第二章 2.11　函数模型及其应用 课件2027高考数学一轮总复习

第二章函数的概念与基本初等函数2.11函数模型及其应用2027高考数学一轮总复习内容索引必备知识回顾课时作业关键能力提升考试要求三年考情1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.202320242025新课标Ⅰ卷T10

必备知识回顾1.六种常见的函数模型知识梳理函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数型函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)对数型函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)幂型函数模型f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)“对勾”函数模型2.三种函数模型性质比较项目y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性__________________增长速度________________随n值变化而不同图象的变化随x值增大,图象与____接近平行随x值增大,图象与____接近平行随n值变化而不同增函数增函数增函数越来越快越来越慢y轴x轴1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.2.充分理解题意并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.知识拓展

基础检测×××√2.(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻已经卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(

)A.40万元 B.60万元C.80万元 D.120万元D解析:当甲商品的价格为6元时,该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元).故该商人共获利40+80=120(万元).故选D.3.(人教A版必修第一册P119习题4.2T5改编)有一组实验数据如下表:则最能体现这组数据关系的函数模型是(

)A.y=2x+1-1 B.y=x3C.y=2log2x D.y=x2-1解析:将各组数据分别代入各函数可知,最能体现这组数据关系的函数模型是y=x2-1.故选D.x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04D

D关键能力提升考点1

利用函数图象刻画变化过程【例1】

一只蚂蚁从正方形的一个顶点A出发,沿着正方形的边逆时针运动一周后回到点A,假设蚂蚁运动过程中的速度大小不变,则蚂蚁与点A的距离s随时间t变化的大致图象为(

)A

判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.规律总结【对点训练1】

如图是一个无水游泳池,ABCD-A'B'C'D'是一个四棱柱,游泳池是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向泳池注水,若进水速度是均匀的(单位时间内注入的水量不变),水面与AB的交点为M,则AM的高度h随时间t变化的图象可能是

(

)A解析:由题意可知,当往游泳池内注水时,游泳池内的水呈“直棱柱”状,且直棱柱的高不变,刚开始水面面积逐渐增大,水的高度增长得越来越慢,当水面经过点D后,水面的面积为定值,水的高度匀速增长,故符合条件的函数图象为A.故选A.

D

(2)(2025·北京卷)一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(

)A.2h

B.4h

C.20h

D.40hB【解析】

设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间(单位:h)分别为T1,T2,T3,由题意得T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210),因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4

h.故选B.应用已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数的值.规律总结

D

A考点3

构建函数模型解决实际问题【例3】

某动力电池生产企业为提高产能,计划投入7200万元购买一批智能工业机器人,使用该批智能机器人后前x(x∈N*)年的维护成本及其他成本为(800x2-400x)万元,每年电池销售收入为7600万元,设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元.(1)写出y关于x的函数关系式,并求该电池生产企业从第几年开始盈利.【解】由题意可得y=7

600x-(800x2-400x)-7

200=-800(x2-10x+9)(x∈N*),由y>0得1<x<9且x∈N*,∴该企业从第2年开始盈利.(2)使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种:方案一:当总盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以2000万元的价格处理;方案二:当年平均盈利额达到最大值时,将该批智能机器人以5200万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由.【解】方案二更合理.理由如下:方案一,∵y=-800(x2-10x+9)=-800(x-5)2+12

800,∴当x=5时,y取得最大值12

800,若此时处理掉智能机器人,总利润为12

800+2

000=14

800(万元).

应用函数模型解决实际问题的步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择函数模型(如线性数据选一次函数,指数增长选指数函数).(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.(3)解模:求解函数模型,得出数学结论.(4)还原:将数学结论还原为实际意义的答案,需注意模型的解必须符合实际意义(如时间非负、成本有限等).规律总结【对点训练3】

(2025·重庆渝北区一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80mg认定为饮酒驾车,大于或者等于80mg认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过__个小时后才能驾驶.(结果取整数.参考数据:lg3≈0.48,lg7≈0.85)4

高考真题教材典题考教衔接ACD声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040高考真题教材典题

课时作业161.(5分)杭州亚运会火炬如图1所示,小红在数学建模活动时将其抽象为图2所示的几何体.假设火炬装满燃料,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,记剩余燃料的高度为h,则h关于时间t的函数的大致图象可能是

(

)基础巩固A解析:由题图可知,该火炬中间细,上下粗,燃烧时燃料以均匀的速度消耗,燃料在燃烧时,燃料的高度一直在下降,刚开始时下降的速度越来越快,燃料液面到达火炬最细处后,燃料的高度下降得越来越慢.故选A.

D

A4.(5分)某市一天内的气温Q(t)(单位:℃)与时刻t(单位:时)之间的关系如图所示,令C(t)表示时间段[0,t]内的温差(即时间段[0,t]内最高温度与最低温度的差),C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示,则下列图象最接近的是

(

)D解析:由题意C(t)从0到4逐渐增大,从4到8不变,从8到12逐渐增大,从12到20不变,从20到24又逐渐增大,从4到8不变,是常数,该常数为2,只有D满足.故选D.5.(5分)(2026·广东深圳模拟)为了给地球减负,提高资源利用率,2025年全国掀起了垃圾分类的热潮,垃圾分类已经成为新时尚.某市2025年全年用于垃圾分类的资金为5000万元,在此基础上,每年投入的资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是(参考数据:lg1.2≈0.079,lg2≈0.301)(

)A.2028年 B.2029年C.2030年 D.2031年D

6.(5分)(2025·山东淄博三模)随着人工智能技术的快速发展,训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代AI芯片A,B两套研发方案,若A设计方案中初始计算量为N1,每年增长50%;B设计方案中初始计算量为N2(N2=3N1),每年增长20%.如此预计至少________年后A设计方案计算量更高.(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(

)

A.4 B.5C.6 D.7B

7.(6分,多选)对某智能手机进行游戏续航能力测试(测试6h结束),得到了剩余电量y(单位:%)与测试时间t(单位:h)的函数图象如图所示,则下列判断中正确的有(

)A.测试结束时,该手机剩余电量为85%B.该手机在5h时电量为0C.该手机在0到3h内电量下降的速度比3到5h内下降的速度更快D.该手机在5到6h进行了充电操作ACD

BD

9.(5分)(2026·云南昆明模拟)根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系近似表示为如图所示的函数关系,已知第1个月时,浮萍面积为2m2,第5个月时,浮萍面积就会超过30m2,下列函数模型:①y=at+1(a>0),②y=bt2+1(b>0),③y=ct(c>0,且c≠1),④