2025-2026学年重庆八中高二下册第一次月考数学试题 含答案

/2025-2026学年重庆八中高二（下）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.现有一组数据：1，1，3，7，若在这组数据中添加一个数据3，则不会发生变化的统计量是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差2.若函数f（x）=kx-lnx在区间上单调递增，则k的取值范围为（）A. B.[2，+∞） C. D.[4，+∞）3.已知数列{an}满足，则a2026=（）A.1 B.5 C. D.4.函数的大致图象为（）A. B.

C. D.5.如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”，若由频率分布直方图估计样本数据的平均数为a,中位数为b,众数为c,则（）A.a=b=c

B.a＜b＜c

C.b＜c＜a

D.c＜b＜a6.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动.已知该班男生35人，女生25人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，，该班成绩的方差为s2，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）的定义域为（-∞，0），f（-1）=-1，其导函数f′（x）满足xf′（x）-2f（x）＞0，则不等式f（x+1）+（x+1）2＜0的解集为（）A.（-2，0） B.（-2，-1） C.（-∞，-2） D.（-∞，-1）8.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是y=f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则=（）A.2022 B.2023 C.2024 D.2025二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.随机事件A，B满足P（A）＞P（B）＞P（AB）＞0，则（）A.B⊆A B.A、B不是互斥事件 C. D.10.记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n（n∈N*），则（）A.a3=6

B.数列是公差为1的等差数列

C.数列的前n项和为

D.数列{（-1）nan}的前2023项和为-202411.已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx,其中e为自然对数的底数，则下列说法正确的是（）A.函数y=f（x）-eg（x）的极值点为1

B.∃x∈（0，+∞），f（x）-g（x）≤2

C.若P，Q分别是曲线y=f（x）和y=g（x）上的动点．则|PQ|的最小值为

D.若f（ax）-g（x）≥（1-a）x对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则a的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f（x）＝xlnx的极小值为________．13.高二年级有男生490人，女生510人，小华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.如果小华在各层中按比例分配样本，总样本容量为100，请估计高二年级全体学生的平均身高为

cm.（结果保留一位小数）14.对∀x＞0，都有axex+1-lnx-x≥0，则实数a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.

（1）证明：A1C1∥平面ACD1；

（2）求平面ABCD与平面ACD1所成角的正弦值；

（3）求点B1到平面ACD1的距离.16.(本小题15分)

近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近50场比赛的得分进行了统计，将数据按[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分为4组，画出的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中m的值

（2）估计这50场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

（3）现从比赛得分在[55，75]的比赛中按分层抽样抽取5场比赛，再从这5场比赛中随机抽取2场，求这两场都不低于65分的概率.17.(本小题15分)

已知函数，a∈R.

（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）若函数f（x）在区间[1，e]的最小值为1，求a的值.18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点Q（2，0）的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，当l与x轴垂直时，.

（1）求抛物线C的解析式；

（2）若，过x轴上一点P作直线OA，OB，AB的垂线，垂足分别为E，F，G，且满足E，F，G三点共线.

（i）求直线l的方程；

（ii）求P点的坐标.19.(本小题17分)

已知函数f（x）=（x-a）lnx-x.

（1）当a=0时，

①求f（x）的最小值；

②设n∈N*，求证：；

（2）设x1，x2，（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，求证.

1.【正确答案】A

2.【正确答案】B

3.【正确答案】B

4.【正确答案】D

5.【正确答案】D

6.【正确答案】D

7.【正确答案】B

8.【正确答案】B

9.【正确答案】BC

10.【正确答案】ACD

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】-

13.【正确答案】165.4

14.【正确答案】[，+∞）

15.【正确答案】证明：由正方体的性质可知AC∥A1C1，

因为AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，

所以A1C1∥平面ACD1；

；

16.【正确答案】0.02

74

17.【正确答案】x+y-1=0；

当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

当a＞0时，f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；

a=2

18.【正确答案】y2=4x；

（i）x=y+2或l：x=-y+2；

（ii）（10，0）

19.【正确答案】解：（1）①当a=0时，f（x）=xlnx-x（x＞0），求导得f′（x）=lnx+1-1=lnx,

当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

因此，f（x）的最小值为f（1）=1×ln1-1=-1；

②证明：由①知，xlnx-x≥-1（当且仅当x=1时取等号），则x-xlnx≤1，

令x=（n∈N*），则-ln≤1，+lnn≤1，2lnn≤n2-1，

≤，

所以≤++…+

===．

（2）证明：对f（x）=（x-a）lnx-x求导得，

因为x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个极值点，