解析已知P(a,b)、Q(c,d)两点求与之相关性的10个问题的详细求解步骤A3

已知P(5,8)、Q(18,8)，求解以下有关问题。(1)求线段PQ中点坐标P1。(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:3。(4)计算PQ两点的距离。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(7,6)时的双曲线方程。(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(11,6)时的双曲线方程。(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。详细步骤：(1)求线段PQ中点坐标P1。解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，根据题意，有：x0=eq\f(5+18,2)=eq\f(23,2);y0=eq\f(8+8,2)=8.即中点P1的坐标为P1(eq\f(23,2),8).(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。解：介绍两种方法来求P2点坐标。思路一：两点间距离公式法。设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：|PP2|=eq\r((5-x2)2+(8-y2)2);|P2Q|=eq\r((18-x2)2+(8-y2)2).32[(5-x2)2+(8-y2)2]=22[(18-x2)2+(8-y2)2]225-90x2+9x22+576-144y2+9y22=1296-144x2+4x22+256-64y2+4y22-5x22-5y22+54x2-80y2+751=0.又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：eq\f(y2-8,x2-5)=eq\f(8-8,18-5),即：y2-8=0,y2=8,代入距离关系式方程有：-5x22-5(0+8)2-54x2-80(0+8)+751=0,化简得：-5x22-54x2+1071=0,即：(5x-51)(-169x-3549)=0,由于5<x2<18,求出x2=eq\f(51,5)，进一步代入求出y2=8.思路二：定比分点法。因为eq\f(PP2,p2Q)=eq\f(2,3)，所以定比分点λ1=eq\f(2,3).则所求P2的横坐标x2=eq\f(5+18λ1,1+λ1),同理，坐标轴y2=eq\f(8+8λ1,1+λ1)。即可求出x2=eq\f(51,5)，y2=8。所以所求点的坐标P2(eq\f(51,5)，8).(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)。解：用定比分点法求解。因为eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)，所以定比分点λ2=-eq\f(4,3);则所求P3的横坐标x3=eq\f(5+18λ2,1+λ2);同理，坐标轴y3=eq\f(8+8λ2,1+λ2)，即可求出x3=57，y3=8。所以所求点的坐标P2(57,8).(4)计算P、Q两点的距离。解：根据两点间距离公式有：d=|PQ|=eq\r((5-18)2+(8-8)2);=eq\r(169+0)=13.即P、Q两点的距离为13。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。解：由P(5,8)、Q(18,8)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：k1=eq\f(8-8,18-5)=0.则P,Q的直线方程L1的方程为：y-8=0。由题意知，直线L2的斜率k2不存在.即可求出所求的直线L2的方程为：x=eq\f(23,2)。(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有2c=|PQ|=13，即c=eq\f(13,2)，此时c2=16;又因为离心率e=eq\f(1,3)=eq\f(c,a)，则:a=eq\f(39,2)，此时a2=eq\f(1521,4)，此时b2=a2-c2=eq\f(1521,4)-16=eq\f(1457,4),故此时椭圆方程为：eq\f((x-eq\f(23,2))2,eq\f(1521,4))+eq\f((y-eq\f(16,2))2,eq\f(1457,4))=1。(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=13，此时a=eq\f(13,2)，进一步得a2=16.由离心率e=eq\f(2,5)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(13,5)，此时c2=eq\f(169,25);由b2=a2-c2=16-eq\f(169,25)=eq\f(231,25)，故此时椭圆方程为：eq\f((x-eq\f(23,2))2,16)+eq\f((y-eq\f(16,2))2,eq\f(231,25))=1。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(7,6)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有2c=|PQ|=13，即c=eq\f(13,2)，此时c2=16;由离心率e=eq\f(7,6)=eq\f(c,a),则：a=eq\f(39,7)，此时a2=eq\f(1521,49);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=16-eq\f(1521,49)=eq\f(-737,49),故此时双曲线的方程为：eq\f((x-eq\f(23,2))2,eq\f(1521,49))-eq\f((y-eq\f(16,2))2,eq\f(-737,49))=1.(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(11,6)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=13，此时a=eq\f(13,2)，进一步得a2=16.由离心率e=eq\f(11,6)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(143,12)，此时c2=eq\f(20449,144);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=eq\f(20449,144)-16=eq\f(18145,144)，故此时双曲线方程为：eq\f((x-eq\f(23,2))2,16)-e