主要内容：离散系统的模拟基本要求：掌握离散系统的直接形式1流图1.直接形式例1画出如下系统的流图根据梅森公式，系统信号流图有3个相互接触的环和两条开路组成。开路传输函数为:解：7.3信号流图与系统模拟Z7.17离散系统的模拟环传输函数为:（直接形式2）（直接形式1）7.3信号流图与系统模拟2.级联形式例2画出如下系统的级联形式流图7.3信号流图与系统模拟解：3.并联形式例37.3信号流图与系统模拟解：7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.18系统对正弦序列的响应主要内容：LTI离散系统对正弦序列的响应基本要求：掌握正弦稳态响应的求解方法Z7.18

LTI离散系统对正弦序列的响应问题：设系统输入为初始时刻，求响应y(k)。f(k)表示为：(1)系统对的响应：设输入，响应为则7.4离散系统频率响应特性即设的收敛域含单位圆，令z为：则7.4离散系统频率响应特性其中，H(z)的收敛域含单位圆。(2)系统对的响应：设输入，响应为则(3)系统对正弦序列的响应：系统输入7.4离散系统频率响应特性由系统的线性性质，得：设则y(k)称LTI离散系统的正弦稳态响应。7.4离散系统频率响应特性7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.19LTI离散系统的频率响应主要内容：离散系统的频率响应基本要求：掌握离散系统的频率响应Z7.19

LTI离散系统的频率响应若LTI因果离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，，则称为频率响应。称为系统的幅频响应；称为系统的相频响应；7.4离散系统频率响应特性说明：表示系统对不同频率ΩT的正弦序列的稳态响应特性；是ΩT的连续周期函数，周期为2π。例1求出系统函数H(z)：系统差分方程为：解：7.4离散系统频率响应特性如图系统，f(k)为因果信号，，求收敛域含单位圆，系统的频率响应为：7.4离散系统频率响应特性幅频响应曲线：（称为数字角频率，可记为θ）7.4离散系统频率响应特性系统函数为例2已知离散系统的输入f(k)为求稳态响应y(k)。因为，所以H(z)收敛域包含单位圆。解：(1)7.4离散系统频率响应特性(2)7.4离散系统频率响应特性(3)7.4离散系统频率响应特性(4)

系统对f(k)的响应为y(k)

7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.20计算机仿真绘制零极点图主要内容：1.计算机仿真绘制零极点图2.计算机仿真求频率响应基本要求：1.了解零极点图的仿真绘制2.了解频率响应的仿真求解函数7.4离散系统频率响应特性Z7.20

计算机仿真绘制零极点图7.4离散系统频率响应特性例

已知系统函数为试用计算机仿真画零极点分布图，求单位序列响应h(k)和频率响应，并判断系统是否稳定。解：b=[1,2,1];a=[1,-0.5,-0.005,0.3];figure(1);zplane(b,a);%绘制零极点分布图num=[0,1,2,1];den=[1,-0.5,-0.005,0.3];h=impz(num,den);figure(2);stem(h,‘.’)%绘制h(k)[H,w]=freqz(num,den);%求频率响应figure(3);plot(w/pi,abs(H))程序运行结果如图所示，该因果系统的极点全在单位圆内，故系统是稳定的。(a)零极点图(b)单位序列响应(c)频率响应7.4离散系统频率响应特性知识点Z7.21应用案例：处理连续时间信号的离散时间系统主要内容：连续时间信号的离散时间系统的频率响应计算基本要求：掌握处理连续信号的离散系统的频率响应计算7.4离散系统频率响应特性Z7.21应用案例7.4离散系统频率响应特性例

一个处理连续时间信号的离散时间系统如图所示。Ha(jɷ)的截止频率为10π，画出该系统在下列系数下的频率响应。(1)(2)(3)解：系统的响应函数为(1)响应函数曲线为7.4离散系统频率响应特性(2)频率响应函数曲线如右图(3)频率响应函数曲线如右图7.4离散系统频率响应特性7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统主要内容：系统函数零极点的配置实现滤波系统基本要求：了解滤波系统的零极点配置方法7.5数字滤波器设计与分析Z7.22系统函数零极点的配置实现滤波系统系统的频率响应体现该系统的滤波能力，取决于系统函数H(z)的零极点分布。计算系统函数在某个复频率z=ejΩT处的值为：1.频率响应的计算方程中的因式均为复数，转换为极坐标形式，得到：因此7.5数字滤波器设计与分析如图所示，通过选取在单位圆上一点，能够计算任何频率值的频率响应。H(z)各因式的向量表示7.5数字滤波器设计与分析为增强频率ΩT处的幅度响应，应该放置一个极点尽可能靠近z=ejΩT；同理，为了抑制ΩT处的幅度响应，应该放置一个零点尽可能靠近z=ejΩT。对一个稳定的系统配置零极点，全部极点都必须位于单位圆内，零点可以位于任何地方。低通滤波器在ΩT=0有最大增益，则在单位圆内接近z=1处放置更多极点，其幅度响应逼近理想低通特性。(1)低通滤波器的零极点配置7.5数字滤波器设计与分析2.零极点配置方法在z=-1配置一个零点，对于

ΩT=π

提供零增益，从而使得幅度响应在较高频率衰减更陡峭。在ΩT=π

有最大增益，接近单位圆上z=-1点处，应配置极点，在z=1配置一个零点，来进一步抑制增益。(2)高通滤波器的零极点配置7.5数字滤波器设计与分析7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.23数字滤波器的分类主要内容：数字滤波器的分类基本要求：了解两种分类方法7.5数字滤波器设计与分析Z7.23数字滤波器的分类理想数字滤波器的频率特性如图所示，这些频率特性都是以2π

为周期的连续函数。对数字滤波器频率特性只要给出ΩT在0~π区间内H(ejΩT)的变化情况即可，即寻求系统函数H(z)，满足或者逼近性能要求。LTI离散系统的系统函数H(z)是z-1的有理函数，写成:7.5数字滤波器设计与分析(1)若ak不全为零，则对应的单位序列响应h(k)是无限长的，这种数字滤波器称为无限冲激响应滤波器(IIR)；(2)若ak全为零，其对应的单位序列响应

h(k)是有限长的，仅在给定时间区间[0,N]内有非零值，此时称为有限冲激响应滤波器(FIR)。7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器主要内容：冲激响应不变法设计IIR滤波器基本要求：了解冲激响应不变法设计IIR滤波器7.5数字滤波器设计与分析Z7.24冲激响应不变法设计IIR滤波器基本思想：(1)假设模拟系统的冲激响应

ha(t)的拉普拉斯变换，即模拟滤波器的系统函数Ha(s)

是一个有理真分式，具有单极点，则部分分式展开的结果为:(2)求逆变换，可得:(3)对其进行均匀采样并求其z变换：IIR滤波器的设计：把Ha(s)部分分式展开式

替换成7.5数字滤波器设计与分析与模拟系统函数比较：7.5数字滤波器设计与分析例

试用冲激响应不变法设计一个能够实现如下传输函数的离散时间系统，并比较原系统和数字滤波器系统在区间

内的频谱。解：极点为-1，-2，则设计的数字滤波器的系统函数为：7.5数字滤波器设计与分析为了比较原模拟滤波器和设计数字滤波器的性能，给出两者的频率特性如下：给出T=1,0.1,0.2s下连续系统和数字滤波器的频率响应；同时给出对数坐标下的频谱。7.5数字滤波器设计与分析(a)滤波器频谱可以看到，数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，其周期为取样角频率2π/T

。7.5数字滤波器设计与分析事实上，大多数系统的系统函数都具有收敛性，当频率达到一定程度时，幅频特性近似为0，频谱的混叠可以忽略。

另外，频率响应的周期化会导致频谱混叠。取样间隔

T越大，混叠越严重，失真也就越大。由取样定理，若信号的截止频率为ωm

，则只要2π/T≥2ωm

，就不会发生频谱混叠现象。原因：h(k)是ha(t)的取样，数字滤波器的频率响应自然是连续系统频率响应的周期化。7.5数字滤波器设计与分析(b)对数坐标下的频谱当

T=0.1时，离散系统的频率响应与原连续系统的频率响应非常接近，可以认为滤波器达到了设计要求。7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器主要内容：双线性变换法设计IIR滤波器基本要求：了解双线性变换法设计IIR滤波器7.5数字滤波器设计及分析Z7.25双线性变换法设计IIR滤波器双线性变换法的基本思路：将连续系统微分方程通过数值积分近似，导出相近的差分方程，从而完成离散系统的设计。则其系统函数为假设一个连续的一阶系统，其微分方程是冲激响应不变法s域和z域的映射具有多值性，出现频谱混叠，只适用于低通或带限的高通、带通情况。令数值采样步长为

T，t=kT，t0=(k-1)T，代入上式:7.5数字滤波器设计及分析将y(t)用

y′(t)

的积分表示假设T很小，上式用梯形法逼近积分项(面积)：7.5数字滤波器设计及分析根据微分方程y′(t)+ay(t)=bf(t)：代入，可得：7.5数字滤波器设计及分析该式是个一阶差分方程，两边取z变换：可得系统函数：与连续系统函数对比进一步研究，令

，

，可以得到：7.5数字滤波器设计及分析双线性变换法：通过s和z的映射关系，可以直接由模拟滤波器的系统函数Ha(s)得到数字滤波器的系统函数H(z)。这种映射关系属于双线性变换映射。故表明，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆，而且

Ω=±∞映射为

ω=±π，可以避免混叠。知识点Z7.26窗函数法设计FIR滤波器主要内容：窗函数法实现FIR滤波器设计基本要求：了解窗函数法实现FIR滤波器设计7.5数字滤波器设计与分析7.26窗函数法实现FIR滤波器设计7.5数字滤波器设计与分析假定目标系统的频率特性为Ha(jω)

，则相应的数字滤波器的频率响应为Hd(ejΩT)，其单位序列响应为hd(k)。求傅里叶反变换hd(k)，可能是无限长且非因果，为此要寻找一个因果的有限长序列

h(k)，7.5数字滤波器设计与分析窗函数设计的要求是：设计的滤波器频率特性

H(ejΩT)与要求的

Hd(ejΩT)，在频域均方误差最小的意义下进行逼近，即：化简上式得到：只要将无限长的序列hd(k)截断，取有限项h(k),k=0,1,…,N-1，即可使得误差达到最小。HN(k)称为矩形窗函数：通过长度为N的窗口截取目标系统的单位序列响应的一部分，故称为窗函数法。7.5数字滤波器设计与分析简单N点平滑和加权平滑的低通FIR滤波器比较：由幅频响应图看出，加权平滑低通滤波器(实线)的滤波特性优于简单平滑滤波器(虚线)，更接近理想低通滤波器。7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.27应用案例：计算机仿真设计低通滤波器主要内容：计算机仿真设计低通滤波器基本要求：了解低通滤波器的仿真设计方法7.5数字滤波器设计及分析例

设计一个低通滤波器，从受噪声干扰的多频率混合中获取10Hz的信号，信号和高斯噪声如下：

解：randn('state',1);Ws=1000;%采样频率t=0:1/Ws:0.4;x=sin(2*pi*10*t)+cos(2*pi*100*t)+0.2*randn(size(t));Wn=Ws/2;[b,a]=butter(10,30/Wn);%截止频率30/Wn的10阶Butterworth滤波器y=filter(b,a,x);%进行数字滤波7.5数字滤波器设计及分析输入与输出信号示意图7.5数字滤波器设计及分析知识点Z7.28应用案例:简化物种增值模型主要内容：简化物种增值模型基本要求：了解模型建立方法7.5数字滤波器设计与分析简化物种增值模型：假定在没有任何干扰情况下，某种动物自然繁殖将使每代总数以a倍(a>1)增长，令y(k)为某种动物到第k代时的总数，f(k)代表外界影响对动物总数的增减，则该种动物数量的增长满足如下一阶差分方程这种无反馈下的物种增值模型显然是不稳定的，因为它的单位序列响应是单边指数增长序列，即其系统函数为7.5数字滤波器设计与分析极点位置位于单位圆的外部，故系统不稳定。事实上，有限食物的限制、人类捕杀或者该动物天敌的捕食等节制因素，这些因素起着负反馈的作用。假定节制因素β以固定的比值来造成动物数量减少，建立动物数量的差分方程，分析系统的稳定性。7.5数字滤波器设计与分析解：建立差分方程建立该动态反馈系统的系统函数该系统是因果的离散时间一阶系统，极点α(1-β)，按照因果系统稳定的条件，极点位于单位圆内就为稳定系统，故对节制因素β的要求是:知识点Z7.29应用案例:连续时间信号的离散处理模型主要内容：连续信号的离散处理模型基本要求：了解模型结构7.5数字滤波器设计与分析7.5数字滤波器设计与分析连续时间信号的离散处理模型：将连续时间信号转换成离散时间信号的目的是，实现连续时间信号的数字传