初中数学八大几何模型归纳

初中数学几何模型总结归纳

1.中点模型

【模型1】倍长

1、倍长中线：2、倍长类中线：3、中点遇平行线延长相交

【模型2】遇多个中点，构造中位线

1、直接连接中点：2、连对角线取中点再相连

【例1】在菱形/WC。和正三角形中，/A8C=60。，G是加■的中点，连接GC、GE.

(1)如图1,当点E在边上时，若AB=10,BF=4,求GE的长；

(2)如图2,当点尸在A8的延长线上时，线段GE、GC有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给

予证明：

(3)如图3,当点E在C8的延长线上时，(2)问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.

【解答】

(1)延长EG交C。于点”

易证明△C7/G空△CEG,则GE=3V3

AB

(2)延长CG交八8于点/,

易证明△BCE丝则△(：《/是等边三角形，GE=V5GC错误!未找到引用源。，且G瓜LGC

(3)

【例2】如图，在菱形48CO中，点E、E分别是8C、。。上一点，连接OE、EF,KAE=AF,ZDAE

=/BAF.

(1)求证：CE=CF;

(2)若NA8C=120。，点G是线段AF的中点，连接OG、EG,求证：DGA.EG.

【解答】

(1)证明△ABEWAA。/即可；

(2)延长OG与A8相交于点”，连接HE,证明即可

【例3】如图，在凹四边形ABC。中，AB=CD,E、尸分别为8C、AO的中点，8八交£厂延长线于G点,

CD交.EF于H点,求证：NBGE=NCHE.

【解答】取8。中点可证，如图所示：

BC

E

2.角平分线模型

【模型1】构造轴对称

【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形

【例4】如图，平行四边形八8CO中,AE平分NBAD交8C边于匕EF工AE交边CD于F点、,交AD边

于H,延长B4到G点，使八G=CF,连接GF.若8C=7,。尸=3,EH=3AE,则GF的长为.

【解答】

延长交于点/,易得CE=CF,BA=BE,设C£=x,则84=8=3+x,BE=7-x,

3+J=7—x,x=2,AB=BE=5,AE=g,作A/J_8C,连接AC,求得GF=AC=3V2

3.手拉手模型

【条件】OA=OB,OC=OD,/AOB=NCOD

【结论】△OACg^OBO,N4E8=/A08=NC。。（即都是旋转角）：。£平分NAE。

ABA'B导角核心图形：八字形

【例5】（2014重庆市A卷）如图，正方形A8C。的边长为6,点。是对角线AC、8。的交点，点E在

CO上，且DE=2CE,连接BE.这点。作C尸_LBE,垂足是凡连接。尸，则。广的长为.

【答案】-x/5

5

【例6】如图，ZkABC中，NBAC=90。，AB=AC,AO_LBC于点。，点E在AC边上，连接BE,AGLBE

于凡交8c于点G,求NDFG.

【答案】45°

【例7】（2014重庆B卷）如图，在边长为6人的正方形4BCD中，E是A8边上一点，G是4。延长线

一点，BE=DG,连接EG,C/1EG交EG于点从交月。于点人连接CE、BH.若BH=8,则FG

【答案】5及

4.邻边相等对角互补模型

【模型1】

【条件】如图，四边形48C3口,AB=AD,ABAD+ZBCD=^ABC+ZADC=180°

【结论】AC平分/8C。

A

A

6

8

DF0

【模型2】

【条件】如图，四边形48C。口，AB=AD,NBAD=NBCD=90。

【结论】①N4C8=N4CO=45。；②HC+CQ=&4C

【例8】如图，矩形A8CO中，A8=6,AD=5,G为C。中点，DE=DG,AG_L8£于凡则OF为.

【答案】-75

5

【例9】如图，正方形A8C。的边长为3,延长C8至点M,使BM=1,连接AM,过点8作8N_LAM,

垂足为N,。是对角线AC、BD的交点,连结ON,则ON的长为.

【答案】|x/5

【例10］如图，正方形48。。的面枳为64,△BCE是等边三角形,尸是CE的中点，AE.BF交于点G,

则DG的长为.

【答案】473+4

5.半角模型

【模型1】

【条件】如图，四边形48co中，AB=AD,ZBAD+ZBCD=ZABC+ZADC=180°,ZEAF=

-ZBAD,点E在直线8C上，点F在直线CO上

2

【结论】BE、DF、£产满足截长补短关系

【模型2】

【条件】如图，在正方形A8CD中，已知E、E分别是边8C、CD上的点，且满足NE4尸=45。，AE.

A”分别与对角线8力交于点M、N.

【结论】①BE+OF'=EF；②Sg席+SAS=SA囹；③A”=A8；®C^CF=2ABX⑤BM+OM

=MN?；⑥△八'"6/\。义尸6/\8根5/\4£；/5/^帅-/\。4”（由八0：AH=AO：4/?=l：

及可得到△ANM和A4E/相似比为I：72）⑦%即=S四边形皿江；⑧△AOMs/XAOF：

△AON^^ABE；⑨ZVIEN为等腰直角三角形，/AEN=45。，△A"M为等腰直角三角形，

NAFM=45。：⑩A、M、F、。四点共用1,A、B、E、N四点共网I,M、N、F、C、E五点共

圆.

【模型2变形】

【条件】在正方形A8CD中，己知E、尸分别是CB、0c延长线上的点，且满足NEA产=45°

【结论】BE+EF=DF

E

【模型2变形】

【条件】在正方形4BC。中，已知£尸分别是BC、C。延长线上的点，且满足/E4产=45°

【结论】DF+EF=BE

【例11］如图，△ABC和户是两个全等的等腰直角三角形，NBAC=NEDF=90：△DEF的顶点E

与△ABC的斜边8C的中点重合，将△OEF绕点E旋转，旋转过程中，线段。E与线段A8相交

于点P，射线EF与线段AB相交于点G,与射线CA相交于点。.若AQ=12,BP=3,则PG=

【解答】连接AE,题目中有一线三等角模型和半角模型

设AC=x,由△BPCS/^CEQ得

作=簿，3/（乎二）=乎/（x+12）,解得x=12

设PG=y,由AG2+8P2=PG2得3?+（12—3-X）2=/，解得X=5

【例12］如图，在菱形A8C。中，AB=BD,点E、/在A8、A。上，且AE=OF.连接8厂与OE交于点

G,连接CG与BD交于点〃，若CG=L则S四边形8c.

【解答】W

6.一线三等角模型

【条件】/EDF=/B=/C,RDE=DF

【结论】△BDE/ACFD

【例13］如图，正方形4BCQ中，点及F、G分别为AB、BC、C。边上的点，EB=3,GC=4,连接比'、

FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为.

【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFHQAFGl

则BC=BF+CF=HF-BH+Fl-CI=Gl-BH+HE-CI=^

7.弦图模型

【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段

【结论】新构成r同心的正方形

【例14］如图，点£为正方形ABC。边人8上一点，点F在DE的延长线上，AF=AB,4c与广。交于点

G,的平分线交FG于点儿过点。作"4的垂线交的延长线于点/.若A"=34,尸”=2陋，则

DG=.

JB

【解答】-p/2

【例15］如图，△/18c中，ZBAC=90°,AB=AC,八。_18c于点。.点E是AC中点，连接8凡作AG

_L8E于凡交BC于点G,连接EG,求证：AG+EG=BE.

【解答】过点C作C”_LAC交AG的延长线于点，，易证

8.最短路径模型

【两点之间线段最短】

1、将军饮马

P\

CD\

•BB

【两边之差小于第三边】

【例16］如图，矩形ABCD是一个长为10。0米，宽为600米的货场，A、。是入口，现拟在货场内建一

个收费站P,在铁路线3c段上建一个发货站台从设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为/,求/的最

小值.

【解答】600+5(X)73,点线为最短.

【例17］如图，E、尸是正方形ABCD的边A。上的两个动点，满足AE=O凡连接CF交8。于G,连接

BE交AG于H,若正方形的边长为2,则线段。〃长度的最小值为.

【解答】如图，取八8中点P,连接P〃、PD,易证PH2PDP〃即

【例18］如图所示，在矩形八ACO中，入8一4,AD-Aji,E是线段八8的中点，户是线段AC上的动点,

【例19］如图1,中，于E,AE=AD,EG上AB于G.延长GE、DC交于点F,连接Af.

(I)若BE=2EC,AB=屈,求4。的长:

(2)求证：EG=BG+FC；

(3)如图2,若AF=5V2,EF=2,点M是线段AG上一动点，连接ME,将△GME沿ME翻折到△GME,

连接£X