导数的几何意义高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2导数的概念及其

几何意义(2)5.1导数的概念及其意义导课程标准1.了解导数概念的实际背景，通过平均变化率过渡到瞬时变化率，理解导数是瞬时变化率的数学表示。2.理解函数在某一点处导数的定义，掌握导数的符号表示。3.体会极限思想，理解导数的本质是函数在某点处的瞬时变化率。4.能根据导数定义求简单函数在某点的导数。5.发展数学抽象、逻辑推理、数学运算核心素养。教学重难点重点：利用导数的几何意义求某点处的切线方程难点：利用导数的几何意义求过某点的切线方程、导数值的大小刻画函数函数变化的快慢导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值导学

习

目

标123据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.培养学生数学抽象及直观想象的核心素养，提升数学运算核心素养.导(2)瞬时变化率/导数：(1)平均变化率：取极限问题1

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数计算公式:

导数

表示函数y＝f(x)在

x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数

y＝f(x)在

x＝x0附近的变化情况.问题2

导数f'(x0)是否具有几何意义?导追问1：平均变化率的几何意义是什么？过点

和点

的直线的斜率.平均变化率的几何意义是割线P0P的斜率k.导问题2：在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？思阅读课本66-69，并思考以下问题：问题3函数的单调性和导数有什么关系？导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？问题4如由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？问题2：在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数(即瞬时变化率)能代表曲线的切线斜率吗？议阅读课本66-69，并思考以下问题：问题3函数的单调性和导数有什么关系？导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？问题4如由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？追问2能否给切线下个定义？切线的定义：在曲线

y＝

f(x)上任取一点

P(x，f(x))，如果当点

P沿着曲线

y＝

f(x)无限趋近于点

P0

(x0，f(x0))时，割线

P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线

P0T称为曲线

y＝

f(x)在点

P0处的切线

.xf(x)展点

P→点

P0割线

P0P的斜率

k切线

P0T的斜率

k0展

函数

y＝f(x)

在

x＝x0

处的导数曲线

y＝f(x)

在点P0(x0，f(x0))处切线的斜率

k0数形转化函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即解例题分析

例2

如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象.请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解:(1)当t=t0时,曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴,

h'(t0)=0.

函数h(t)在t=t0附近几乎没有升降.(2)当t=t1时,曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(t1)<0.函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时,

曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0.

函数h(t)在t=t2附近也单调递减.

从图中可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度,这说明

曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.

t1ht0O••t2•tl2l1l0展课堂练习

教材P681.根据图象，描述曲线h(t)在t=t3,t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况.t4ht3O••t•l3l4(2)当t=t4时,曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t4)>0.数h(t)在t=t2附近也单调递增.

解:(1)当t=t3时,曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(t3)>0.

函数h(t)在t=t1附近单调递增.

从图中可以看出,直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度,

这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快.展导数几何意义理解中的两个关键：关键点一：y＝f(x)在点x＝x0处的切线斜率k，则k＞0⇔f′(x0)＞0；

k＜0⇔f′(x0)＜0；

k＝0⇔f′(x0)＝0.关键点二：|f′(x0)|越大⇔在x0处瞬时变化越快；

|f′(x0)|越小⇔在x0处瞬时变化越慢.展课堂练习

教材P68xy12O•••32.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是().

(A)f'(1)>f'(2)>f'(3)>0

(B)

f'(1)<f'(2)<f'(3)<0

(C)0<f'(1)<f'(2)<f'(3)(D)

f'(1)>f'(2)>0>f'(3)A展曲线f(x)在x＝x0附近的升降情况切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)>0上升k>

0锐角f′(x0)<0下降k<

0钝角f′(x0)=0不升不降k=

0零角(切线与x轴平行或重合)说明：切线斜率绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降得快慢.

曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：解导数f

′(x0)的几何意义：割线P0P的斜率k切线P0T的斜率k0点P→点P0函数

y＝f(x)在x=

x0处的导数

f

′(x0)曲线y＝f(x)在点P0(x0,f(x0))处切线的斜率k0导数f

′(x0)的几何意义展

展PxyOT即追问4：你能求出曲线y=f

(x)在点M(x0,f

(x0))处的切线方程是什么吗？展教材P70分析：切点是切线上一点，只需要再求出切线的斜率.切线的斜率等于相应函数在切点处的导数.例1

求曲线y＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程.展教材P70例1

求曲线y＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程.所以，所求切线方程为整理得展方法总结

求曲线在某点处的切线方程的步骤解解决切线问题的关键:利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f′(x0).举例应用

例1

求曲线y＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程.思考：怎样求解过程更简便？变式：求曲线y＝－2x2＋1在x=2

,x=3，x=4处的切线斜率.展补充练习

教材P68A展

从求函数

y＝f(x)在

x＝x0处导数的过程可以看到，

当

x＝x0时，

是一个唯一确定的数.

当

x变化时，

就是

x的函数，我们称它为

y＝f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作

，即导函数的定义解(3)函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即.(2)导函数

是指某一区间内任意x而言的，就是函数f(x)的导数.解方法总结求函数

y＝f(x)的导函数

的步骤是什么？第一步，写出

并化简；第二步，求极限得导函数，解探究2利用导数的几何意义判断函数的变化问题2函数的单调性和导数有什么关系？导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？[提示]

当t＝t0时，函数的图象在t＝t0处的切线平行于t轴，即h′(t0)＝0，这时，在t＝t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．[新知生成]若f′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线的斜率k＝_；若f′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线的斜率k__0，则函数在x＝x0附近________，且f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快；若f′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线的斜率k__0，且函数在x＝x0附近________，且|f

′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．0＞单调递增＜单调递减【教用·微提醒】

f′(x0)的正负决定增减，|f

′(x0)|的大小决定快慢．解【教用·微提醒】

(1)由导数定义知切线具有一般性，初中学过的圆的切线不具有一般性，切线与曲线的交点不一定只有1个．(2)切线的斜率k只与横坐标x0有关，与Δx无关．(3)f′(x0)的正负决定增减，|f

′(x0)|的大小决定快慢．解[典例讲评]

【链接教材P68例4】2．(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与

f′(xB)

的大小关系是(

)A．f′(xA)>f′(xB)B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定√展(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上单调递增，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

)A

B

C

D√展(1)B

(2)A

[(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是曲线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f′(xA)<f′(xB)．故选B．(2)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上单调递增，若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b，则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线的斜率在[a，b]内单调递增，观察题干图象，只有A符合．]展反思领悟

导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x＝x0附近的变化情况可通过x＝x0处的切线刻画．f′(x0)＞0说明曲线在x＝x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x＝x0附近曲线是上升的；f′(x0)＜0说明在x＝x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．解

√展

展[典例讲评]

1．已知曲线C：y＝x3．(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C过点(1，1)的切线方程．[思路导引]

(1)展

展

展[母题探究]

本例(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

解【教用·备选题】已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1．(1)求抛物线在点P(1，3)处的切线方程；(2)若抛物线在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．

解

解反思领悟

利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．解[学以致用]

1．已知曲线

f

(x)＝x3＋ax在x＝1处的切线与直线x＋4y＝0垂直，则实数a＝(

)A．2

B．1C．－1

D．－2√展

展探究3导函数(导数)问题3由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？

展[新知生成]对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________．

展【教用·微提醒】

函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别与联系：(1)区别：①f′(x0)是在x＝x0处函数值的变化量与自变量的变化量之比的极限，是一个常数，不是变量．②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的．(2)联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．展

展

解[学以致用]

3．(源自北师大版教材)求y＝f(x)＝3x2－x的导数f′(x)，并利用f′(x)求f′(1)，f′(－2)，f′(0)．

展

展1.物体运动的平均速度及瞬时速度2.抛物线的割线及切线的斜率无限逼近无限逼近小结：切线的斜率是割线的斜率的极限值；切线斜率的本质是瞬时变化率。利用导数的几何意义判断函数的变化.课堂小结3.导函数

解完成达标检测1-4达1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)等于(

)A．4 B．－4C．－2 D．2√D

[由导数的几何意义知f′(1)＝2．]展2．(教材P70练习T2改编)函数f(x)的图象如图所示，则(

)A．f′(1)>f′(2)>f′(3)B．f′(2)>f′(1)>f′(3)C．f′(3)>f′(2)>f′(1)D．f′(3)>f′(1)>f′(2)C

[由题图可知，曲线在点(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))处切线的斜率大小关系为k3>k2>k1，故f′(3)>f′(2)>f′(1)．]√展√3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(

)A．f′(x0)＞0 B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在

展4．已知函数y＝ax2＋b的图象在其上点(1，3)处的切线斜率为2，则a＝________，b＝________．

12展1．知识链：2．方法链：方程思想、数形结合．3．警示牌：切线过某点，这点不一定是切点．解回顾本节知识，自主完成以下问题：1．f′(x0)是如何反映函数y＝f(x)的图象特征的？[提示]

曲线的升降、切线的斜率与f′(x0)的关系如下：f′(x0)的符号曲线

f

(x)在x＝x0附近的升降情况切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)＞0上升k＞0锐角f′(x0)＜0下降k＜0钝角f′(x0)＝0平坦k＝0零角(切线与x轴平行)解2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间的区别和联系是什么？[提示]

区别：①f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的变化量与自变量的变化量之比的极限，是一个常数，不是变量；②f′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f

(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f′(x)．联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．解3．曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线f(x)过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示]

曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．解1.物体运动的平均速度及瞬时速度2.抛物线的割线及切线的斜率无限逼近无限逼近小结：切线的斜率是割线的斜率的极限值；切线斜率的本质是瞬时变化率。利用导数的几何意义判断函数的变化.知识回顾3.导函数

导自行校对答案并思考以下题目：1、2、3小组讨论错题及以下题目：4、6、讲评：10、11、思自行校对答案并思考以下题目：1、2、3小组讨论错题及以下题目：4、6、讲评：10、11、议√

展2．已知函数f(x)满足f′(x1)＞0，f′(x2)＜0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是(

)√A

B

C

DD

[由f′(x1)＞0，f′(x2)＜0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负．故选D．]展

√

展

√展

展5．(多选)下列说法正确的是(

)A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处也可能有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则

f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在√√展AC

[k＝f′(x0)，所以f′(x0)不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程是x＝x0，故AC正确．]展二、填空题6．已知曲线y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________．3

[因为直线3x－y－2