2026年高考数学考前20天冲刺讲义（五）（原卷版）

目录倒计时04天➤排列组合与二项式定理（选填题）……………01聚焦排列组合应用、二项式定理通项及系数求解等2大考向10个核心考点倒计时03天➤不等式（选填题）………………09聚焦不等式性质与解法、基本不等式应用等2大考向6个核心考点倒计时02天➤复数（选填题）…………………15聚焦复数概念、四则运算及几何意义等7大考向8个核心考点倒计时01天➤集合与常用逻辑用语（选填题）………………22聚焦集合运算与关系、充要条件、量词等5大考向7个核心考点倒计时04天功不唐捐，玉汝于成。——《法华经》排列组合与二项式定理（选填题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①排列组合核心考点：两大计数原理、排列数组合数公式、常用方法（相邻捆绑、不相邻插空、定序倍缩、分组分配、隔板法）。二项式定理核心：通项公式、特定项系数、二项式系数性质（对称性、增减性、最大项、系数和）。②难度中档为主，强调分类清晰、不重不漏，避免复杂枚举。►高考前沿：聚焦有限制条件的分配问题（如名额分配、涂色问题）及二项式系数与系数最值；突出逻辑推理与数学运算，注意“分组是否有标识”“是否允许为空”等易错点，强化赋值法求系数和。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

分类计数原理（加法原理）.终极考点2

分步计数原理（乘法原理）.终极考点3

排列数公式==.(，∈N*，且)．注:规定.终极考点4

组合数公式===(∈N*，，且).终极考点5

排列数与组合数的关系.终极考点6

单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.终极考点7

分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.终极考点8

二项式定理;二项展开式的通项公式.终极考点9

二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即增减性当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或终极考点10

二项式系数和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.真题精研--复盘经典把握规律考向01排列组合综合1．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．202．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．种 B．种C．种 D．种4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．5．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为______．6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________．解题妙法三步解题法：三步解题法：识别问题类型：排列（有序）：从n个不同元素中选m个排成一列，A组合（无序）：C常见模型：相邻（捆绑法）、不相邻（插空法）、定序（除以阶乘）、分组分配（先分组再分配）、数字问题（特殊位置优先）、涂色问题（分类或递推）。选择解题策略：特殊元素/位置优先：优先处理有限制的元素或位置。捆绑法：若干元素必须相邻，将它们视为一个整体，内部再排列。插空法：若干元素互不相邻，先排无限制元素，再在空位中插入。间接法（正难则反）：总情况减去不符合条件的情况。平均分组：n个元素平均分成k组，每组m个，方法数为Cn计算并验证：注意区分“排列”还是“组合”；是否有重复计数（如分组是否有序、元素是否相同）；结果是否满足实际意义（如人数、对象是否可区分）。口诀：特殊优先绑插空，正难则反用间接；分组注意去重复，排列组合要分清。考向02二项式定理综合7．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（

）A． B． C． D．8．（2023·北京·高考真题）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．三、填空题9．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________．10．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为______．11．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为_________．12．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为______．13．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________．解题妙法三步解题法：三步解题法：写出通项公式：a+bn展开式的通项T注意a,b根据条件列方程：求指定项（如常数项、xk项）：令x的指数等于目标值，解出r求系数和：令x=1得各项系数和；令x=−1得奇偶项系数差；奇次项/偶次项系数和可用f整除与余数问题：将底数拆分为“模数+余数”形式，利用二项展开求余数。近似计算：取展开式前几项估算。计算组合数与系数：求出r后，计算Cnr及a涉及两个二项式相乘时，可分别写通项，再合并同次幂。口诀：通项公式写清楚，指数条件定r值；赋值法求系数和，拆底数解整除题。终极预测--压轴实战稳拿高分一、单选题1．（2026·吉林长春·二模）的展开式中的系数为160，则（

）A．-2 B． C． D．22．（2026·广东·模拟预测）在的展开式中，的系数为（

）．A．120 B．80 C．40 D．3．（2026·山西运城·二模）运城，因“盐运之城”而得名，它是一座因盐而建立起来的城市，史称“盐运专城”．甲、乙两名游客从运城的7个AAAA级旅游景区（含运城盐湖和鹳雀楼）中各选3个景区去旅游，则甲选了运城盐湖且乙未选鹳雀楼的选法共有（

）A．200种 B．225种 C．300种 D．400种4．（2026·广东茂名·二模）某学校从周一至周五中选择天开展社会实践活动，周一和周二不能同时被选中，则不同的选择方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种5．（2026·江苏·模拟预测）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（

）A． B． C． D．486．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（

）A．3种 B．6种 C．12种 D．48种二、多选题7．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．8．（2026·江苏南京·二模）已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大．若展开式中所有项的系数和为1，则正确的命题是（

）A． B．C．展开式中所有二项式系数的和为4096 D．展开式中第11项为9．（2026·山西临汾·二模）若，则下列结论正确的是（

）A．展开式中第1014项的二项式系数最大 B．C． D．被16除的余数是15三、填空题10．（2026·河北·模拟预测）的展开式中的系数为______．11．（2026·河南信阳·模拟预测）已知的展开式中常数项为180，则实数的值为__________.12．（2026·河南濮阳·二模）若，则___________．13．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种.14．（2026·浙江杭州·二模）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______15．（2026·重庆·模拟预测）小明玩一款棋，如图所示，地图上标记了不能走的山或湖，小明每一步只能向上或向右移动1格，则从起点到终点共有______种不同的走法.

倒计时03天静以修身，俭以养德。——诸葛亮《诫子书》不等式及基本不等式（选填题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①核心考点：一元二次不等式的解法、分式不等式、绝对值不等式、指对不等式，基本不等式求最值（一正二定三相等）。②难度中低档，常以“比较大小”“恒成立求参”“最值问题”形式考查，注意基本不等式配凑技巧与等号成立条件。►高考前沿：聚焦基本不等式与函数、三角、向量结合的最值及线性规划中含参问题；突出数学运算与逻辑推理，强化“1”的代换、拆项配凑等变形技巧，注意选填中的特值检验与数形结合。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

基本不等式1.，，（积定和最小）2.，，（和定积最大）3.，，终极考点2

基本不等式链拓展.m>n时，终极考点3

权方和不等式的二维形式若则当且仅当时取等.(注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀)终极考点4

糖水不等式定理若,则一定有通俗的理解:就是克的不饱和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,则糖水更甜;终极考点5

糖水不等式的倒数形式:设,则有:终极考点6

对数型糖水不等式（1）设,且,则有（2）设,则有（3）上式的倒数形式：设,则有真题精研--复盘经典把握规律考向01解不等式综合1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________．3．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______．解题妙法三步解题法：三步解题法：明确不等式类型：一元一次、二次不等式：化为标准形式ax分式不等式：移项通分化为fxgx>绝对值不等式：x<a⇔−a<x<指对数不等式：利用单调性，注意定义域及底数范围（a>1单调递增，0<a根式不等式：两边平方（注意非负条件）。代数变形与等价转化：移项、通分、因式分解、换元（如令t=2注意不等号方向变化：乘除负数要变号；取倒数需考虑正负；平方需保证两边非负。求交集并集，写解集：多个不等式组时取交集；分类讨论后取并集。结果用区间或集合表示，注意端点是否取等（分母为零、根号内非负、对数真数>0等）。口诀：二次看图象，分式化乘积，绝对值分段，指对调单调；定义域先行，等价转换要细心。考向02基本不等式及其应用4．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________．5．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________．6．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．7．（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．8．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（

）A．13 B．12 C．9 D．610．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．11．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：识别适用条件：基本不等式：a+b≥2ab（a>0,变形：ab≤a+三元形式：a+b+构造定值：和为定值求积最大：a+b为常数，则ab在a积为定值求和最小：ab为常数，则a+b在a配凑技巧：拆项（如x+1x）、添项（如x+“1”的代换：已知ax+by=1，求mx+n验证取等条件：求得最值后，必须验证等号能否成立（即变量是否在定义域内且满足等式）。若多次使用基本不等式，需保证每次取等条件能同时满足。口诀：一正二定三相等，配凑乘“1”是核心；和定积大积定和小，取等条件要记牢。终极预测--压轴实战稳拿高分一、单选题1．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：，q：，则p是q的（

）.A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．6 D．94．（2026·广东广州·二模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（

）A． B． C． D．5．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（

）A．11 B．12 C．13 D．146．（2026·河北衡水·二模）已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．17．（2026·湖南长沙·一模）已知数列是公比大于0的等比数列，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．8．（2026·山东德州·二模）已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2025·陕西·模拟预测）下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．10．（2026·河北沧州·二模）若，，，则（

）A． B．C． D．11．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知正数满足，则（

）A． B． C． D．12．（2026·山西太原·二模）已知三个不同的实数满足，且，则（

）A．B．C．D．的最小值是13．（2026·安徽滁州·一模）若x，y，，且，则（

）A．当时， B．C．当取得最大值时， D．当取得最小值时，三、填空题14．（25-26高三上·河北·月考）不等式的解集为______.15．（2026·安徽安庆·三模）一组数据19、5、4、13、a、b、1、2、16、3的第60%分位数为9（其中），则最小值为____.倒计时02天海到无边天作岸，山登绝顶我为峰。——林则徐复数（选填题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①核心考点：复数的四则运算、共轭复数、模、复数相等、几何意义（复平面内点与向量）、实部虚部概念。②难度为基础题，通常位于试卷前两道，考查直接计算或概念辨析，注意i的幂运算周期性。►高考前沿：聚焦复数几何意义与模的最值（如|z|=1求|z-a|范围）及复数与方程根的关系；突出数学运算与直观想象，强化对共轭复数、模长公式的熟练应用，避免符号错误。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

虚数单位：，规定终极考点2

虚数单位的周期终极考点3

复数的代数形式：Z=，叫实部，叫虚部终极考点4

复数的分类终极考点5

复数相等：若终极考点6

共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；，终极考点7

复数的几何意义：复数复平面内的点终极考点8

复数的模：，则；已知，且，则，真题精研--复盘经典把握规律考向01复数的四则运算1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（

）A． B． C． D．12．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．3．（2024·北京·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．4．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______．解题妙法三步解题法：三步解题法：牢记运算法则：加减法：a乘法：a除法：a利用共轭简化：除法时分子分母同乘分母的共轭；i的幂周期性：i4结果化简：最终结果必须写成a+bi（口诀：加减乘除按法则，分母实数用共轭；i的幂次周期四，结果化标准。考向02复数的实部与虚部5．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（

）A． B．0 C．1 D．6解题妙法三步解题法：三步解题法：化代数形式：将复数化为z=a+bi（a,b∈ℝ）的标准形式，其中a识别条件：实数⇔b=0；纯虚数⇔a=0两复数相等⇔实部、虚部分别相等。列方程（组）求解：根据条件（如某点为实数、纯虚数、或与另一复数相等），列出关于参数的方程，解出参数值。口诀：复数化标准，实部虚部分清；纯虚实数看虚实，相等列方程。考向03复数相等6．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（

）A．-1 B．0

C．1 D．2解题妙法三步解题法：三步解题法：化为标准形式：将等式两边的复数分别化为a+bi和实部虚部分别相等：由a+bi=c+解方程组：解出参数（如x,y或实数技巧：若复数相等涉及模或共轭，先化简再比较实部虚部。考向04复数的几何意义7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解题妙法建立对应建立对应：复数z=x+yi与复平面内的点Zx,考向05复数模长8．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（

）A． B． C．4 D．89．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（

）A．0 B．1 C． D．210．（2023·全国乙卷·高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．511．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则________．解题妙法三步解题法：三步解题法：模长公式：若z=a+bi运算性质：z1z2=zzn=z1求模技巧：直接计算：先化简复数，再代入公式。利用性质：已知z=r可表示模平方：z2注意：模是非负实数，方程z=a考向06共轭复数12．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．213．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（

）A． B． C．10 D．14．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（

）A． B．C． D．15．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（

）A． B． C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：定义：若z=a+bi运算性质：z1±z2z+z=2zz应用：已知z与z的关系（如z=z得实数；z化简分式：分子分母同乘共轭。解方程：将z和z视为两个变量，用z+z和z口诀：共轭实部同虚反，积模平方和实数；方程根成对出现，化简常用乘共轭。考向07复数轨迹问题16．（2023·上海·高考真题）设且，满足，则的取值范围为________________．解题妙法三步解题法：三步解题法：设复数为动点：设z=x+yi（x,常见轨迹模型：z−zz−zz−z1z−argz−z−z代数化简得轨迹方程：消去参数，得到x,y技巧：利用模的平方zz=终极预测--压轴实战稳拿高分一、单选题1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．2．（2026·湖南·三模）已知复数在复平面内对应的点为，则（

）A． B． C． D．3．（2026·江西宜春·模拟预测）若复数满足，则（

）A． B．5 C． D．4．（2026·陕西咸阳·三模）若复数，则（

）A． B． C． D．5．（2026·河北邢台·一模）已知复数，则（

）A． B． C． D．26．（2026·广东深圳·二模）设，互为共轭复数，如果，且为实数，那么（

）A． B．2 C．3 D．二、多选题7．（2026·河南·模拟预测）已知复数为纯虚数，则（

）A． B．C． D．8．（2026·四川泸州·模拟预测）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（）A． B．的虚部为C．z是方程的一个根 D．为纯虚数9．（2026·湖南浙江·模拟预测）若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（

）A．B．C．在复平面内对应的点位于第四象限D．若复数满足，则的最小值为10．（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则11．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为，则下列说法正确的有（

）A．B．C．D．的取值范围为12．（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（

）A．若，则 B．C． D．三、填空题13．（2026·宁夏银川·三模）已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________.14．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若复数（，是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为___________15．（2026·上海长宁·二模）已知复数满足：，且，则的最小值为________.倒计时01天星光不问赶路人，时光不负有心人。集合与常用逻辑用语（选填题）考情透视--把脉命题直击重点►命题解码：①集合核心考点：集合的交并补运算、元素与集合关系、子集个数、韦恩图、集合中的参数问题（已知包含关系求参）。常用逻辑用语：充分条件、必要条件、充要条件的判断与辨析，全称量词与存在量词的否定。②难度基础或中低档，强调概念清晰、逻辑严谨。►高考前沿：聚焦集合与不等式、函数定义域值域结合及以数学概念为载体的充要条件判断（如数列等差等比、向量平行垂直）；突出逻辑推理，注意端点取值“开闭”对包含关系的影响，以及否命题与命题否定的区别。考点抢分--核心精粹高效速记终极考点1

集合有个元素，子集有个，真子集有个，非空真子集个数为个.终极考点2

，终极考点3

终极考点4

德摩根公式终极考点5

充分条件与必要条件对于若则类型中，为条件，为结论若充分性成立，若必要性成立若，，则是的充分必要条件（简称：充要条件）若，，则是的充分非必要条件（充分不必要条件）若，，则是的必要非充分条件（必要不充分条件）若，，则是的既不充分也不必要条件终极考点6

全称量词命题与存在量词命题全称量词：（任意，所有，全部），含有全称量词的命题，叫做全称量词命题存在量词：：（存在一个，存在两个，存在一些），含有存在量词的命题，叫做存在量词命题终极考点7

全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题的否定全称量词命题：，，否定为：，存在量词命题的否定存在量词命题：，，否定为：，真题精研--复盘经典把握规律考向01交集1．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（

）A． B．C． D．3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．4．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（

）A． B． C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：明确集合元素：分清集合是数集、点集还是其他（如不等式解集、函数定义域/值域）。化简集合：将集合化简为最简形式（如解不等式、求定义域），必要时借助数轴或Venn图。找公共元素：交集A∩B口诀：交集取公共，数轴画重叠；点集结方程组，化简要先行。考向02补集5．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（

）A．0 B．3 C．5 D．86．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．8．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集,集合，（

）A． B．C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：确定全集：明确题目给定的全集U（若无特别说明，一般为实数集ℝ或题目中出现的最大范围）。化简集合：将需要求补集的集合A化简（如解不等式、表示成区间或列举）。取补集：∁UA={x∈U∣x∉技巧：补集常用于“正难则反”，如求满足条件的参数范围，可先求反面再取补。考向03子集9．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．解题妙法三步解题法：三步解题法：子集定义：A⊆B⇔任意x∈A判断子集关系：列举法：逐一检查A中元素是否都在B中。数轴法：区间端点和包含关系（注意端点是否取等）。含参问题：将A⊆B转化为不等式组（如A的右端点≤B的右端点，左端点求子集个数：若集合有n个元素，子集个数为2n，真子集个数2n−1，非空真子集注意：空集是任何集合的子集，讨论含参子集时需优先考虑A=⌀考向04充分条件与必要条件10．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件11．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（2023·天津·高考真题）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件14．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件15．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解题妙法三步解题法：三步解题法：分清条件与结论：设p为条件，q为结论。判断p⇒q与q充分不必要：p⇒q真，q必要不充分：p⇒q假，q充要：双向都真既不充分也不必要：双向都假转化为集合关系：设A={x∣p是q的充分条件⇔p是q的必要条件⇔充要条件⇔利用不等式或数轴：若涉及参数范围，根据集合包含关系列