北京市昌平区2025-2026学年高三年级下学期第二次统一练习数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市昌平区2025-2026学年高三年级下学期第二次统一练习数学试卷一、选择题：本大题共10小题，共50分。1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<2}，则A∩B=(

)A.{−2,−1,2} B.{0,1}

C.{x|0≤x<2} D.{x|x<0或x≥2}2.在复平面内，复数1+2ii对应的点的坐标为(

)A.(2,−1) B.(−1,2) C.(−2,−1) D.(−1,−2)3.在(2−x)n的展开式中，所有二项式系数的和为32，则x3的系数为A.−80 B.−40 C.40 D.804.设−1<x<0<y<1，则下列不等式一定成立的是(

)A.log2x−log2y<0 5.已知函数f(x)=1−ex1+exA.偶函数，且在(0,+∞)上是增函数 B.奇函数，且在R上是增函数

C.偶函数，且在(0,+∞)上是减函数 D.奇函数，且在R上是减函数6.设函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω是常数，ω>0)，若f(x)在区间[πA.0,23 B.23,437.已知抛物线C：y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A,B，且与准线交于点D.若点B为线段AD的中点，|BF|=2，则pA.43 B.2 C.83 8.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M,N分别是棱AD,DD1的中点，点P在正方体A.322 B.3 C.9.设a∈R，函数fx=axA.a∈−1,−12 B.a∈[−12,0]10.已知数列an满足an+1=4A.当an为常数列时，a1=1

B.对于任意a1>0，an为递减数列

C.当1<a1<2时，an为递增数列，且对于任意正整数n，an<2二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.双曲线2x2−y2=4的实轴长为12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若α∈π6,π3，则tan13.已知向量a,b满足a=2，b=1，且a+2b⊥a，则a与14.已知圆C:x2+y2−4x−6y+11=0，则圆C的半径为

；若直线l:y=kx+2上存在点P，使得过点P向圆引的两条切线互相垂直，则15.设函数fx=|①当m=0时，fx恰有2②存在正数m，使得f(x)恰有1个零点；③存在负数m，使得fx恰有2④存在负数m，使得f(x)恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在△ABC中，2b−3(1)求∠A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得▵ABC存在且唯一确定，求a的值．条件①：△ABC的面积为33，条件②：b=33，条件③：AB边上的高为332注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，G为CD的中点，EF=1，AE=DE=5(1)求证：CF//平面AEG；(2)求平面AEG与平面AED夹角的余弦值．18.为了培养学生的AI应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表：非常感兴趣一般感兴趣不感兴趣合计小学20人40人40人100人初中50人30人20人100人合计70人70人60人200人假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响.用频率估计概率．(1)从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率；(2)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分.根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记X为这2人的得分之和，求X的分布列和数学期望；(3)记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为x1,x2,x3，其方差为s12；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为y119.设椭圆C:x2a2+y23=1(a>3)的左焦点为F(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)过点P(1,0)的直线l交椭圆C于M,N两点，求FM⋅FN20.已知函数fx=ex(1)若曲线y=fx在点0,f0处的切线与直线x+2y−1=0垂直，求(2)若fx在R上单调递增，求a(3)若f(x)有两个不同的极值点x1,x221.对于非空集合A,B，定义变换φ(A,B)={a+b|∀a∈A,b∈B}，A,B,φ(A,B)中元素的个数分别记为card(A)，card(B)，card(φ(A,B))．(1)设集合A=−1,1,3,B=1,2,4，直接写出card(φ(A,A))，card(φ(B,B))(2)设集合An={2i|i=0,1,2,⋯,n−1}(n∈N∗(3)设集合A与B同时满足下列两个性质：

①A,B,φ(A,B)⊆{x∈N|x≤2026}，且A∩B=⌀；

②card(A)=card(B)=m且card(φ(A,B))=2m−1，其中m∈N求m的最大值．

参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.D

6.B

7.C

8.A

9.A

10.C

11.212.−13.3π4

；

；

；

；

；；14.2

；

；

；

；

；；15.①③④

16.解：(1)由正弦定理asinA=得2sin整理得2因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=所以2sin因为在▵ABC中，sinB≠0，所以cos因为A∈(0, π)，所以A=π(2)选条件①：▵ABC的面积为33，由(1)知A=π6，又由题知所以bc=12因为bc=33由余弦定理得a2所以a=选条件②：b=33，cosC=±1−si则sin代入sinA=12,所以三角形不唯一确定，条件②无效选条件③：AB边上的高为332因为cosC=217，因为A+B+C=π，所以sinB=因为AB边上的高为332，所以a

17.解：(1)在五面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，所以AB//CD．因为CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，所以CD//平面ABFE．因为CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以CD//EF．因为G为CD中点，CD=2，所以CG=EF=1．所以四边形EFCG是平行四边形．所以EG//CF．因为CF⊄平面AEG，EG⊂平面AEG，所以CF//平面AEG．(2)取AD的中点O，作ON//AB，ON∩BC=N．因为ABCD为正方形，所以ON⊥AD．因为AE=DE，所以OE⊥AD．因为AE=5，OA=1，所以因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，OE⊂平面ADE，所以OE⊥平面ABCD．所以OE⊥ON，即OE,ON,OA两两互相垂直．如图建立空间直角坐标系O−xyz，则O(0,0,0),A(1,0,0),G(−1,1,0),E(0,0,2),N(0,2,0)．因此AG=(−2,1,0),AE=(−1,0,2)，由题可知平面ADE设平面AEG的法向量为→=(x,y,z)．则n⋅AG令z=1，则x=2,y=4.于是n=设平面AEG与平面AED夹角为θ，则cosθ=

18.解：(1)根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”，所以从该校初中生中随机抽取1名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为50100设这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件A，则事件A的概率可估计为C3(2)根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了10人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为2,4,4.

所以X的可能取值为2,4,6,8,10．则PX=2=C4PX=6=C4PX=10所以随机变量X的分布列为X246810P2161481故期望EX(3)s∵样本中的小学生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为x1=20100=0.2三组数据的平均值均为μ=0.2+0.4+0.4∴s∵样本中的初中生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为y1=50100=0.5∴s∴s∵7∴s

19.解：(1)由题意可得右顶点A(a,0)，上顶点B0,3因为kFB⋅kAB=−因为a2=b椭圆C的方程为x24+(2)由题可知F(−1,0).

当直线l斜率不存在时，M1,−所以FM当直线l斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y=k(x−1)．由y=k(x−1),3x2Δ=(−8k设M(x1因为FM=(所以FM==(k因为k2≥0，所以所以−3≤综上所述，FM⋅FN

20.解：(1)解：因为fx=e所以f′(0)=1−a.

因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x+2y−1=0垂直，所以1−a=2，解得a=−1．所以a=−1．(2)解：f′x因为函数fx在R所以f′(x)≥0在R上恒成立，即a≤ex−2x设gx=e令ex−2=0，解得当x∈−∞,ln2时，g′(x)<0当x∈ln2,+∞时，g′(x)>0，又gln所以g(x)的最小值为2−2ln所以a的取值范围为−∞,2−2ln(3)证明：由(2)可知当a∈(2−2ln2,+∞)时，函数f(x)有两个不同的极值点不妨设x1所以x1,x2是方程ex−2x−a=0的两个解所以ex设t=x2−所以ex1+t−e所以ex所以ex所以要证ex1+ex设ht=te令φt=h′(t)=e因为当t>0时，φ′t>0，所以h′(t)在因为h′(0)=e0(0−1)+1=0所以h(t)在(0,+∞)上单调递增.

所以h(t)>h(0)=0(1+1)−2(1−1)=0．所以t(et+1)−2(所以ex

21.解：(1)card(φ(A,A))=5；card(φ(B,B))=6；card(φ(A,B))=7．(2)由An={2∀i,j,i′,j′∈{0,1,2,⋯,n−1}，若2i+2①当i=i′时，j=j′；同理，当j=j′时，i=i′.即i=i′与j=j′同时成立．②当i=i′与j=j′都不成立时，必有i>i′,j′>j.或i<i′,j′<j.两者之一成立不妨设i>i′,j′>j.则2所以i′=j且i−i′=j′−j．所以i′=j且i=j′．所以φ(A所以所求数列{aan(3)设集合A={a1,a2,⋯,a则φ(A,B)={a所以aa式①与式②中均有2m−1个不同的数，这些数都是集合φ(A,B)中的元素．因为card(φ(A,B))=2m−1，所以φ(A,B)中有且仅有2m−1个不同元素．所以式①与式②中的数对应相等，即ak+1所以ak+1所以数列{an}是公差为d=b2同理，数列{bn}是公差为d=所以数列{an}与{bn}是两个公差相等设ai=a1+(i−1)d,i=1,2,3,⋯,m则ai则φ(A,B)={(a1+因为A,B,φ(A,B)⊆{x∈N|x≤2026}，所以d∈N①当d=1时