2026年高考数学终极冲刺：清单02 高考数学考前重点题型归纳（抢分清单）-第四部分（解析版）

4/20清单02高考数学考前重点题型归纳（含28个专题，813个重点题型）题型01集合5个重点题型 题型02常用逻辑用语13个重点题型题型03复数15个重点题型 题型04平面向量26个重点题型题型05等式与不等式的性质及基本不等式16个重点题型 题型06三角函数与诱导公式11个重点题型题型07三角恒等变换24个重点题型题型08三角函数的图象及性质40个重点题型题型09解三角形小题35个重点题型 题型10解三角形大题36个重点题型题型11函数的概念及其表示10个重点题型题型12函数的基本性质45个重点题型 题型13指数对数幂函数40个重点题型题型14函数的图象6个重点题型 题型15函数与方程与函数模型22个重点题型题型16导数小题36个重点题型题型17导数大题40个重点题型 题型18数列小题40个重点题型题型19数列大题25个重点题型 题型20立体几何小题35个重点题型题型21立体几何大题35个重点题型 题型22直线与圆32个重点题型题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型题型25排列组合27个重点题型 题型26二项式定理17个重点题型题型27概率统计小题52个重点题型 题型28概率统计大题35个重点题型第四部分题型22直线与圆32个重点题型题号核心题型题型解决关键点1两直线垂直求参数利用两直线垂直的充要条件（斜率乘积为－1或一般式系数关系）列方程求解。2动直线过定点与点到直线距离最值将含参直线方程整理为关于参数的形式，令参数系数为零得定点；当直线与定点连线垂直时，点到直线距离最大，最大值即为两点间距离。3直线与圆相交的弦长最值直线过圆内定点，弦长最小时，圆心到直线的距离最大（即直线与定点、圆心连线垂直），利用弦长公式求解。4两圆相交的公切线交点判断两圆位置关系，利用几何性质：两圆相交时，外公切线交点位于圆心连线上，且到两圆心距离之比等于半径之比，结合定比分点公式求交点坐标。5已知弦长求参数由弦长公式得圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式列方程求解参数。6点与圆、直线与圆位置关系的充要条件点与圆位置关系由点到圆心距离与半径比较判断；直线与圆位置关系由圆心到直线距离与半径比较判断；结合充要条件定义判断。7直线与圆相交求斜率范围设直线点斜式，由圆心到直线距离小于半径列不等式，解出斜率范围，注意斜率不存在的情况。8平行直线与圆相交构成矩形平行直线与圆相交，若四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相等，由距离公式列方程求参数和。9圆关于直线对称与圆上点到直线距离最值利用对称性设出圆的标准方程，代入已知点求圆心半径；圆上点到直线距离的最大值和最小值分别为圆心到直线距离加减半径，求和即得。10两圆相切求参数分别求出两圆圆心和半径，根据外切或内切列出圆心距等于半径和或差，解方程求参数，注意分类讨论。11圆外一点与圆上点所成角最大问题过圆外一点作圆的两条切线，当点与切点连线与圆相切时，该点与圆上点连线的夹角最大，利用直角三角形边角关系求解。12圆与直线相切及弦长求半径由切点与圆心连线垂直于切线求圆心坐标满足的方程，再由弦长公式和点到直线距离公式列方程组求半径。13动点最值问题（对称转化）求两圆上动点与直线上动点距离之和的最小值，可作一圆关于直线的对称圆，将问题转化为圆心距减去半径之和。14直线与圆相交的弦长最值直线过圆内定点，当圆心到直线距离最大时弦长最小，此时直线与过定点和圆心的直线垂直，利用几何关系求弦长及余弦值。15切点弦所在直线过定点及点到直线距离最值设切点，利用切点弦方程，通过恒等式求出直线过定点，则点到直线距离的最大值为该点与定点之间的距离。16轨迹方程与切线夹角最值由垂足定义得轨迹为圆，过圆外一点作圆的两条切线，切线夹角的正弦最大值对应圆心角最值，通过几何关系求解。17弦中点轨迹与两圆有公共点求参数由弦长和半径得弦心距，从而得弦中点轨迹为圆；两圆有公共点等价于圆心距介于半径差与和之间，列不等式求参数范围。18向量数量积的最值取弦中点，将向量数量积转化为圆心到弦中点的距离与半径的关系，结合几何意义求最大值。19直线与圆相交的圆心角范围求参数由圆心角范围得到圆心到直线的距离范围，利用点到直线距离公式列不等式，结合直线过圆上定点，解出参数范围。20直线过定点、弦长、相交与相切的条件（多选题）将直线方程变形得定点；利用弦长公式和点到直线距离公式判断；根据圆心到直线距离与半径关系判断位置关系。21点到直线距离、两圆相交弦长、公切线、曲线交点面积（多选题）判断直线与圆相离，求最小距离；两圆方程相减得公共弦方程，再求弦长；由圆心距与半径关系判断公切线条数；联立曲线方程求交点，再求三角形面积。22圆上点到直线距离最值、四边形面积最值、数量积最值、切点弦方程（多选题）利用圆心到直线距离求圆上点到直线距离最值；将四边形面积表示为切线长与半径乘积，利用勾股定理求最值；利用数量积定义结合函数单调性求最值；以切点弦所在直线为两圆公共弦，联立方程求解。23两圆位置关系、公共弦方程、公切线（多选题）由圆心距与半径和差判断位置关系；两圆相交时，公共弦所在直线方程为两圆方程相减；圆心到直线距离等于半径时直线为切线。24两圆公共弦长两圆方程相减得公共弦所在直线，求圆心到直线距离，再利用弦长公式求解。25直线与圆相交的等腰直角三角形条件求参数由向量数量积为零得两半径垂直，从而圆心到直线的距离等于半径的2226等边三角形与直线与圆相交求参数等边三角形边长为圆半径，故圆心到直线的距离为半径的3227与两平行直线相切的圆方程设圆心坐标，利用圆心到两直线距离相等且等于半径，列方程组求解圆心和半径。28矩形对角线中点轨迹与距离范围由矩形性质得对角线中点相同且相等，转化为求中点轨迹圆上点到定点距离的范围，再转化为弦长范围。29圆过两点且圆心在直线上，求与圆相交的直线参数范围先求圆心和半径，再由圆心到直线距离小于半径列不等式解参数范围。30直线与圆相切且圆过定点，求半径最小值由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，由圆过定点得圆心到定点距离等于半径，转化为圆心到两直线距离相等，利用几何意义求半径最小值。31动直线交点轨迹与分式最值两动直线垂直且过定点，交点轨迹为圆；将分式变形为斜率形式，转化为圆上点到定点斜率的最值，利用切线求最值。32动点轨迹与线段长度最小值由圆的切线性质得动点满足的等式，化简得轨迹为直线，则线段长度的最小值即为原点到该直线的距离。一、单选题1．（2026·四川绵阳·模拟预测）若直线与直线垂直，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根据两直线垂直的条件列出关于的方程,求解的值即可.【详解】对于直线和直线垂直,则.已知直线中,直线中.因为,即.故选：C.2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】B【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得.【详解】把直线的方程重新整理得：，因为该等式对任意都成立，所以，解得，即直线恒过定点.当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化，而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离，此时.3．（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值.【详解】直线，可化为，则直线过定点，圆配方得，可得圆心，半径，所以，即点在圆内，则当点到直线的距离的最大值为时，，故选：C．4．（2026·广东佛山·一模）圆和圆的两条公切线的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断两圆位置关系，再根据几何性质可得为的中点，故可求交点坐标.【详解】，故圆的半径为，圆的半径为，且，故圆心距为，而，故两圆相交，故两圆有两条外公切线，

设一条公切线与两圆的切点分别为，两条切线的交点为，连接，则，故，由几何性质可得共线，故，故为的中点，故，故选：C.5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意求得圆心到直线l的距离，结合点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】因为，所以，则，故圆心到直线l的距离，即，解得．故选：D.6．（2026·江西南昌·一模）已知圆，：点在圆外，：直线与圆有两个公共点，则是的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】利用点与圆，直线与圆的位置关系的判断方法，结合充要条件的定义判断即得.【详解】由点在圆：外，可得，此时，圆心到直线的距离为，即直线与圆相交，故充分性成立；由直线与圆有两个公共点，可得圆心到直线的距离为，则有，即点在圆：外，故必要性成立.故是的充分必要条件.7．（2026·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，过点的直线与圆有两个交点，则直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线与圆相交以及点到直线的距离公式求斜率即可.【详解】圆可化为，则圆心，半径，由题意可知，过点的直线与圆相交，当直线的斜率不存在时，与圆相切，不符合题意；故直线的斜率存在，设，即，则，即，得，故直线斜率的取值范围是.故选：C8．（2026·四川德阳·二模）若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则m＋n＝（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】A【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可.【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等，圆的圆心为：，圆心到直线的距离为：，圆心到直线的距离为：，，又，.9．（2026·福建泉州·一模）已知直线，圆关于轴对称，且过点，则圆上的点到的距离的最大值与最小值之和等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可设圆的方程为，将代入可得，解之得，所以圆心与半径分别为，则C到的距离为，所以圆上的点到的距离的最大值与最小值分别为，其和为.10．（2026·湖南怀化·一模）已知圆与圆相切，则（

）A．4 B．6 C．4或6 D．16或36【答案】C【分析】求出两圆的圆心和半径，分内切与外切求解.【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，，当两圆外切时，，即，解得；当两圆内切时，，即，解得；综上，则或.11．（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值.【详解】设圆的圆心为，则，半径，过作圆的切线，设交点为，如图，由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大，因为，所以,又，所以,所以.12．（2026·湖南·模拟预测）已知圆与直线相切于点，与直线相交于两点，且，则圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切点以及切线方程可知，再由点到直线距离以及弦长公式可求得圆的半径.【详解】设圆心，由圆与相切于点可得，即，所以圆心到直线的距离为，又弦长为4，故圆的半径．13．（2026·广东茂名·一模）已知分别为直线，圆，圆上的动点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先求出圆的圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可．【详解】由题意知圆，其圆心为，半径为，则圆心关于直线的对称点坐标，则可知与的中点在直线上，所以有解之可得，则，而圆化为标准方程为，其圆心为，半径为，则与之间距离为，圆上点关于直线在上的对称点为，所以.故选：

14．（25-26高三上·广东·期末）设动直线（）交圆于，两点（点为圆心），当最小时其余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出直线所过定点，当最小时，此时最小，直线与过点和的直线垂直，求出，进一步求出．【详解】因为动直线，所以，因为，所以，所以直线过定点，当最小时，此时最小，又，其中r为圆C的半径，，d为圆心C到直线l的距离，当d最小时，也即直线与过点和的直线垂直时，最小，如图所示，此时，，所以．故选：C．15．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系中，已知圆，点．点在直线上运动，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】设出点的坐标，根据切线的性质可得到直线的方程，进而可知直线过定点，进而可知点到直线的距离的最大值为.【详解】如图，设，则.根据圆的切线性质知，以为直径的圆与圆交于两点，即线段为两圆的公共弦.而以为直径的圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即.与圆的方程作差得直线的方程为，将代入得，即.因为上式对恒成立，令，解得，所以直线恒过定点，所以点到直线的距离，所以点到直线的距离的最大值为.16．（2026·广东汕头·模拟预测）为平面直角坐标系中一点，直线的方程为，过点M作l的垂线，垂足为Q，记Q点的轨迹为曲线E，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则正弦值的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设动点Q的坐标为，根据题意得曲线的方程为结合图形特征及正弦函数单调性得出即可求解.【详解】设动点Q的坐标为，，直线，恒过定点，所以，所以Q点的轨迹为以为直径的圆的方程，圆的圆心为的中点，半径为，所以曲线的方程为，根据题意，过直线上任意一点P作E的两条切线，切点分别为A、B，则，，所以当取最小值时，取最大值，即取最大值，所以最小值为，此时，即得，此时，则.所以正弦值的最大值为．17．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据的长度和圆的方程可得点P的轨迹，再分析与圆的位置关系进而即得.【详解】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，由P是弦AB的中点，且，则，所以，故点P在以为圆心，以为半径的圆上．又在圆上存在点P恰为线段AB的中点，则两圆有公共点，可得，即，解得或．则实数m的取值范围为．18．（2026·辽宁大连·一模）已知点是圆上一点，直线与圆相交于，两点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题设作的中点，利用向量的加法法则将转化为；结合图形可得进而即可求解.【详解】依题意，直线可化为，所以直线过定点；圆的圆心为，半径为，所以，所以定点在圆的内部；如上图（左），作的中点，则，所以；如上图（中），在中，，当与重合时取等号，此时；如上图（右），在中，，当与共线时取等号；所以.当与重合，且，共线时取等号.故选：D.19．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解.【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为，当时，则，又圆的半径，可得，又直线过定点，且点在圆上，若要使得，则圆心到直线的距离，且即可；所以，且，解得且，所以实数的取值范围为.

二、多选题20．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知直线l：与圆C：，则（

）A．直线l过定点B．当时，直线l被圆C所截的弦长为C．当直线l与圆C相交时，D．当直线l与圆C相切时，【答案】ABD【详解】由直线l：可得，则直线l过定点，则A正确.当时，直线l：，圆C的圆心C到直线l的距离，则直线l被圆C所截的弦长为，B正确.当直线l与圆C相交时，圆心C到直线l的距离，解得，C错误.当直线l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离，解得，D正确.21．（2026·河南·模拟预测）已知⊙O：，则下列说法正确的是（

）A．⊙O上一点到直线l：距离的最小值是B．⊙O和圆：的相交弦长是4C．⊙O和圆：有且只有两条公切线D．⊙O和曲线C：交于A，B两点，则△OAB的面积为【答案】BD【分析】对于A，先根据点到直线的距离判断直线与圆的位置关系，进而求出最小距离；对于B，先判断⊙O和圆的位置关系，然后联立两圆方程求出两圆的相交弦的直线方程，进而根据点到直线的距离求出结果；对于C，先判断⊙O和圆的位置关系，进而判断公切线条数；对于D，联立圆与曲线的方程，求出的坐标，进而求得三角形面积.【详解】对于A，圆心的坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以直线与圆是相离的，所以⊙O上一点到直线l：距离的最小值是，所以A错误；对于B，圆的标准方程为，所以，半径为3，所以，因为，所以两圆相交，两圆方程相减得，化简得.所以两圆的相交弦的直线方程为，圆心到直线的距离为，所以⊙O和圆：的相交弦长是4，B正确；对于C，圆的标准方程为，所以，半径为3，所以，所以两圆外切，所以⊙O和圆：有三条公切线，C错误；对于D，联立，得，解得（舍去）或.所以，所以，D正确.22．（2026·江西赣州·一模）已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（

）A．圆上的点到直线的最大距离为B．四边形面积的最小值为4C．的最小值为8D．当点坐标为时，直线的方程为【答案】ABD【分析】A计算圆心到直线的距离即可判断；B根据计算面积即可；C利用数量积的定义以及对勾函数的单调性判断；D求出以为直径的圆的方程，再求两圆的交线即可.【详解】由题意得，，半径，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最大距离为，故A正确；因为，所以四边形面积为，当时，四边形面积的最小值，故B正确；因为，所以因为在上单调递增，且，所以当，即时取得最小值，最小值为，故C错误；因为，所以以为直径的圆的方程为，即，则直线的方程为，故D正确.23．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆与圆，则下列说法正确的有（

）A．若，则两圆外离B．若两圆相交，则C．若，则两圆的公共弦所在直线方程为D．若，则直线为两圆的公切线【答案】BD【分析】根据圆与圆位置关系计算可判断AB；根据两圆公共弦所在直线方程求法计算可判断C；根据直线与圆的位置关系计算可判断D.【详解】由圆，得圆心，半径，由圆，得圆心，半径．对于A，若，，两圆外切，故A错误；对于B，由两圆相交，得，即，解得，故B正确；对于C，若，则，此时，所以两圆相交，因为两圆方程作差得，所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误；对于D，若，则到直线的距离，到直线的距离，所以直线为两圆的公切线，故D正确．三、填空题24．（2025·广东东莞·模拟预测）圆与圆的公共弦长为________.【答案】【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长.【详解】法1，两圆与圆均过点，，弦长为.法2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，圆的圆心到直线的距离，故公共弦长为.故答案为：.25．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则___________．【答案】【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解.【详解】依题意，圆心为，半径为；因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为；又圆心到直线的距离为；所以，解得.故答案为：.26．（25-26高二上·天津武清·月考）已知圆与直线，若直线l与圆C相交于A，B两点，且为等边三角形，则______．【答案】【分析】将圆的方程转化为标准方程，求得其圆心和半径，根据为等边三角形可知等于圆的半径，由此求得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式，即可求得的值.【详解】由圆，得.所以圆心的坐标为，半径.因为为等边三角形，所以.所以圆心到直线的距离为.即，所以.故答案为：.27．（2026·天津河东·一模）已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________.【答案】【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可.【详解】设圆心，，由题意得，解得或0（舍去），则圆的半径，所以圆的方程为.故答案为：.28．（2026·江苏·一模）已知圆是上的两个动点，点．若四边形是矩形，则的取值范围为______．【答案】【详解】由四边形为矩形，知对角线与互相平分且相等，设的中点为，则也是的中点，且，故问题转化为求的取值范围.设，由可得，又由垂径定理得：，即，即，整理得，即的轨迹是以为圆心、为半径的圆，，而的取值范围可由的轨迹求得：，其中，所以的范围为：所以，故的取值范围为.

29．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，若直线：与圆相交，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】根据条件，求出圆心C和半径r，由题意得，圆心C到直线l的距离小于半径r，代入点到直线距离公式，即可得答案.【详解】因为，，所以AB中点坐标为，直线AB的斜率，所以与AB垂直的直线的斜率，则AB的垂直平分线方程为，即，由题意圆心为直线与的交点，联立解得圆心为，则圆的半径，因为直线：与圆相交，所以圆心到直线l的距离，解得，则实数的取值范围为30．（2026·北京平谷·一模）已知直线与圆相切，并且圆过点，则的最小值是______．【答案】2【分析】根据题意，得到，且，联立方程组，求得，由，得到，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径为因为直线与圆相切，可得，又因为圆过点，可得，所以，可得，解得，因为，可得，所以，又因为，所以当时，取得最小值，最小值为.31．（2026·安徽安庆·一模）动直线与动直线相交于点，则的最小值为___________．【答案】【分析】根据动直线垂直且过定点得到交点轨迹为圆；把分式变形为斜率形式，将分式最值问题转化为圆上点到定点的斜率最值问题.【详解】根据题意，动直线经过定点，动直线经过定点,则有，所以，又点是两条直线的交点，所以有，所以点的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，以为半径的圆，不含点，.又，故只需求的最小值，令可看作点与点的斜率，求出过点与圆相切的切线斜率即可，设切线为，即.根据切线条件构造方程，即，解得，所以的最小值为，所以的最小值为.32．（24-25高二上·安徽合肥·期末）过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是______.【答案】【分析】设的坐标为，由题意结合圆的切线的几何性质推出在直线上，继而将的最小值转化为点到直线的距离，即可求解.【详解】如图所示，根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则，为圆的切线，则有，又由，则有，即，变形可得：，即在直线上，则的最小值即为点到直线的距离，且，即的最小值是，故答案为：.题型23圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）小题55个重点题型题号核心题型题型解决关键点1抛物线定义求点到焦点距离利用抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，代入纵坐标求解。2椭圆焦点坐标求参数根据焦点位置确定a、b关系，利用椭圆中a、b、c的关系列方程求解参数。3抛物线定义求点坐标由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离，列方程求横坐标，再代入求纵坐标。4椭圆焦点弦长写出过焦点的直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式或焦半径公式求弦长。5双曲线方程判定根据双曲线标准方程中分母异号，列不等式组求解参数范围。6椭圆与抛物线综合求参数由椭圆长轴与短轴关系得a、b关系，由抛物线焦点坐标得c，再结合a2=b2+c2求参数。7双曲线渐近线斜率与离心率由渐近线斜率得b/a，代入离心率公式e=√(1+(b/a)2)求解。8椭圆与双曲线离心率关系求参数分别求出两曲线的离心率，代入关系式解方程求参数。9椭圆中向量条件求离心率利用向量关系将点坐标用椭圆参数表示，代入椭圆方程，结合a、b、c关系求离心率。10椭圆焦点三角形求离心率利用椭圆定义及特殊角关系，通过解三角形或几何性质建立a、c方程求离心率。11折痕问题与抛物线定义由折痕性质得动点到定点与定直线距离相等，根据抛物线定义判断轨迹形状。12抛物线定义与向量共线求参数利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合向量共线条件列方程求解。13双曲线弦长与距离之和求离心率求出弦端点坐标，利用点到直线距离公式列方程，结合双曲线中a、b、c关系求离心率。14角平分线性质与双曲线定义求离心率利用角平分线定理得线段比，结合双曲线定义和余弦定理列方程求离心率。15椭圆焦点三角形面积与数量积由焦点三角形面积求点纵坐标，代入椭圆方程求横坐标，再计算向量数量积。16双曲线中点弦存在性求离心率范围利用点差法求中点弦斜率条件，结合点与双曲线位置关系列不等式，求离心率范围。17双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求离心率利用点到直线距离求垂线段长，由三角形面积列方程，结合a、b、c关系求离心率。18双曲线与抛物线综合求方程由公共焦点得c关系，利用等边三角形条件求交点坐标，再联立渐近线与抛物线求参数。19双曲线顶点与斜率积求渐近线设点坐标，利用斜率积公式及点在双曲线上消元，结合离心率条件求渐近线方程。20双曲线焦点到渐近线距离与三角形面积求渐近线斜率利用点到直线距离公式求垂线段长，由三角形面积列方程求a、b关系，得渐近线斜率。21双曲线焦点弦与定义求离心率利用双曲线定义求各段长度，在三角形中利用余弦定理或勾股定理建立a、c方程。22椭圆中等腰三角形条件求离心率由向量条件得等边三角形，利用椭圆定义和余弦定理列方程求离心率。23双曲线渐近线与平行线交点求直线方程求出渐近线方程，过已知点作平行线，联立求交点，再用两点式求直线方程。24椭圆通径与垂直关系求离心率由通径长度与焦点弦关系，利用几何性质列方程，结合a、b、c关系求离心率。25椭圆中位线与圆条件求直线斜率利用焦半径公式和中位线性质，结合圆半径条件求点坐标，再求直线斜率。26椭圆焦点三角形与余弦定理求离心率利用椭圆对称性和定义求边长，在三角形中用余弦定理列方程求离心率。27双曲线焦点弦与向量垂直求离心率利用双曲线定义和向量垂直条件，在三角形中用勾股定理或余弦定理建立a、c方程。28双曲线焦点弦与比例关系求离心率设参数表示各段长，利用双曲线定义和余弦定理列方程，解出离心率。29双曲线焦点弦与向量共线求离心率利用向量条件求点坐标关系，结合双曲线定义和勾股定理建立a、c方程。30双曲线渐近线与中点坐标求离心率利用中点坐标公式和点在渐近线上，结合斜率关系列方程，求a、b关系得离心率。31双曲线中点弦与圆条件求渐近线利用中点坐标公式和点在双曲线上，结合圆半径条件列方程，求渐近线方程。32椭圆焦点三角形面积比与等腰条件求离心率由面积比得线段比，利用椭圆定义和等腰三角形性质，结合余弦定理求离心率。33双曲线离心率、直线斜率、数量积最值（多选题）求离心率；直线与双曲线联立判别式求斜率范围；设点坐标用参数表示数量积求最值；直线与圆相切求斜率。34双曲线焦距、离心率、渐近线、焦点三角形周长（多选题）由焦距求a，再求离心率和渐近线；由焦点三角形条件分类讨论，结合双曲线定义求周长。35椭圆焦点三角形周长、面积、向量数量积最值、切线面积最值（多选题）利用椭圆定义求周长；焦点三角形面积公式求面积；向量数量积用基本不等式求最值；切线方程与坐标轴围成三角形面积用基本不等式求最值。36抛物线定义、点坐标、向量数量积、点到直线距离（多选题）利用抛物线定义求点坐标；由点坐标求向量数量积；由点坐标和斜率公式求角正切；由点到直线距离公式求距离。37双曲线焦点弦与勾股定理求离心率及斜率（多选题）设参数表示各段长，利用双曲线定义和勾股定理求离心率和斜率。38抛物线定义、圆与直线相切、最值、垂直条件（多选题）利用抛物线定义判断圆与直线相切；由半径最小值求圆面积最小值；用基本不等式求最值；用坐标表示垂直条件解方程判断存在性。39抛物线定义、距离最值（多选题）利用抛物线定义将距离转化，结合三点共线求最值。40抛物线焦点弦、中点弦、弦长和面积最值（多选题）设直线方程联立抛物线，利用焦半径公式和韦达定理求弦长、中点坐标，再结合基本不等式求最值。41抛物线旋转与四叶草曲线性质（多选题）由对称性求各抛物线方程；求曲线交点及距离最值；判断点是否在曲线内部；设直线联立求斜率。42椭圆焦点三角形性质（多选题）利用椭圆上点到焦点距离范围求离心率；焦点三角形面积公式求面积；内切圆半径公式求半径；正弦定理结合比例性质求离心率。43双曲线旋转与性质（多选题）由旋转前后渐近线关系判断；求双曲线方程及离心率；联立直线与双曲线求交点个数；判断两圆位置关系。44曲线对称性、直线与曲线交点、区域面积（多选题）利用对称性验证；联立直线与曲线方程判断解的存在性；联立曲线与圆方程求公共点；利用不等式确定面积范围。45椭圆方程、弦长、点差法、垂直弦长和定值（多选题）由短轴长和向量数量积最值求椭圆方程；求通径长；点差法求中点弦方程；利用弦长公式求垂直弦长和为定值。46直线与抛物线相交、向量数量积、斜率关系（多选题）联立方程用韦达定理求数量积；求垂线方程得交点坐标，验证垂直；由焦半径关系求点坐标得斜率；利用弦长关系求斜率。47双曲线焦点三角形、渐近线、正切值、内心性质（多选题）利用焦点三角形面积和余弦定理求离心率；由a、b关系写渐近线；设点坐标用正切值相等求参数关系；由内心性质证等式。48抛物线定义、切线、向量数量积、角平分线（多选题）由焦半径最小值求p；设直线联立求弦长范围；由切线性质求角范围；利用向量夹角或角平分线性质证等角。49双曲线光学性质、切线、几何性质（多选题）利用光学性质得切线方程；判断点是否在切线上；利用几何关系证点在圆上；切线定义得公共点个数。50椭圆离心率求参数根据离心率公式列方程，注意焦点位置，解出参数。51椭圆焦点三角形周长利用椭圆定义，将焦点三角形周长转化为2a+2c，代入数值求解。52抛物线焦半径与直角条件求距离利用焦半径公式和直角条件列方程求点坐标，再求距离。53抛物线焦半径与正弦定理求线段长利用抛物线定义和正弦定理，结合锐角条件求点坐标，再求焦半径。54平行直线与两抛物线交点围成四边形面积设直线方程，求出交点坐标，判断四边形形状为矩形，计算面积。55两抛物线焦点与直线交点求参数由抛物线定义求焦点坐标，设直线方程，利用向量共线或距离关系列方程求参数。一、单选题1．（2026·福建·模拟预测）已知抛物线上的一点的纵坐标为，则点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设点，将其代入抛物线方程可得，解得，易知抛物线的准线方程为，故点到焦点的距离为.2．（2026·四川成都·二模）已知椭圆的一个焦点是,则（

）A． B．3 C．5 D．【答案】D【详解】因为椭圆的一个焦点是,所以焦点在上,则,,所以,则.3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，根据抛物线的定义可得，则.4．（2026·山东淄博·一模）已知椭圆：的左、右焦点分别为和，过且倾斜角为的直线与交于，两点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】椭圆：的右焦点，过且倾斜角为的直线的方程为，即，将代入，得到，即，设，则，则，故选项B正确.5．（2026·贵州贵阳·一模）已知方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或.6．（2026·江苏·一模）若椭圆的长轴长是短轴长的倍，右焦点是抛物线的焦点，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由椭圆与抛物线的基本概念及性质求解即可.【详解】椭圆的长轴长是短轴长的倍，所以，即，所以，抛物线的焦点为，该焦点为椭圆的右焦点，所以，所以，即.故选：A7．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为.，所以离心率.8．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】曲线的长半轴长为，短半轴长为，所以焦距为.曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以焦距为.由.故选：A9．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆:的右焦点为，上顶点为，直线交于另一点．若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量关系得到点坐标，代入椭圆方程化简求解即可.【详解】椭圆右焦点为，上顶点为，设.由得，所以，，即.代入椭圆方程得，整理得，即.又，所以.故选：C.10．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率.【详解】

令，代入椭圆则可知：，又因为，所以，根据椭圆定义可知：，所以椭圆的离心率为，故选：B11．（2026·山东青岛·一模）如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直于交直线于点，点的轨迹为曲线的一部分，则为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由折痕的性质可得，则直线是线段的垂直平分线，对任意的在上，由，又因为，所以点到直线的距离为，所以点到定点的距离等于点到定直线的距离，由抛物线的定义，可得点的轨迹为抛物线.12．（2026·河北保定·一模）已知抛物线：的焦点为F，点D为C的准线上一点，线段DF与C交于点E，若，，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】设，由题意可知，可得，再根据结合抛物线定义运算求解即可.【详解】设，，因为抛物线的焦点为，准线为，由题意可知：，则，可得，且，所以.13．（2026·河南许昌·模拟预测）已知双曲线，是过右焦点且垂直于轴的弦，若点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，则其离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先求出的坐标，渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式列方程解得半焦距，进而可求得离心率.【详解】由双曲线的方程知渐近线方程为，设，因为是过右焦点且垂直于轴的弦，所以，过分别作渐近线，即的垂线，垂足分别为，如图：则.又点，到该双曲线的同一条渐近线的距离之和为2，所以，即，整理得.将代入上式得，解得，所以，所以离心率.14．（2026·黑龙江·一模）已知双曲线，，分别为左、右焦点，过且倾斜角为60°的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点．若，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解.【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知，所以，由双曲线的定义可知，所以，在中由余弦定理可得，即，整理得，两边同除以可得，解得或（舍去）．故选：C15．（2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由椭圆，得，，即，因此左右焦点，，因为面积为，故，得，即，将代入椭圆方程：，解得.，，则.16．（25-26高三上·山东济宁·月考）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解．【详解】不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件：点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在），因此，解得；设过点的弦的斜率为，设弦与双曲线交于点，，则，，由点，在双曲线上，得，两式作差得，所以，直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是，因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，则，也即，所以，则．17．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，半焦距为.过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的离心率为（

）A．2 B．2或 C．2或 D．2或【答案】D【分析】利用点到直线距离可求出，再根据的面积为列出相应等式，即可求解.【详解】由题可得双曲线的渐近线为，这里不妨取，即，点到直线的距离，在中，所以，则，又因，所以，化简可得，等式两边同时除以，可得，即，解得或，因，所以或.18．（2026·天津河东·一模）已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解.【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，由焦点相同得，即，将抛物线的准线代入双曲线方程，得，，故，，则，为等边三角形，，双曲线的渐近线方程为：，根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立：，消元得，对应，即，，即，，得所以双曲线的方程为：19．（2026·河南南阳·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，点是上异于的一点，若直线，的斜率之积为的离心率的倍，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知，设，根据斜率关系得，再结合题意得，解得即可得答案.【详解】由题知，设，点是上异于的一点，故，即因为，所以，因为直线，的斜率之积为的离心率的倍，离心率，所以，令，则，即，解得或（舍），故，即，所以的渐近线方程为.故选：B20．（2026·山东聊城·一模）过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，若，的面积为6（O为坐标原点），则C的渐近线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，结合渐近线的方程为，由点到直线的距离可得，，再由三角形的面积公式，计算可得所求值．【详解】设，不妨取渐近线的方程为，则，又，故，因为，的面积为6，所以，解得所以的渐近线的斜率为.21．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右两支分别交于A，B两点，且，则的离心率为（

）．A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】根据题意作出示意图，根据双曲线的定义求解出，判断的形状，再结合余弦定理得出的关系，计算求解.【详解】，．，所以，是等边三角形，．在中，，即，化简得，所以．22．（2026·山东济南·一模）已知椭圆的左､右焦点分别为是的左顶点，为所在平面内一点，且.若与均为等腰三角形，则的离心率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据与均为等腰三角形，结合，分情况讨论三角形的腰长，进而求出椭圆的离心率.【详解】已知椭圆的左、右焦点为，，左顶点.因为为等腰三角形且，所以是等边三角形，边长为，故，点坐标为.又为等腰三角形，，，.由等腰三角形性质，若，则，则，离心率.若，可得，即，则，因为，所以此情况不成立.若，可得，则，化简得，因为，所以，不满足，此情况不成立.因此，椭圆的离心率为.故选：D23．（2026·江西·模拟预测）已知双曲线上一点，若过P分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为M，N，则直线MN的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出双曲线的渐近线方程，再求出过点与双曲线C的两条渐近线平行的直线方程，分别求出交点分M，N，利用点斜式方程即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，平行于的直线：斜率为2，由点斜式得，即该直线与另一条渐近线交于点联立，解得,平行于的直线：斜率为，由点斜式得，即；该直线与另一条渐近线交于点,联立，解得,所以​，所以直线MN的方程为，化简得：，故选：C24．（2026·山东威海·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交于A，B两点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题先求出，利用，即化简可求解.【详解】设焦点，则过且垂直于长轴的直线为，将代入，得到，所以，因为，所以，所以，即，化简得到，因为，解得.故选：A.25．（2026·贵州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆的上半部分有一点，若以原点为圆心，半焦距为半径的圆过线段的中点，则直线的斜率为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】结合图形可以发现，利用焦半径及三角形中位线定理，得出，再应用斜率公式计算求解.【详解】由题知，椭圆，焦点在轴上，，设线段的中点为.由题意知.因为OM是的中位线，所以．因为，所以，所以点的坐标为，且，所以直线的斜率.故选：C.26．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解.【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为，由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形，则，，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理得，所以椭圆C的离心率为.故选：C27．（2026·河北张家口·一模）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于两点，且满足，（为坐标原点），，则双曲线C的离心率为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】设，在中，根据双曲线定义及余弦定理可得，再由，得，根据代入计算即可求解.【详解】设，则，在中，，所以，化简可得，所以，因为，所以，，因为，所以，化简可得，所以双曲线C的离心率.28．（2026·山东临沂·一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，经过的直线与C的右支交于A，B两点，且，，则C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据双曲线的定义和余弦定理，求得，在中，利用余弦定理，求得即，结合离心率的定义，即可求解.【详解】设，则，由双曲线的定义，可得，所以，又由，因为，所以，在中，由余弦定理得，，即，即，所以，则，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，所以双曲线的离心率为.29．（2026·山西朔州·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与的右支交于点，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据向量条件求出，，再利用余弦定理得，接着由双曲线的定义结合共线求出与的关系，最后根据三边关系和勾股定理求出.【详解】设，由条件可得：，且，解得：，即，在中，由余弦定理可知：，则，又，，两式相加可得：，又因为共线，所以，代入得：，化简得：，解得：，因此，，，且，在中，三边满足，所以为直角三角形，则，即，所以为直角三角形，化简得，即所以.30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线的右顶点为，过点且斜率为2的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得到为的中点，过点作轴，设，由过点的直线的斜率为2得到的值，利用勾股定理得到的值，结合得到，从而得到，，由的坐标得到的值，从而得到的坐标，由是双曲线渐近线上的点，及斜率为2，可得的值，利用公式得到离心率的值.【详解】，为的中点，过点作轴，交轴于点，设，过点的直线的斜率为2，，，，，，，，，，，，设，为的中点，，，是双曲线的渐近线上的点，，，，，，，，.故选：B.31．（25-26高三上·天津西青·期末）已知双曲线的左顶点为，过的直线与的右支交于点，若线段的中点在圆上，且，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，连接，则可得，然后在中利用余弦定理求得，则，从而可表示出，代入双曲线方程化简可求出渐近线方程.【详解】设线段的中点为，双曲线的右顶点为，左右焦点为，连接，因为线段的中点在圆上，所以，所以≌，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，因为，所以，所以，过作轴于，则，所以，所以，得，即，所以双曲线的渐近线方程为；故选：B32．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据面积的比例关系可得，利用椭圆的定义，计算出的各边长，运用余弦定理建立等式.【详解】如图，因为，所以,所以.因为，所以是等腰三角形，则又因为，所以，所以，则过作其中为垂足，则为中点，所以.在中，由余弦定理得，整理得，所以离心率为.二、多选题33．（2026·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（

）A．的离心率为B．C．的最小值为-9D．若以实轴为直径的圆与相切，则【答案】BCD【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可.【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误；对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得，，，，，，因为直线与双曲线右支交于一点，所以，解得，故B正确；对于C选项，设，，，所以，由在双曲线上可得，代入可得，，当时，取得最小值，可得，故C正确；对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，，联立求解坐标，将代入双曲线方程，可得，解得，，所以，，，，故D正确.34．（25-26高二上·广东江门·期末）已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（

）A．B．双曲线的离心率为2C．双曲线的渐近线方程为D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或14【答案】BC【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得，则，故A错误；对于B，由上分析，，故B正确；对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确；对于D，若点在双曲线的左支上，由可得，此时，的周长为；若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误.故选：BC.35．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（

）A．的周长是B．时，的面积是C．的最大值是2D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可.【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且，则的周长是，故A正确；对于B，由椭圆的定义得，，由余弦定理得，，则，即，则，所以的面积为，故B错误；对于C，由，则，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为.联立，得，点在椭圆上，，，即，，得，故直线和椭圆仅有一个公共点，则椭圆上的一点处的切线方程为.设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为，令，得，令，得，即，又，则，即，当且仅当时等号成立，则面积为，即的面积的最小值为，故D正确.36．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，若，O为坐标原点，则（

）A． B．C． D．点F到直线OM的距离为【答案】BC【详解】抛物线的焦点，准线，对于A，由抛物线的定义，得，则，A错误；对于B，由点在抛物线C上，得，则，B正确；对于C，，C正确；对于D，设点F到直线OM的距离为d，则，，D错误.37．（2026·山东青岛·一模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于两点，，，则（

）A． B．C．的离心率为 D．直线的斜率为【答案】AC【分析】设结合双曲线的定义与勾股定理即可得的值，从而进行判断.【详解】如图，由，可设.因为，所以.对于A、B：设则，解得，所以，故A正确，B错误；对于C：在中，由，得，则，从而双曲线的离心率为，故C正确；对于D：因为，所以直线的斜率为，故D错误.38．（2026·山西运城·一模）已知抛物线：的焦点为，直线：与轴交于点，是抛物线上的动点，以为圆心的圆经过点，为坐标原点，则（

）A．圆与直线相切 B．圆的面积的最小值是C．的最大值是 D．存在点，使得【答案】ACD【分析】对AB直接用抛物线的定义判断可得，对CD用抛物线的定义及距离公式即可得.【详解】如图：过点作于点，设，则，.对于A，由抛物线的定义可知，圆心到直线的距离等于半径，所以圆与直线相切，A正确；对于B，因为圆经过点，所以圆的半径，所以圆的面积的最小值是，B错误；对于C，因为，所以，所以，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以C正确；对于D，，，化简得，得，即，再代入得，所以存在或使得成立，D正确.39．（2026·河北张家口·一模）已知抛物线C：的焦点为F，点，P为C上的动点，则（

）A．满足的点P恰有两个 B．的最小值为3C．的最小值为 D．的最大值为3【答案】BCD【分析】先求出抛物线焦点坐标，再利用抛物线的定义，结合平面几何知识求解即可.【详解】因为，所以焦点为，因为，所以点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与抛物线C仅有一个交点，故A错误；如图1，点在抛物线外，故的最小值为，故B正确；如图2，过作轴的平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，此时有最小值，故C正确；因为，当且仅当三点共线且在之间时取等号，故D正确．40．（2026·湖北黄冈·一模）如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，，与交于A，B两点，与交于C，D两点（点A，C在轴上方），M，N分别是弦和的中点，则（

）A．设点，则的周长最小值为B．的最小值为C．的最小值为8D．和的面积之和的最小值为32【答案】ACD【分析】对选项A：结合抛物线的定义，的周长为，要找周长最小值，需找到点A使得最小，利用三点共线时距离最短的思路分析即可；对于B：设直线的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用焦半径公式可得的表达式，再利用基本不等式分析最小值；对选项C：表示出的坐标，再利用两点间距离公式表示出，最后利用基本不等式求最值的方法分析最小值；对选项D：利用三角形面积公式表示出和的面积之和，结合焦半径公式或联立方程后的弦长公式，将面积和转化为关于k的表达式，再利用基本不等式求最小值.【详解】对于A，，，准线方程为，点，的周长为，其中，过点作垂直于准线的直线，垂足为，由抛物线定义知，则周长为,当最小时，周长最小，所以当在一条直线上时，最小，最小长度为，所以周长最小值为，故A正确；对于B，由题意知，两直线斜率均存在，且不为0，设直线的方程为，联立，即，设，则，，则，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C，直线的斜率为，的方程为，以代换中的k，得，设，得，，、分别是弦和弦的中点，所以，，，而，，则，即，的最小值为8，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，由抛物线定义得，，，，，和面积之和为当且仅当，等号成立，所以和面积之和的最小值为32，故D正确.41．（25-26高三下·陕西渭南·开学考试）如图，阴影部分是由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的封闭图形，因其形似四叶草，故其阴影边界曲线E称为四叶草曲线，记抛物线在每个象限内的交点分别为A，B，C，D．已知这四条抛物线的焦点共圆，若开口向右的抛物线方程为，过点作直线l与曲线E在第一、四象限内共相交于四个点，分别记最下方和最上方的交点为P，Q，且，则（

）A．开口向下的抛物线的焦点坐标为B．曲线E上两点间距离的最大值为C．点不在曲线E的内部D．直线l的斜率为【答案】BD【分析】由条件结合对称性求出四个抛物线的方程，对于选项A，结合抛物线性质求焦点坐标即可判断，对于选项B，求点的坐标，由此判断结论，对于选项C，确定阴影部分内的点在第一象限内的点所需满足的条件，再检验点是否满足要求即可，对于选项D，设直线，，联立方程结合根与系数关系求结论即可.【详解】已知开口向右的抛物线为，焦点为，根据对称性可设开口向左的抛物线方程为，其焦点坐标为开口向上的抛物线方程为，其焦点坐标为，开口向下的抛物线方程为，其焦点坐标为，由焦点共圆（圆心在原点，半径相等）得，因此四条抛物线分别为：，，对于选项A，开口向下的抛物线为，焦点坐标为，不是，A错误，对于选项B，联立，可得，故点的坐标为，同理可得，距离最大的两个点为和（或和），最大距离为：，选项B正确，对于选项C，曲线的内部的点在第一象限内部的点的坐标满足关系且，代入：，，因此在曲线E内部，选项C错误，对于选项D，设直线，，在最上方，在最下方，故，由得：，即，联立，可得，由韦达定理：，代入得：，，解得，由得，斜率，选项D正确.42．（2026·河北张家口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则椭圆的离心率为B．若，，则的面积为2C．若，，，则内切圆的半径为D．若，，则椭圆的离心率为【答案】ACD【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求的值，判断A的真假；利用焦点三角形的面积公式求的面积，可判断B的真假；结合三角形内切圆的半径（表示三角形周长）及椭圆的定义，可求内切圆的半径，判断C的真假；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，可判断D的真假.【详解】对A：因为，所以，此时椭圆的离心率为，故A正确；对B：因为，所以，即，所以，故B错误；对C：因为，由，，所以，设内切圆半径为，则，故C正确；对D：如图：由，，可得.由正弦定理：，所以，即，所以.故D正确.43．（2026·辽宁辽阳·一模）双曲线可由以坐标原点为中心的曲线绕其中心旋转一定角度得到．现将曲线绕原点旋转一定角度可得到双曲线，其左右焦点分别为和，点P为曲线C上一点，则下列说法正确的是（

）A．直线是曲线E的一条渐近线B．双曲线C的离心率为2C．若与双曲线C有四个交点，则D．以为直径的圆与圆相切【答案】ABD【分析】A选项，根据性质得到曲线的渐近线；B选项，求出曲线如何旋转得到双曲线，从而得到双曲线方程，求出离心率；C选项，举出反例；D选项，根据圆与圆的位置关系和直线与圆的位置关系得到D正确.【详解】A选项，中，当趋向于或时，曲线趋向于，当从左边趋向于0时，趋向于，从右边趋向于0时，趋向于，由双刀函数性质可知曲线的渐近线分别为和，A正确；B选项，两条渐近线夹角为，结合图象可知曲线的对称轴为和（如图），故将绕原点逆时针旋转得到，故的两渐近线方程分别为，联立与得，当时，，当时，，故曲线的两个顶点为，，故，易得中，由渐近线方程为得，故，，故离心率为，B正确；C选项，由B可知，双曲线方程为，当时，联立与得，解得，当时，，交点坐标为，当时，，交点坐标为，共3个交点，不合要求，C错误；D选项，，设，故，以为直径的圆方程为，即，与圆联立可得，此为两圆的交点弦方程或公切线方程，圆的圆心到直线的距离，以为直径的圆与圆相切，D正确44．（2026·浙江·模拟预测）已知曲线E：，为曲线E上的动点，则下列结论正确的是（

）A．曲线E关于直线对称B．点P不可能在直线上C．曲线E与圆有4个公共点D．记曲线E所围成的区域的面积为S，则【答案】BCD【分析】首先将互换，判断两个方程是否相等，判断A，直线方程与曲线方程联立，判断是否有实根，判断B，两个曲线方程联立，判断C，首先判断曲线的范围，判断D.【详解】将曲线E的方程中x，y互换得，与原方程不同，所以曲线E不关于直线对称，A错误；将代入曲线E的方程得，因为，所以方程无实数解，所以曲线E与直线无公共点，故点P不可能在直线上，B正确；由得，因为，所以，设（，），，设，则，单调递增，由，得在上单调递减，在上单调递增，又，，，故，同理可得，，将代入曲线E的方程得，即，即，因为所以或，故或，当时，得，当时，得或，所以曲线E与圆有4个公共点，，，，C正确；，因为，且，所以，又，，所以，故，可得曲线E在圆和之间，所以，D正确.故选：BCD.45．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知椭圆：（）的短轴长为，左、右焦点分别为，，为上一动点，且的最大值为4，则下列说法正确的有（

）A．的方程为B．若过点且垂直于轴的直线交于，两点，则C．若，是上两点，且的中点为，则直线的方程为D．若过点且互相垂直的两条直线与分别交于点，和点，，则【答案】ACD【分析】由椭圆的定义和基本不等式，求得，得出的值，求得椭圆的方程，可判定A正确；求得直线方程为，联立方程组，求得的长，可判定B错误；利用“点差法”求得的斜率，得出的方程，可判定C正确；利用弦长公式，分别求得的长，可判定D正确.【详解】对于A，根据椭圆的定义，可得，由基本不等式，可得，所以，即因为椭圆的短轴长为，可得，所以，所以椭圆的方程为，所以A正确；对于B，由，，可得，则，所以过且垂直于轴的直线方程为，将代入椭圆的方程，可得，解得，所以，所以B错误；对于C，设，因为在椭圆上，则，两式相减得：，因为的中点为，可得，所以，可得，所以的斜率为，所以直线的方程为，即，所以C正确；对于D，当一条直线的斜率为0时，则另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，则，则直线的方程为，可得，所以；当两条直线的斜率都存在，且不为0时，设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，可得且，则，因为直线与垂直，所以直线的斜率为，同理可得：，则，综上可得，，所以D正确.46．（2026·湖北宜昌·二模）已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，过点作的垂线交直线于点，则（

）A． B．C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】设，联立方程组求得，，结合向量的数量积的运算公式，可得判定A错误，B正确；由抛物线的定义和，得到，代入求得的坐标，结合斜率公式，可判定C正确；求得，列出方程，求得的值，可判定D正确.【详解】对于A，设，可得联立方程组，整理得，可得，且，则，所以，所以A错误；对于B，由抛物线的焦点为，直线的斜率为，则过且垂直于的直线的斜率为，其方程为，令，可得，所以，则，所以，又由，所以，所以B正确；对于C，由抛物线的定义，可得，因为，可得，即，因为，代入可得，即，解得或（舍去），则，将代入抛物线的方程，可得或（舍去），所以，此时直线的斜率为，所以C正确；对于D，由抛物线的焦点为且，可得，因为，可得，整理得，解得，又因为，所以，所以D正确.47．（2026·山东淄博·一模）已知双曲线：的上、下焦点分别为和，下顶点为，为第一象限内上的动点，当时，的面积为，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．D．的内心满足【答案】ACD【分析】选项A，焦三角形的相关性质，结合双曲线的定义，得到基本量的关系选项B，考察焦点在轴上，渐近线方程.选项C，设点坐标，利用正切值建立坐标与角的关系，两个角的正切值相等，限定范围，得到结论.选项D，利用选项C的逆命题，验证内心满足该命题的条件，即可得到等式.【详解】对于A：由双曲线定义得，平方得，在中由余弦定理得，，代入，整理得，即，的面积，得，即，又因为，所以，则离心率，A正确；对于选项B：焦点在轴的双曲线渐近线为，代入，得，B错误；对于选项C：，设，满足，设，，则，代入，化简得。设，同理得，且，故，C正确；对于选项D：首先考虑选项C的逆命题即若点在第一象限且满足，则点在双曲线上.下面证明这个命题，设，则，化简得，所以点在双曲线上，该命题成立.又因为内心是三角形各角平分线的交点，所以，根据上述命题，在双曲线上，所以，所以.48．（2026·江西·一模）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于两点，过作的垂线，垂足分别为，若点是抛物线上的一动点，且满足的最小值为，则（

）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】对于A，设点的坐标为，根据焦半径公式利用表示，求其最小值表达式，列方程求即可判断，对于B，设直线的方程为，，与抛物线方程联立，求，结合两点距离公式求的范围，即可判断，对于C，由条件结合抛物线定义三角函数定义可得，通过求的范围可判断结论，对于D，先证明，再结合抛物线定义及平面几何性质证明结论或利用向量夹角公式求，，结合二倍角公式证明结论.【详解】对于选项A：设点的坐标为，则，，，所以当，即点在原点时，最小，此时，，故A错误；不妨设在轴上方，由已知准线的方程为，点的坐标为，对于选项B：如图：设联立得：，由已知方程的判别式，故，由根与系数的关系可得且，则，故B正确；对于选项C：，由选项B可知，若与抛物线相切，则，即抛物线过点的切线为直线，切线的倾斜角为，故，从而，故C正确．对于选项D：由可知：直线关于直线对称，即因为所以．另解：，，，由二倍角公式知，．故D正确；49．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（

）A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个【答案】BCD【分析】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，对A、B，写出直线方程代入求解即可；对C，求出是的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即可【详解】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，因此直线即为双曲线在点处的切线对A，当轴时，不妨设点坐标为双曲线在点的切线（即角平分线）方程为：，将原点代入方程得，因此点不在直线l上，故A错误对B，求得的方程为，，，的方程为，联立得交点，横坐标为0，故在轴上，B正确对C，延长交于，因为是角平分线且，所以是等腰三角形，，是中点，又是中点，是的中位线，因此：即，故在圆上，C正确对D，因为直线即为双曲线在点处的切线，所以直线与双曲线的公共点只有1个，D正确三、填空题50．（2026·广东广州·一模）已知椭圆（）的离心率为，则______．【答案】4【详解】显然，故，解得.51．（2026·湖北荆门·模拟预测）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为______．【答案】8【分析】根据椭圆的定义计算即可求解.【详解】由题意知，，如图，

由椭圆的定义知，，所以的周长为.故答案为：852．（2026·河北邯郸·一模）已知是抛物线的焦点，是的准线与轴的交点，是上的点，且，则______．【答案】【分析】根据题意求出点的坐标，利用焦半径公式求解即可.【详解】由题可知，．设，由，则，解得或（舍去），则．53．（2026·河南许昌·模拟预测）抛物线的焦点为，准线与轴交于点，为抛物线上一点，若为锐角，，则________.【答案】【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的性质结合正弦定理可求，求出的正切值后得直线的方程，联立直线方程和抛物线方程求出的坐标后可求.【详解】由抛物线可得准线方程为，故，由抛物线的对称性不妨设在第一象限.过作抛物线准线的垂线，垂足为，则.在中，由正弦定理可得即，故，故，所以，而为锐角，故，所以,由可得或者.因为为锐角，故，故.54．（2026·湖北武汉·模拟预测）平行于x轴的直线交抛物线：于点，交抛物线：于点，记抛物线和的焦点分别为和，若，则四边形的面积为__________.【答案】3【分析】设平行于x轴的直线方程为，然后求出的坐标，进而判断四边形的形状，进而求出面积.【详解】由题意可得，，设平行于x轴的直线方程为.则，因为，所以，化简解得.根据对称性，不妨取，所以四边形为矩形，所以四边形的面积为.55．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，若直线分别与，交于两点，且，则________．【答案】【分析】根据抛物线定义以及性质得出方程解出即可．【详解】由题意如图所示：由抛物线，可得，准线方程为，设，，则，，故，所以，所以，解得．题型24圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题40个重点题型题号核心题型题型解决关键点1抛物线焦点弦与三角形面积联立直线与抛物线方程，利用弦长公式和点到直线距离公式表示三角形面积，列方程求直线斜率，注意斜率不存在的情况。2双曲线中