离散型随机变量的方差高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差复习回顾1.离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn则称为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望.若X服从两点分布，则E(X)=_____p数学期望的线性性质:E(aX＋b)=__________aE(X)＋b2.求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定随机变量取值(2)求概率(3)写分布列(4)求均值新课导入随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念问题1从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.如何评价这两名同学的射击水平?X678910P0.090.240.320.280.07Y678910P0.070.220.380.300.03通过计算可得，由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.E(X)=8；E(Y)=8问题2怎样刻画离散型随机变量取值的离散程度?（如何比较离散程度）为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别作出X和Y的概率分布图.O678109P0.10.20.30.4O678109P0.10.20.30.4比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.追问：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念D(X)=(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋‧‧‧＋(xn－E(X))2pn.我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的，所以我们可以用能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量随机变量的离散程度.

样本的方差

：随机变量的方差

Xx1x2∙∙∙xnPp1p2∙∙∙pn

新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念Xx1x2‧‧‧xnPp1p2‧‧‧pn设离散型随机变量X的分布列如下表所示.随机变量X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方为(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，‧‧‧，(xn－E(X))2.所以偏差平方的平均值为(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋‧‧‧＋(xn－E(X))2pn.

新知探究：离散型随机变量的方差与标准差的概念概念生成

一般地，设离散型随机变量X的分布列如表所示.

D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2

p2+

…+(xn－E(X))2

pn

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.Xx1x2...xnPp1p2...pn称为随机变量X的方差，有时也可记为Var(X).解惑提高(1)随机变量X的方差D(X)是数值，是随机变量的一个重要特征数；(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.(3)随机变量方差和样本方差的区别和联系①区别：随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量.②联系：对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差，因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差.解决问题因此，问题1中可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：

因为D(Y)<D(X)(等价地，)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.X678910P0.090.240.320.280.07表1表2Y678910P0.070.220.380.300.03问题3：方差的计算公式可以简化吗？

方差描述随机变量的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解本质。

1、已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)解：法1法2典型例题探究新知问题4：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？

离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即

而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即

36一般地，可以证明下面结论成立典型例题例1抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.解：随机变量X的分布列为

X12356P总结提升求离散型随机变量X的方差、标准差的基本步骤:(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由均值的定义求出E(X)；

典型例题例2投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表1股票A收益的分布列（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？表2股票B收益的分布列解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.0

因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大.典型例题例2投资A、B两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示：收益X/元-102概率0.10.30.6收益Y/元012概率0.30.40.3表1股票A收益的分布列（1）投资哪种股票的期望收益大？（2）投资哪种股票的风险较高？表2股票B收益的分布列解：(2)股票A和股票B投资收益的方差分别为D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以资股票A比投资股票B的风险高.总结提升(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．1.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)得出结论．依据均值和方差做出判断.2.离散型随机变量的数字特征x的期望与方差对比名称数学期望方差定义

E(x)=

D(x)=性质(1)E(a)=a(a为常数)(2)E(ax)=aE(x)(a≠0)(3)E(ax+b)=aE(x)+b(a，b为常数,且a≠0)(4)若ξ服从两点分布，则E(x)=np(1)D(a)=0(a为常数)(2)D(ax)=a2D(x)(a≠0)(3)D(ax+b)=a2D(ξ)(a，b为常数,且a≠0)(4)若x服从两点分布，则D(x)=np(1-p)数学意义E(x)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平D(x)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度总结提升样本离散型随机变量均值公式意义方差或标准差公式意义随着不同样本值的变化而变化是一个常数随着不同样本值的变化而变化，反映数据偏离平均数的平均程度，方差越小，偏离程度越小.是一个常数，反映随变量取值偏离均值的平均程度，方差越小，偏离程度越小.1．给出下列四个命题：①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值偏离于均值的平均程度．则正确命题应该是(

)A．①④ B．②③ C．①② D．③④D课堂评价A4、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.P56789100.030.090.200.310.270.10P567890.010.050.200.410.33因此第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.

思考：如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？如果其他班级参赛选手的成绩在7环左右，又应该派哪一名选手参赛？名称数学期望方差定义

性质(为常数,且)(为常数,且)数学意义课堂小结

解：1.已知随机变量X的分布列为X1234P0.20.30.40.1求D(X)和σ(2X＋7).巩固练习3.甲、乙两